Na geometria afim , o paralelismo é uma propriedade relacionada às linhas , aos planos ou, mais geralmente, aos subespaços afins . A noção de paralelismo foi inicialmente formulada por Euclides em seus Elementos , mas sua apresentação evoluiu ao longo do tempo, passando de uma definição axiomática para uma definição simples.
A noção de paralelismo é introduzido no Livro I de Euclides Elements . Para Euclides, uma linha é mais como um segmento .
A premissa 5 : “Se uma linha que cai sobre duas retas torna os ângulos internos do mesmo lado menores do que dois ângulos retos, esses retos, estendidos indefinidamente, encontrarão o lado em que os ângulos são menores que dois direitos. »Permite provar:
Se o postulado 5 nos permite demonstrar todas as propriedades usuais de nosso espaço familiar, permanece o fato de que parece menos "óbvio" do que os outros, e que muitas tentativas foram feitas para demonstrá-lo a partir de postulados mais simples. Foi seu fracasso repetido que levou à descoberta de geometrias não euclidianas .
Em seu Elements of Geometry (1765), Clairaut define duas linhas paralelas como sendo equidistantes uma da outra. No entanto, o fato de uma curva equidistante de uma linha ser ela própria uma linha é uma propriedade cuja prova requer a admissão do quinto postulado de Euclides (na geometria hiperbólica , essa propriedade define uma nova família de curvas, os hiperciclos ).
A geometria moderna define a noção de paralelismo dentro da estrutura da geometria afim.
Uma linha é definida por um ponto e um vetor de direção. Duas linhas são consideradas paralelas se e somente se seus vetores de direção são colineares . Parece então que duas linhas fundidas são paralelas de acordo com esta definição, enquanto não estavam de acordo com a definição de Euclides. Duas linhas paralelas distintas são então chamadas de estritamente paralelas.
Ao aceitar considerar as linhas coincidentes como paralelas, a relação de paralelismo é então:
Isso permite dizer que a relação de paralelismo é uma relação de equivalência cujas classes de equivalência são as direções das retas.
Em um espaço afim, dois planos são definidos por um ponto e dois vetores de direção não colineares.
Dois planos são paralelos se e somente se os quatro vetores de direção são coplanares . Em um espaço de dimensão 3, dois planos são paralelos (sem pontos comuns ou confusos) ou se cruzam ao longo de uma linha reta.
Uma linha é paralela a um plano se e somente se os três vetores de direção (ambos do plano e da linha) são coplanares (com esta definição, uma linha contida em um plano é paralela a ele). Em um espaço de dimensão 3, dados uma linha e um plano, ou a linha é paralela ao plano, ou a linha e o plano são secantes ao longo de um ponto. Ao contrário das anteriores, a relação de paralelismo direito / plano não é transitiva; assim, dois planos podem ser paralelos à mesma linha Δ sem serem paralelos entre si (mas, então, sua linha de interseção será paralela a Δ).
ObservaçãoAo contrário do que acontece no plano (espaço afim de dimensão 2), duas linhas de espaço de dimensão 3 podem não se cruzar sem serem paralelas. Duas dessas linhas (em outras palavras: duas linhas não coplanares) são chamadas de linhas à esquerda .
Um subespaço afim p- dimensional é definido usando um ponto e um subespaço vetorial p- dimensional chamado de direção do espaço afim. Dois subespaços afins de dimensão p são paralelos se e somente se eles têm o mesmo subespaço vetorial como direção. Dois subespaços afins paralelos são disjuntos ou confusos.
A relação de paralelismo permanece uma relação de equivalência no conjunto de subespaços afins da dimensão p . Mais geralmente, dois subespaços afins de respectivas dimensões p e q , com p < q , são considerados paralelos se a direção do primeiro for um subespaço vetorial da direção do segundo (mas esta última relação não é uma relação de equivalência) .