Hiperciclo
Na geometria hiperbólica , um hiperciclo é uma curva formada por todos os pontos localizados na mesma distância, chamada de raio , a partir de uma linha fixa (chamada de eixo ). Os hiperciclos podem ser considerados círculos generalizados, mas também possuem certas propriedades das linhas euclidianas; no modelo de disco de Poincaré , os hiperciclos são representados por arcos de círculos.
Definição
Na geometria euclidiana, o conjunto de todos os pontos localizados a uma determinada distância de uma determinada linha é formado por dois paralelos a esta linha (é esta propriedade que Clairaut toma como a definição de paralelismo ). Ao contrário, na geometria hiperbólica, duas linhas não secantes (“paralelas” no sentido usual) aproximam-se indefinidamente (falamos de paralelas assintóticas ) ou têm uma única perpendicular comum , materializando sua distância mínima (falamos de ultraparalelas ) O conjunto de pontos equidistantes de uma linha reta, em geometria hiperbólica, é formado por duas curvas, chamadas hiperciclos ; a linha é o eixo e a distância é o raio desses hiperciclos.
Propriedades semelhantes às das linhas.
Algumas propriedades dos hiperciclos são análogas às das linhas euclidianas:
- Por um ponto não localizado em uma linha reta passa um único hiperciclo tendo essa linha reta como seu eixo.
- Três pontos de um hiperciclo nunca são cíclicos .
- Qualquer hiperciclo é simétrico em relação a qualquer linha reta perpendicular a ele.
Propriedades semelhantes a círculos
Outras propriedades dos hiperciclos são análogas às dos círculos euclidianos:
- Sejam A e B dois pontos de um hiperciclo. A bissetriz perpendicular de AB é perpendicular ao hiperciclo e seu eixo e intercepta o hiperciclo no meio do arco AB .
- O eixo de um hiperciclo é único.
- Dois hiperciclos têm o mesmo raio se e somente se forem congruentes .
- Uma linha corta um hiperciclo em, no máximo, dois pontos.
- Dois hiperciclos têm no máximo dois pontos em comum.
Manifestações
Seja M o ponto médio do arco AB :
- Por simetria, a bissetriz perpendicular da corda AB é ortogonal ao eixo em N e passa por M; MN é, portanto, um raio.
- Suponha que um hiperciclo tenha dois eixos distintos. Tomando duas cadeias distintas AB e CD , e usando duas vezes o resultado anterior para cada um dos dois eixos, obtemos quatro raios distintos MN e MN ' por um lado, PQ e PQ' por outro, e por construção, a figura NN 'Q'Q é um retângulo, o que é impossível na geometria hiperbólica.
- Se os dois raios são iguais, aproximando os dois eixos um do outro por um deslocamento (possivelmente seguido por uma rotação de 180 °), os dois hiperciclos também coincidem. Inversamente, se sobrepormos os dois hiperciclos por um deslocamento, a singularidade dos eixos demonstrada anteriormente implica na igualdade dos raios.
- Sejam A e B dois pontos de intersecção da linha com o hiperciclo. A reta AB é ultraparalela ao eixo, já que MN (construída como em 1) é a perpendicular comum a essas duas linhas; MN é também a menor distância entre o eixo e AB . A distância entre as linhas está a crescer de distância a partir de H , ele não pode ser igual ao raio de um e B .
- Ou C 1 e C 2 duas hiperciclos cruzando-se em três pontos A, B , e C . Como anteriormente, construímos as bissetoras perpendiculares de AB e BC , que são, portanto, ortogonais aos dois eixos dos hiperciclos; como isso formaria um retângulo impossível, os dois eixos são mesclados, e C 1 e C 2 tendo o mesmo eixo e um ponto comum e, portanto, o mesmo raio, são mesclados.
Outras propriedades
- O comprimento de um arco de hiperciclo entre dois pontos é
- maior do que o comprimento do segmento de linha entre esses pontos (as linhas sendo geodésicas do plano hiperbólico), mas
- menor que o comprimento do arco de qualquer círculo ou horociclo entre esses dois pontos.
Comprimento de um arco
Tomando a curvatura do plano hiperbólico igual a −1, sejam A e B dois pontos do hiperciclo, r seu raio ed a distância entre as projeções de A e B em seu eixo; o comprimento a do arco AB é dado pela fórmula a = d ch r .
Construção
No modelo do disco de Poincaré , as retas são representadas por arcos de círculos ortogonais ao círculo limite; um hiperciclo tendo como eixo uma linha d é representado por um arco de círculo passando pelos pontos de intersecção de d com o círculo limite.
Referências
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George E. Martin , The foundations of geometry and the non-euclidean plane , New York, Springer-Verlag,1986, 1., corr. Springer ed. ( ISBN 3-540-90694-0 ) , p. 371
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AS Smogorzhevsky , geometria Lobachevskiana , Moscou, Mir,1982( leia online ) , 68
Veja também
Bibliografia
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(en) Martin Gardner , Non-Euclidean Geometry , Capítulo 4 de The Colossal Book of Mathematics , WW Norton & Company, 2001, ( ISBN 978-0-393-02023-6 )
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(pt) MJ Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History , 3ª edição, WH Freeman, 1994.
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(pt) George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane , Springer-Verlag, 1975.
links externos