Geodésico

Em geometria , uma geodésica é a generalização de uma linha reta em uma superfície . Em particular, o caminho mais curto ou um dos caminhos mais curtos, se houver mais de um, entre dois pontos de um espaço provido de uma métrica é um geodésico. Se mudarmos essa noção de distância, as geodésicas do espaço podem assumir uma aparência muito diferente.

Introdução

Originalmente, o termo geodésico vem da geodésia (do grego gaïa "terra" e daiein "compartilhar, dividir"), a ciência de medir o tamanho e a forma da Terra . A geodésica designou, portanto, para geômetras , o caminho mais curto entre dois pontos no espaço (implicação geográfica ).

A transposição para a matemática faz da geodésica a generalização da noção de “linha reta” para superfícies e, de forma mais geral, para “espaços curvos”. Como a definição do geodésico depende, portanto, do tipo de “espaço curvo”, o significado anterior não é mais verdadeiro ali, exceto localmente se este espaço tiver uma métrica .

O caminho mais curto entre dois pontos em um espaço curvo pode ser obtido escrevendo a equação para o comprimento da curva e encontrando o valor mínimo para esse valor. De forma equivalente, pode-se definir outro valor, a energia da curva e buscar minimizá-la, o que leva às mesmas equações para uma geodésica. Intuitivamente, podemos tentar compreender esta segunda formulação imaginando, esticada entre dois pontos, um elástico. Se seguir a geodésica, teria um comprimento mínimo e, portanto, uma energia mínima.

Geodésicas são freqüentemente encontradas no estudo da geometria Riemanniana e, mais geralmente, geometrias métricas . Na física , a geodésica descreve o movimento de partículas livres, que não estão sujeitas a uma força externa (além da gravidade no contexto da relatividade geral ). Exemplos são o caminho seguido por uma rocha em queda livre, um satélite em órbita e a forma de uma órbita planetária, todos descritos por geodésicas da teoria da relatividade geral. Por outro lado, a trajetória de um foguete a caminho da Lua não é geodésica por causa da força de empuxo exercida quando seu motor está ligado.

Exemplos

Geodésico de uma superfície do espaço

Os exemplos mais familiares de geodésicas são linhas desenhadas em superfícies na dimensão 3. Eles tentam generalizar a noção de uma linha reta em uma superfície plana. Observamos que uma bicicleta rolando em uma superfície plana sem mudar de direção segue uma linha reta. Se a bicicleta estiver se movendo em uma superfície irregular, mas o ciclista não girar o guidão, a bicicleta seguirá uma geodésica. Essa visão intuitiva se reflete na seguinte definição matemática:

Seja um arco regular, desenhado em uma folha regular de espaço, o arco é geodésico se sua curvatura geodésica for constantemente zero.

Existem outras formas de caracterizar uma geodésica. Uma geodésica é uma curva desenhada em uma superfície cuja normal principal é normal à superfície. Uma linha geodésica é uma linha que tem, em qualquer ponto que não seja um ponto de inflexão, um plano osculante normal à superfície neste ponto.

Mostra-se que, em uma dada superfície, se existe uma curva de comprimento mínimo unindo dois pontos, essa curva sempre segue uma geodésica. Mas uma geodésica nem sempre corresponde a um caminho de comprimento mínimo.

Por exemplo, as geodésicas de um cilindro de revolução são meridianos, paralelos e hélices circulares . Há uma infinidade de hélices circulares passando por dois pontos $A$ e $B$ do cilindro de revolução não localizados no mesmo paralelo, mas uma única curva de comprimento mínimo unindo $A$ e $B$ (se o ponto médio de $[ AB ]$ não estiver em rotação eixo).

A geodésica de uma esfera são seus grandes círculos . A distância mais curta entre o ponto $A$ e ponto $B$ numa esfera é dada pela menor porção do grande círculo que passa através de $um$ e $B$ . Se $A$ e $B$ são pólos separados (como o Pólo Norte e o Pólo Sul), há um número infinito de caminhos mais curtos.

Geodésicas têm as seguintes duas propriedades exclusivas:

por um ponto de uma superfície, existe uma e apenas uma geodésica de dada tangente;
através de dois pontos bastante próximos da superfície , há uma única geodésica passando por esses pontos; esta geodésica então corresponde ao caminho de comprimento mínimo que une esses pontos.

Geografia

Um sistema de coordenadas geodésicas ( sistema geodésico ) é uma forma de localizar um local próximo à superfície da Terra (por exemplo, latitude e longitude ). É um sistema de referência tridimensional (um planisfério tem apenas dois) em um sistema de referência euclidiano.

Se pensarmos na Terra como uma esfera, as geodésicas são arcos também chamados de "arcos de grande círculo" ou " ortodromias ". Esta é apenas uma aproximação da realidade, a forma da Terra sendo próxima à de um elipsóide de revolução.

Fisica

Na física, a geodésica é uma generalização dessa aplicação terrestre. Em vez de ter um obstáculo material para contornar, é, por exemplo, um campo de força modificando a trajetória.

A Voyager tem, por exemplo, seguido direções espaciais curvas, como mostrado abaixo em cada passagem perto de um planeta. Seu caminho, que pode ser comparado a uma espiral, é, no entanto, o caminho mais rápido.

A relatividade especial , ao relacionar matéria e energia, tornou possível aplicar o conceito de geodésica a elementos que pareciam escapar dela, como a luz.

Isso se materializa, por exemplo na astrofísica , pelo fato de que a presença de uma estrela, entre uma fonte de luz e um observador, curva o caminho ideal que a luz deve percorrer para alcançá-la.

A relatividade geral , ligando o tempo a um espaço "curvo", permitiu ligar o conceito de órbita e a geodésica. A órbita da Terra em torno do Sol é, portanto, seu caminho lógico no espaço-tempo devido à combinação de seu momento (interpretado como um efeito centrífugo na física galileana) e a curvatura do espaço-tempo próximo. Da estrela (interpretado como o efeito centrípeto em física da Galiléia).

Aplicações geométricas

Geometria métrica

Na geometria métrica , uma geodésica é uma curva que segue localmente a distância mínima em todos os lugares. Mais precisamente, uma curva paramétrica $γ: I \to M$ do intervalo unitário $I$ ao espaço métrico $M$ é uma geodésica se existe uma constante $v \geq 0$ tal que, para tudo , existe uma vizinhança $J$ de $t$ em $I$ tal que para tudo o que temos: $t \ in I$ $t_ {1}, t_ {2} \ em J$

{\ displaystyle d \ left (\ gamma (t_ {1}), \ gamma (t_ {2}) \ right) = v | t_ {1} -t_ {2} | ~}

Um espaço métrico é considerado geodésico se quaisquer dois de seus pontos estão sempre conectados por pelo menos um geodésico. Uma noção muito semelhante à de espaço de comprimento .

Isso generaliza a noção de geodésica para variedades Riemannianas. Porém, na geometria métrica, as geodésicas consideradas estão quase sempre equipadas com uma parametrização natural , que é definida pelo fato de $v = 1$ e

{\ displaystyle d \ left (\ gamma (t_ {1}), \ gamma (t_ {2}) \ right) = | t_ {1} -t_ {2} | ~}

(Pseudo-) Geometria Riemanniana

Em uma variedade pseudo-Riemanniana , um $M$ geodésico é definido por uma curva regular parametrizada que carrega seu próprio vetor tangente em paralelo . ${\ displaystyle \ lambda \ mapsto \ gamma (\ lambda)}$

Para entender intuitivamente o que isso significa, pode-se imaginar um avião voando em altitude constante ao redor da Terra de Paris a Pequim pela rota mais curta. Do ponto de vista dos passageiros, a direção do avião é sempre a mesma. No final da viagem, os passageiros nunca sentiram uma aceleração que os fizesse mudar de direção. Segundo eles, eles escolheram o caminho mais curto. No entanto, se considerarmos o referencial centralizado na Terra, o vetor que descreve a velocidade do avião mudou de direção ao longo do tempo para seguir a forma do planeta. Essas variações foram, entretanto, perpendiculares em todos os pontos ao plano tangente à esfera terrestre, uma vez que nenhuma variação tangencial ocorre. Essa modificação do vetor de velocidade do avião de uma maneira adaptada à geometria em que ele se move corresponde exatamente ao que se entende por transporte paralelo . No caso de uma superfície incluída no espaço de dimensão 3, uma geodésica percorrida em velocidade constante é uma curva tal que a aceleração do ponto móvel é perpendicular ao plano tangente à superfície. Não há aceleração lateral que teria desviado o ponto móvel de sua trajetória.

Em termos matemáticos, isso é expresso da seguinte forma, com $γ ( λ )$ a curva parametrizada representando a geodésica e denotando por

{\ frac {{{\ rm {d}}} \ gamma (\ lambda)} {{{\ rm {d}}} \ lambda}} = V = V ^ {{\ mu}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {{\ mu}}}}

o vetor tangente à curva (o vetor velocidade se identificarmos $λ$ com o tempo no referencial do viajante) no referencial correspondente às coordenadas $x μ$

{\ frac {{{\ rm {d}}}} {{{\ rm {d}}} \ lambda}} V = \ nabla _ {{V}} V = V ^ {{\ mu}} \ nabla _ {{\ mu}} V = 0

onde ∇ é a conexão de Levi-Civita em $M$ (equivalente à derivada covariante ). Essa relação expressa que a derivada da velocidade V no plano tangente ao longo da trajetória (na própria direção $V$ ) é zero. Em outras palavras, o operador $V μ \nabla μ$ representa a aceleração ao longo $γ ( λ ) , e expressamos o fato de que essa aceleração ao longo da curva é zero. Em particular, não há aceleração normal para o geodésico capaz de dobrá-lo.$

A partir desta definição e da expressão dos componentes da conexão Levi-Civita, obtemos a equação da geodésica :

{\ frac {{\ mathrm d} ^ {2} x ^ {\ alpha}} {{\ mathrm d} \ lambda ^ {2}}} + {\ Gamma ^ {{\ alpha}}} _ {{\ gamma \ beta}} {\ frac {{\ mathrm d} x ^ {\ gamma}} {{\ mathrm d} \ lambda}} {\ frac {{\ mathrm d} x ^ {\ beta}} {{\ mathrm d} \ lambda}} = 0

As geodésicas são, portanto, nas múltiplas curvas paramétricas que respondem a esta equação diferencial. Os $Γ α γβ$ são os símbolos de Christoffel , que dependem diretamente do tensor métrico $g$ : eles representam a deformação infinitesimal do espaço em relação a um espaço plano.

A equação geodésica também é a equação de Euler-Lagrange associada à energia da curva:

{\ displaystyle E (\ gamma) = \ int g _ {\ gamma (\ lambda)} (V (\ lambda), V (\ lambda)) \, \ mathrm {d} \ lambda}

Como o Lagrangiano é independente do tempo $λ$ , o Hamiltoniano é conservado ao longo das geodésicas. Porém, aqui, o hamiltoniano é igual ao lagrangeano, que é, ele mesmo, igual ao quadrado da norma da velocidade. Concluímos que a velocidade é conservada ao longo das geodésicas, de acordo com sua ausência de aceleração. $L (\ lambda, \ gamma, V) = g _ {\ gamma} (V, V)$

Geodésica periódica

A busca por geodésicas periódicas motivou o desenvolvimento da geometria Riemanniana . Um problema diz respeito à estimativa assintótica para uma variedade de Riemannian ( M , g ) o número de geodésica periódica mais baixo do que um determinado comprimento L . Essas geodésicas são os pontos críticos do funcional de energia definido no espaço dos laços da variedade (com por exemplo uma regularidade de Sobolev). Para uma métrica Riemanniana genérica, uma redução foi obtida em 1981 em função da topologia global do espaço rendado.

Um crescimento exponencial foi demonstrado por Katok em 1988 para superfícies orientadas de gênero maior que 1 . Além disso, foi mostrado em 1993 que para qualquer métrica na esfera bidimensional, esse número é maior do que um termo em $L / log ( L )$ .

Veja também

e também

Caminhão apontando para o sul

Referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Geodesic " ( ver a lista de autores ) .

Jacqueline Lelong-Ferrand e Jean-Marie Arnaudiès, Curso de Matemática: Geometria e Cinemática , t. 3, Paris, Bordas,1977, p. 517
“geometria diferencial clássico”, Enciclopédia Universalis, Paris, 1990, T10, p. 365c
Lelong-Ferrand e Arnaudiès 1977 , p. 520.
Marcel Berger, 150 anos de geometria Riemanniana .