Ortodromia
O grande círculo é o caminho mais curto entre dois pontos em uma superfície . Em uma esfera , é o menor dos dois arcos do grande círculo que une os dois pontos.
Para os navegadores, uma rota ortodrômica designa, portanto, a rota mais curta na superfície do globo terrestre entre dois pontos. É uma das geodésicas desta superfície.
Na vida cotidiana, essa distância mais curta entre dois pontos na Terra é chamada de " distância em linha reta " entre esses dois pontos .
Representação em um mapa
Em um mapa na projeção de Mercator , o grande círculo geralmente não é representado por uma linha reta, mas por uma linha curva. Na verdade, um mapa de projeção de Mercator mantém os ângulos, mas não as distâncias, de modo que é a linha loxodrômica (que cruza todos os meridianos em um ângulo constante) que será representada por uma linha reta.
Em um mapa em projeção gnomônica , a ortodromia é representada por uma linha. Mapas de projeção gnomônica são usados para navegação em altas latitudes.
A curva de ortodromia no mapa de Mercator é aberta em direção ao equador, ou seja, curva em direção ao pólo norte no hemisfério norte, ao sul no hemisfério sul. Isso significa que para um cruzamento leste-oeste (e vice-versa) nos aproximaremos do pólo. O ponto de inflexão do grande círculo é denominado vértice. A determinação da latitude do cume (latitude máxima atingida) é uma quantidade interessante a determinar para preparar uma travessia marítima circumpolar - portanto no hemisfério sul, por exemplo da Tasmânia ao Cabo de Hornos - onde é importante não ganhar também muito na latitude devido ao perigo de gelo e gelo. A rota escolhida será então dividida em um trecho de ortodromia até a latitude extrema que não se deseja ultrapassar, depois um trecho de loxodromia nessa latitude e finalmente outro trecho de ortodromia para subir até o destino.
Fórmulas de ortodromia
As fórmulas abaixo são fornecidas assimilando a Terra a uma esfera de 40.000 km de circunferência .
Grande distância do círculo
É H o comprimento do grande círculo expresso em nm entre e , onde se refere à latitude e à longitude . M é dado pela seguinte fórmula, o valor do arco cosseno sendo em graus:
.
![M = 60 \ arccos \, [\ sin (\ varphi_A) \ sin (\ varphi_B) + \ cos (\ varphi_A) \ cos (\ varphi_B) \ cos (\ lambda_B - \ lambda_A)] \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad7fd54d4b55a5e9c8d2e5a9cbb7dc7e2bde8b8)
De fato, tomando o raio da esfera como unidade, as coordenadas cartesianas dos pontos A e B em coordenadas esféricas expressas em função da latitude e longitude são:
e
de modo que o cosseno do arco AB , igual ao produto escalar dos dois vetores OA e OB , é igual a :
.
O coeficiente 60 na frente do arco cosseno vem do fato de que a milha náutica (1.852 m ) corresponde a um minuto de arco sobre um grande círculo da superfície terrestre e, portanto, 60 milhas náuticas correspondem a um grau. Portanto, se expressarmos arccos ( AB ) em graus, obtemos a distância em milhas náuticas multiplicando este arco cosseno por 60.
Exemplo : A distância do grande círculo entre Paris ( 48 ° 51 ′ N, 2 ° 21 ′ E ) e Nova York ( 40 ° 43 ′ N, 74 ° 00 ′ W ) é de aproximadamente 3.149 milhas náuticas, ou 5.832 km , sendo a Terra aqui modelado por uma esfera de circunferência de 40.000 km.
Também encontramos uma expressão dessa distância usando a função do verso seno (versin) ou sua metade (haversin):
Ganhar distância da linha loxodrômica
Em uma curta distância, você pode confundir o grande círculo com a linha loxodrômica. A distinção torna-se importante ao viajar entre continentes e especialmente em altas latitudes.
Por exemplo, uma viagem entre Paris e Nova York tem uma linha loxodrômica aproximada de 6.070 km , e a rota do grande círculo economiza 230 km . O ganho é de 1.600 km entre Paris e Tóquio, para uma extensão ortodrômica de aproximadamente 9.700 km .
Rota inicial (rumo da seção de rota inicial)
Como a rota ao longo de uma ortodromia não está em um rumo constante, geralmente é cortada em seções mais curtas, onde é mantido um rumo constante, específico para cada seção. O rumo da primeira seção é o ângulo R o em graus entre o Norte e a tangente em A ao grande círculo, contado no sentido horário. Um rumo de 0 ° corresponde ao Norte, 90 ° ao Leste, - 90 ° ou 270 ° ao Oeste. O ângulo R o é dado pela seguinte fórmula:
.
De fato, tomando o raio terrestre como uma unidade, o vetor T tangente em A ao círculo é igual a OB - ( OB | OA ) OA , onde ( OB | OA ) denota o produto escalar dos dois vetores. Este vetor pertence de fato ao plano gerado por OA e OB , e é ortogonal a OA . O vetor unitário u tangente em A ao meridiano e direcionado para o Norte tem por componentes . O vetor unitário v tangente em A ao paralelo e direcionado para o leste tem por componentes . Esses dois vetores são ortogonais a OA . Então temos:
que dá a fórmula anunciada.
Outra fórmula possível é a seguinte:
onde sin ( AB ) é o seno do arco AB . Encontramos essa relação diretamente aplicando a fórmula do seno na trigonometria esférica ao triângulo ABN, onde N é o Pólo Norte. Neste triângulo, o ângulo em A é R o e é oposto ao arco , e o ângulo no pólo é oposto ao arco AB . Então nós temos :
.
Exemplo : O primeiro curso a seguir para ir de Paris ( 48 ° 51 ′ N, 2 ° 21 ′ E ) a Nova York ( 40 ° 43 ′ N, 74 ° 00 ′ W ) é -68,21 °, ou 291, 79 ° , ou seja, uma direção oeste-noroeste, enquanto Nova York está, no entanto, localizada em uma latitude inferior à de Paris. A ortodromia resultante sobrevoa a Cornualha Britânica e o Mar Céltico do Norte antes de tocar o sudoeste da Irlanda.
Coordenadas do vértice
Os vértices são os dois pontos do grande círculo passando por A e B de latitude extrema (máximo ou mínimo). Os dois vértices são diametralmente opostos e a ortodromia cruza o meridiano em ângulos retos. Eles não necessariamente se encontram no caminho entre A e B .
LatitudeO cosseno de sua latitude é dado por:
.
Para ver isso, aplicamos a fórmula do seno em trigonometria esférica ao triângulo AVN, onde V é o vértice e N é o Pólo Norte. Neste triângulo, o ângulo V é reto e oposto ao arco . O ângulo em A é R o e é oposto ao arco . Então nós temos :
.
Exemplo : Entre Paris ( 48 ° 51 ′ N, 2 ° 21 ′ E ) e Nova York ( 40 ° 43 ′ N, 74 ° 00 ′ W ), o vértice está localizado a uma latitude de 52,3 °, maior que a latitude de as duas cidades.
LongitudeA diferença de longitude entre o ponto de partida e o vértice é dada por:
Na verdade, aplicamos a fórmula do cosseno em trigonometria esférica ao triângulo AVN , onde V é o vértice e N o pólo Norte. Neste triângulo, o ângulo V é reto e oposto ao arco . O ângulo em A é R o e é oposto ao arco . O ângulo em N é oposto ao arco AV. Então nós temos :
e entao :
Nos tambem temos:
e entao :
Obtemos a relação desejada substituindo in pelo valor dado na segunda relação.
Exemplo : Entre Paris ( 48 ° 51 ′ N, 2 ° 21 ′ E ) e Nova York ( 40 ° 43 ′ N, 74 ° 00 ′ O ), a diferença de longitude entre Paris e o vértice é 28 °.
Outros modelos da Terra
A situação é consideravelmente complicada se tomarmos um modelo diferente do esférico para a Terra. Por um lado, as definições podem variar, mas a determinação explícita de uma ortodromia pode, em geral, ser impossível de calcular.
Geralmente mantemos como definição de ortodromia a curva que liga dois pontos dados e de comprimento mínimo, mas também encontramos como definição a de uma geodésica. No entanto, os dois conceitos podem ser diferentes. Por exemplo, no caso de um elipsóide de revolução achatado, o equador é geodésico, mas não uma ortodromia, porque se tomarmos dois pontos diametralmente opostos neste equador, é mais curto juntá-los passando pelos pólos. Por fim, pode-se também encontrar como definição da ortodromia o traço na superfície terrestre do plano que passa pelo centro da Terra e os dois pontos a serem conectados, definição esta que permite uma determinação mais fácil da curva.
Notas e referências
- Os ângulos usados nas coordenadas esféricas podem ser diferentes. As fórmulas devem ser adaptadas.
- Nesta fórmula, tomamos a convenção, usual em matemática, de longitudes crescentes em direção ao Leste. Se tomarmos como convenção que as longitudes aumentam em direção ao oeste, é aconselhável mudar o sinal do segundo membro.
- " 1Guia para a construção de elementos geométricos, uso de GeodEasy e ACADÊMICO " ,11 de julho de 2009(acessado em 22 de junho de 2020 ) , p. 7
- " Geometria do elipsóide " (acessado em 22 de junho de 2020 ) , p. 33
- Henry Sarrauton, " Declaração do sistema de tempo decimal ," Bulletin of the Geographical Society , 7 th series, t. 19,1898, p. 99 ( ler online )