A projeção de Mercator ou projeção de Mercator é uma projeção cartográfica da Terra, conhecida como "cilíndrica", tangente ao equador do globo terrestre em um mapa plano formalizado pelo geógrafo flamengo Gerardus Mercator , em 1569.
Ele se estabeleceu como o planisfério de referência no mundo graças à sua precisão para viagens marítimas . Não é, stricto sensu, uma projeção central : o ponto de latitude φ não é enviado, como se poderia esperar, em um ponto de ordenada proporcional a tan ( φ ), mas em um ponto de ordenada proporcional a ln [tan (φ / 2 + π / 4)] .
A projeção de Mercator é uma projeção conforme , ou seja, preserva os ângulos . No entanto, tem o efeito de distorções em distâncias e áreas . Na verdade, a distorção aumenta com a distância do equador em direção aos pólos . Um mapa de Mercator não pode, portanto, cobrir os pólos: eles seriam infinitamente grandes. Por exemplo, isso resulta na visão de uma igualdade de superfície entre a Groenlândia e a África quando esta última é 14 vezes maior.
O princípio da representação em tela ortogonal foi traçado por Dicearque , Estrabão e utilizado por Marinos de Tiro . Ele também era conhecido por chinês para X th século.
O desejo dos navegadores do século E XVI era saber a rota a seguir em rumo constante para ir de um ponto do globo a outro. Este sistema de navegação não segue o caminho mais curto (ou seja, o grande círculo ), mas permite que você navegue com uma bússola. Um compromisso entre o grande círculo (caminho mais curto) e a linha loxodrômica (caminho com rumo constante) é uma trajetória que permite conectar vários pontos de um grande círculo por uma linha loxodrômica. Para isso, era desejável um mapa que permitisse preservar os ângulos e, assim, traçar facilmente as linhas loxodrômicas. De fato, desde a antiguidade havia projeções da esfera terrestre que preservavam os ângulos: as projeções estereográficas , mas não transformavam os meridianos em linhas paralelas e dificultavam a construção de uma linha loxodrômica. Os navegadores, portanto, queriam uma representação cartográfica da esfera terrestre em que os meridianos seriam representados por linhas paralelas equidistantes e os paralelos por linhas perpendiculares aos meridianos (ou seja, uma projeção cilíndrica direta). Eles também queriam que essa projeção fosse conforme , ou seja, que preservasse os ângulos.
Mercator começou a tarefa e em 1569 forneceu um mapa que quase satisfazia os dois requisitos dos navegadores. Não sabemos exatamente seu raciocínio, mas podemos reconstruí-lo. Ele não usa um cilindro tangente à esfera e não tenta fazer uma projeção central, mas constrói um mapa de grade em que todos os meridianos são paralelos e equidistantes, e todos os paralelos são perpendiculares aos meridianos. Na latitude φ , há uma deformação do paralelo - de fato, na Terra, o comprimento do paralelo à latitude φ é menor por um fator cos ( φ ) do que o do equador, enquanto no mapa, por construção, todos os paralelos têm o mesmo comprimento. Esta deformação na abcissa de 1 / cos ( φ ) deve ser reproduzida na ordenada, se a conservação dos ângulos for desejada. Isso leva à igualdade
Esta equação diferencial tem por solução, quando os ângulos são expressos em radianos:
No entanto, o XVI th século, o cálculo não é ainda nascido e a função logaritmo natural ainda não foi estudado. É, portanto, por somatório discreto que Mercator estabelece o lugar dos diferentes paralelos com um passo de 5 °: se o paralelo de latitude φ i é colocado no mapa a uma distância y i do equador, o paralelo de φ i + 5 é colocado no mapa a uma distância y i + 5 ⁄ cos ( φ i ) .
Seu mapa, publicado em 1569, apesar de sua imprecisão, teve certo sucesso. Seu modelo foi então aprimorado por Edward Wright em 1599 em seus Certos erros de navegação ao dar um passo mais preciso do que 1 '.
Foi somente após a invenção dos logaritmos que a conexão foi feita entre o cálculo de Wright e as tabelas de logaritmos (Henry Bond c. 1645) e que a fórmula exata foi estabelecida. Isso foi demonstrado matematicamente por James Gregory em 1668 e Edmund Halley em 1696.
A maioria das cartas náuticas usa a projeção de Mercator. Esta projeção conforme preserva os ângulos (o que permite que os ângulos medidos com a bússola sejam transferidos diretamente para o mapa e vice-versa), mas não as distâncias (a escala do mapa varia com a latitude) ou as superfícies (ao contrário do equivalente em projeções) . Qualquer linha reta em um mapa de Mercator é uma linha de azimute constante, ou seja, uma linha loxodrômica . Isso o torna particularmente útil para marinheiros , mesmo que o caminho assim definido geralmente não seja sobre um grande círculo e, portanto, não seja o caminho mais curto. Quando isso for necessário devido à extensão da viagem (São Francisco - Yokohama por exemplo), a ortodromia pode ser mostrada no mapa de Mercator. Deduzimos o curso a seguir.
O principal defeito dos mapas tradicionais inspirados na obra de Mercator destinados à navegação é que dão uma ideia errônea das áreas ocupadas pelas diferentes regiões do mundo e, portanto, das relações entre os povos. Então :
Para superar essas deformações, Arno Peters propôs uma projeção cilíndrica (como a de Mercator) que preserva as áreas relativas: a projeção de Peters . Por outro lado , não é mais conformado , ou seja, não preserva os ângulos e, portanto, a forma dos continentes.
A projecção Mercator é uma projecção directa tipo cilíndrico cartográfica, isto é os x e y coordenadas de um ponto num mapa Mercator são determinados a partir da sua latitude φ e sua longitude λ (com λ 0 no centro do mapa) por equações da forma
Se a Terra é modelada por uma esfera, as equações são:
onde longitudes e latitudes são expressas em radianos. Quando estes são expressos em graus, uma conversão por multiplicação por π / 180 é necessária.
DemonstraçãoComo usamos uma projeção cilíndrica, x é uma função afim de λ ey depende apenas de φ. Como a transformação é conforme, um retângulo infinitesimal na Terra deve ser semelhante à sua imagem no mapa. Qual dar
E já que escolhemos
Nós achamos
então integrando
A função , conhecida como função de Mercator ou função de latitudes crescentes , é o inverso da função de Gudermann .
Se levarmos em consideração o fato de que a Terra tem uma forma bastante elipsóide com excentricidade e , uma correção deve ser feita e as equações são então:
No planisfério terrestre 0101H, o mapa está em uma escala de 1: 40.000.000 e está centralizado em 65 ° oeste. A escala, portanto, especifica, tomando como circunferência da Terra 40.000 km , que 100 cm representa 2 π radianos, o valor de n é, portanto, 50 / π , ou aproximadamente 15,9. O valor de λ 0 é 65 °. O paralelo de latitude 45 ° estará, portanto, localizado a 15,9 × ln (tan (67,5 °)) cm ou aproximadamente 139 mm do equador. Existe uma pequena diferença porque seria necessário levar em consideração a correção do modelo elíptico.
Considere o mapa que ilustra este artigo (tendo, em pixels, altura h = 724 e largura w = 679). O mapa é centralizado no ponto de latitude e longitude 0. O pixel (0,0) está no canto superior esquerdo.
Para obter a posição do pixel horizontal que representa a longitude λ (em graus), basta aplicar a fórmula dada anteriormente:
.
Para obter a posição do pixel vertical de latitude φ (em radianos):