Trigonometria esférica
A trigonometria esférica é um conjunto de relações semelhantes às da trigonometria euclidiana, mas sobre os ângulos e distâncias marcados em uma esfera .
A figura básica é o triângulo esférico delimitado por segmentos de linhas retas, mas por arcos de meios círculos grandes da esfera. As regras usuais da trigonometria euclidiana não se aplicam; por exemplo, a soma dos ângulos de um triângulo localizado em uma esfera, se forem expressos em graus, é maior do que 180 graus.
Triângulo esférico
Convenções
Consideramos três pontos A , B e C em uma esfera representados pela figura ao lado, bem como os arcos de grandes círculos que os conectam. Denotamos α (às vezes ) o ângulo do triângulo no vértice A e de maneira semelhante para os outros vértices. Nós denotar por um , b e c os ângulos subtendidos no centro O da esfera pela parte correspondente do círculo grande. Assim, a denota o ângulo , etc.
NO^{\ displaystyle {\ hat {A}}}
BOVS^{\ displaystyle {\ widehat {\ mathrm {BOC}}}}![{\ displaystyle {\ widehat {\ mathrm {BOC}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182be91c62f2f8c42ba2f7c3550189d1dbb3d315)
É claro que os comprimentos são deduzidas a partir de um , b e c , multiplicando-os pelo raio da esfera, quando os ângulos são expressos em radianos (ou multiplicando-os por π R / 180 quando eles são expressas em graus).
A soma dos ângulos de um triângulo esférico pode variar entre 180 e 540 ° (entre π e 3π radianos).
Posteriormente, apenas triângulos não degenerados serão considerados (todos os ângulos dos quais estão estritamente entre o ângulo zero e o ângulo plano).
Fórmulas Fundamentais
Fórmula cosseno e relação dual
Uma das relações mais importantes na trigonometria esférica, dada por François Viète em 1593 em seu De Varorium, é a fórmula do cosseno , que relaciona o comprimento de um lado ao dos outros dois lados, bem como ao ângulo entre eles:
cosvs=cosnocosb+pecadonopecadobcosγ ,{\ displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma ~,}![\ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma ~,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e299f9836443c83dca145c5ab1cce3eae4ac09)
que não deve ser confundida com a relação dual , obtida substituindo-se nesta relação todos os grandes círculos por seus pontos polares :
cosγ=-cosαcosβ+pecadoαpecadoβcosvs .{\ displaystyle \ cos \ gamma = - \ cos \ alpha \, \ cos \ beta + \ sin \ alpha \, \ sin \ beta \, \ cos c ~.}![\ cos \ gamma = - \ cos \ alpha \, \ cos \ beta + \ sin \ alpha \, \ sin \ beta \, \ cos c ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78261a00114b0f6d02e11e55d19f28b9e146e087)
A fórmula do cosseno é demonstrada de várias maneiras. Um deles consiste em expressar de diferentes maneiras o produto escalar, no espaço euclidiano ambiente, entre os vetores que conectam o centro O da esfera aos pontos A e B. Outro é detalhado a seguir.
A fórmula do cosseno permite, em particular, calcular a distância entre dois pontos A e B na Terra modelados por uma esfera, de acordo com suas latitudes e longitudes. Para isso, colocamos C no pólo norte, de forma que a seja a complementar da latitude ϕ A de A , b a complementar daquela ϕ B de B e γ a diferença de longitude . Obtemos diretamente:
Δλ=λB-λNO{\ displaystyle \ Delta \ lambda = \ lambda _ {\ mathrm {B}} - \ lambda _ {\ mathrm {A}}}![{\ displaystyle \ Delta \ lambda = \ lambda _ {\ mathrm {B}} - \ lambda _ {\ mathrm {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8388fcb2910938f15e7f27aa3ab7f95982bc377)
dNOB=Rvs=Rarccos(pecadoϕNOpecadoϕB+cosϕNOcosϕBcosΔλ){\ displaystyle d _ {\ mathrm {AB}} = R \, c = R \ arccos {\ left (\ sin \ phi _ {\ mathrm {A}} \ sin \ phi _ {\ mathrm {B}} + \ cos \ phi _ {\ mathrm {A}} \ cos \ phi _ {\ mathrm {B}} \ cos \ Delta \ lambda \ right)}}![{\ displaystyle d _ {\ mathrm {AB}} = R \, c = R \ arccos {\ left (\ sin \ phi _ {\ mathrm {A}} \ sin \ phi _ {\ mathrm {B}} + \ cos \ phi _ {\ mathrm {A}} \ cos \ phi _ {\ mathrm {B}} \ cos \ Delta \ lambda \ right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25f9eb54992f1a9354847ae10953766f8b5d1ae)
,
onde R ≈ 6.371 km é o raio médio da terra .
Fórmula sinusal
Observe que, de acordo com a relação dual mencionada acima, um triângulo esférico é determinado por seus três ângulos, o que é muito diferente do caso do triângulo euclidiano (plano) . Existe uma analogia perfeita (de dualidade), no triângulo esférico, entre comprimentos dos lados e ângulos nos vértices. A fórmula do seno ilustra esta analogia:
pecadonopecadoα=pecadobpecadoβ=pecadovspecadoγ ,{\ displaystyle {\ frac {\ sin a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {\ sin b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {\ sin c} {\ sin \ gamma}} ~,}![\ frac {\ sin a} {\ sin \ alpha} = \ frac {\ sin b} {\ sin \ beta} = \ frac {\ sin c} {\ sin \ gamma} ~,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99a94a22392c09d6637ad6ec8c0f0b0ad8ea4f5)
ou :
pecadono:pecadob:pecadovs=pecadoα:pecadoβ:pecadoγ ,{\ displaystyle \ sin a: \ sin b: \ sin c = \ sin \ alpha: \ sin \ beta: \ sin \ gamma ~,}![\ sin a: \ sin b: \ sin c = \ sin \ alpha: \ sin \ beta: \ sin \ gamma ~,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f5c2e469666e4dd5176013c48cb65af2fb00fb)
que deve ser entendido como "as três grandezas à esquerda estão nas mesmas proporções que as três grandezas à direita (a proporção entre quaisquer duas à esquerda é a mesma que a proporção correspondente à direita)" .
Terceira fórmula fundamental e relação dual
A fórmula do cosseno também pode ser escrita na forma:
cosγ=cosvs-cosnocosbpecadonopecadob .{\ displaystyle \ cos \ gamma = {\ frac {\ cos c- \ cos a \, \ cos b} {\ sin a \, \ sin b}} ~.}![\ cos \ gamma = \ frac {\ cos c - \ cos a \, \ cos b} {\ sin a \, \ sin b} ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee5ea11c114b20b9582b1b169798984b04399ec)
Expressões análogas para cos α e cos β deduzimos o que às vezes é chamado de a terceira fórmula fundamental da trigonometria esférica (os dois primeiros sendo os cossenos e senos), que relaciona três comprimentos a dois ângulos do triângulo:
pecadovscosβ=pecadonocosb-cosnopecadobcosγ .{\ displaystyle \ sin c \ cos \ beta = \ sin a \ cos b- \ cos a \ sin b \ cos \ gamma ~.}![\ sin c \ cos \ beta = \ sin a \ cos b - \ cos a \ sin b \ cos \ gamma ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374235625ca06378a0f4e54d9dbc325dc73c5968)
É interessante notar a semelhança com a fórmula do cosseno
cosvs=cosnocosb+pecadonopecadobcosγ {\ displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma ~}![\ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma ~](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d791a8b78ddd253513704233158852ee2cf2113e)
.
A relação dual pode, por sua vez, ser escrita:
pecadoγcosb=pecadoαcosβ+cosαpecadoβcosvs ,{\ displaystyle \ sin \ gamma \ cos b = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta \ cos c ~,}![\ sin \ gamma \ cos b = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta \ cos c ~,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a35c68eaad3ee1a09bfae048c68d2cb023bc9382)
para comparar com a relação dual da fórmula do cosseno
cosγ=-cosαcosβ+pecadoαpecadoβcosvs {\ displaystyle \ cos \ gamma = - \ cos \ alpha \, \ cos \ beta + \ sin \ alpha \, \ sin \ beta \, \ cos c ~}![\ cos \ gamma = - \ cos \ alpha \, \ cos \ beta + \ sin \ alpha \, \ sin \ beta \, \ cos c ~](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ea356c09ce897110b305a3c0eed4a4f51511f8)
.
Fórmula Cotangente
A partir da terceira fórmula fundamental, obtemos facilmente a última fórmula chamada cotangentes , que conecta quatro elementos sucessivos do triângulo esférico:
pecadovscustob=pecadoαcustoβ+cosαcosvs .{\ displaystyle \ sin c \ cot b = \ sin \ alpha \ cot \ beta + \ cos \ alpha \ cos c ~.}![\ sin c \ cot b = \ sin \ alpha \ cot \ beta + \ cos \ alpha \ cos c ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d67b052d15f8f52c851dc63ac3f7b666e065f8)
Para obter esta fórmula, basta dividir a relação dual da terceira fórmula fundamental por sen β e então usar a fórmula dos senos.
Demonstração de fórmulas fundamentais
um , b e c designam os comprimentos, A , B e C referem-se aos vértices, α , β e γ denotam os ângulos do triângulo esférico.
Demonstração por mudança de referência
1) Formamos dois referenciais ortonormais diretos R e R ' com o mesmo primeiro vetor, e de tal forma que A é o pólo norte do sistema de coordenadas esféricas associado ao primeiro referencial e B o pólo norte do segundo. Notamos e com R=(O,eu→,j→,k→){\ displaystyle R = (O, {\ overrightarrow {i}}, {\ overrightarrow {j}}, {\ overrightarrow {k}})}
R′=(O,eu′→,j′→,k′→){\ displaystyle R '= (O, {\ overrightarrow {i'}}, {\ overrightarrow {j '}}, {\ overrightarrow {k'}})}
k→=ONO→, k′→=OB→ .{\ displaystyle {\ overrightarrow {k}} = {\ overrightarrow {OA}}, ~ {\ overrightarrow {k '}} = {\ overrightarrow {OB}} ~.}
Em seguida, pegamos:
eu→=eu′→=1pecadovsk→∧k′→=1pecadovsONO→∧OB→ .{\ displaystyle {\ overrightarrow {i}} = {\ overrightarrow {i '}} = {1 \ over \ sin c} {\ overrightarrow {k}} \ wedge {\ overrightarrow {k'}} = {1 \ over \ sin c} {\ overrightarrow {OA}} \ wedge {\ overrightarrow {OB}} ~.}![\ overrightarrow i = \ overrightarrow {i '} = {1 \ over \ sin c} \ overrightarrow k \ wedge \ overrightarrow {k'} = {1 \ over \ sin c} \ overrightarrow {OA} \ wedge \ overrightarrow {OB } ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc447cf44043fae245b461daebc77c47967e7560)
Podemos deduzir:
j→=k→∧eu→=1pecadovs[ONO→∧(ONO→∧OB→)] .{\ displaystyle {\ overrightarrow {j}} = {\ overrightarrow {k}} \ wedge {\ overrightarrow {i}} = {1 \ over \ sin c} [{\ overrightarrow {OA}} \ wedge ({\ overrightarrow {OA}} \ wedge {\ overrightarrow {OB}})] ~.}![\ overrightarrow j = \ overrightarrow k \ wedge \ overrightarrow i = {1 \ over \ sin c} [\ overrightarrow {OA} \ wedge (\ overrightarrow {OA} \ wedge \ overrightarrow {OB})] ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69433bc168b56c1dc17d201857effe36d4ae6b1f)
A fórmula do produto duplo cruzado leva a:
j→=1pecadovs((ONO|OB)ONO→-||ONO||2OB→)=1pecadovs(cosvs ONO→-OB→) .{\ displaystyle {\ overrightarrow {j}} = {1 \ over \ sin c} ((OA | OB) {\ overrightarrow {OA}} - || OA || ^ {2} {\ overrightarrow {OB}}) = {1 \ over \ sin c} (\ cos c ~ {\ overrightarrow {OA}} - {\ overrightarrow {OB}}) ~.}![\ overrightarrow j = {1 \ over \ sin c} ((OA | OB) \ overrightarrow {OA} - || OA || ^ 2 \ overrightarrow {OB}) = {1 \ over \ sin c} (\ cos c ~ \ overrightarrow {OA} - \ overrightarrow {OB}) ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a1268f43150fb187bf2d7bc9d72ac248a552dd)
Da mesma forma:
j′→=1pecadovs[OB→∧(ONO→∧OB→)]=1pecadovs(ONO→-cosvs OB→) .{\ displaystyle {\ overrightarrow {j '}} = {1 \ over \ sin c} [{\ overrightarrow {OB}} \ wedge ({\ overrightarrow {OA}} \ wedge {\ overrightarrow {OB}})] = {1 \ over \ sin c} ({\ overrightarrow {OA}} - \ cos c ~ {\ overrightarrow {OB}}) ~.}![\ overrightarrow {j '} = {1 \ over \ sin c} [\ overrightarrow {OB} \ wedge (\ overrightarrow {OA} \ wedge \ overrightarrow {OB})] = {1 \ over \ sin c} (\ overrightarrow {OA} - \ cos c ~ \ overrightarrow {OB}) ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597ff5c066a7c804d1726b504f8ed728d99ab4d4)
2) A mudança de referência (de R para R ' ) é uma rotação no espaço em torno do eixo comum às duas marcas de referência. Como o ângulo entre e é c , deduzimos que a matriz de passagem é:
ONO→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}}}
OB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OB}}}![\ overrightarrow {OB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/824af159399d4af43ce487b3ded9e880ac7c7492)
P=(1000cosvs-pecadovs0pecadovscosvs) .{\ displaystyle P = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos c & - \ sin c \\ 0 & \ sin c & \ cos c \ end {pmatrix}} ~.}![P = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos c & - \ sin c \\ 0 & \ sin c & \ cos c \ end {pmatrix} ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5323a182d594b711431b84d43844b0a716969cdc)
3) Nós agora dar a coordenada C na referência R .
Notamos que b é a colatitude no sistema de coordenadas esféricas do pólo norte A associado ao sistema de coordenadas cartesianas, enquanto α designa o ângulo (no pólo) entre o vetor e o semiplano vertical ( A , O , C ), portanto, a longitude é α- (π / 2) .
-j→{\ displaystyle - {\ overrightarrow {j}}}![- \ overrightarrow j](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f4a053618bff6742923badfea7c7de23a243db3)
Deduzimos que C , com coordenadas esféricas , tem coordenadas cartesianas no primeiro referencial:
[1,α-π2,b]{\ displaystyle [1, \ alpha - {\ pi \ over 2}, b]}
X=(pecadobpecadoα-pecadobcosαcosb) .{\ displaystyle X = {\ begin {pmatrix} \ sin b \ sin \ alpha \\ - \ sin b \ cos \ alpha \\\ cos b \ end {pmatrix}} ~.}
4) As coordenadas de C são dadas da mesma forma na segunda referência R ' .
Desta vez, o pólo norte é o ponto B , a colatitude é a , e β é o ângulo que o semiplano vertical ( B , O , C ) faz com o vetor , então a longitude é (π / 2) - β .
j′→{\ displaystyle {\ overrightarrow {j '}}}![\ overrightarrow {i '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97714c63266278da3847a34c2c6fd5f6d1e50e8d)
Deduzimos que C , com coordenadas esféricas , tem coordenadas cartesianas no segundo referencial:
[1,π2-β,no]{\ displaystyle [1, {\ pi \ over 2} - \ beta, a]}
X′=(pecadonopecadoβpecadonocosβcosno) .{\ displaystyle X '= {\ begin {pmatrix} \ sin a \ sin \ beta \\\ sin a \ cos \ beta \\\ cos a \ end {pmatrix}} ~.}
5) A fórmula de mudança de base é então escrita:
(pecadobpecadoα-pecadobcosαcosb)=X=PX′=(1000cosvs-pecadovs0pecadovscosvs){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ sin b \ sin \ alpha \\ - \ sin b \ cos \ alpha \\\ cos b \ end {pmatrix}} = X = PX '= {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos c & - \ sin c \\ 0 & \ sin c & \ cos c \ end {pmatrix}}}
(pecadonopecadoβpecadonocosβcosno) .{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ sin a \ sin \ beta \\\ sin a \ cos \ beta \\\ cos a \ end {pmatrix}} ~.}![\ begin {pmatriz} \ sin a \ sin \ beta \\ \ sin a \ cos \ beta \\ \ cos a \ end {pmatriz} ~.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d70eaaf211b61946c615699fae33c0dd37b380)
Deduzimos de repente a fórmula do seno, a terceira fórmula fundamental da trigonometria esférica e a fórmula do cosseno:
{pecadobpecadoα=pecadonopecadoβpecadobcosα=pecadovscosno-cosvspecadonocosβcosb=pecadovspecadonocosβ+cosvscosno .{\ displaystyle {\ begin {cases} \ sin b \ sin \ alpha = \ sin a \ sin \ beta \\\ sin b \ cos \ alpha = \ sin c \ cos a- \ cos c \ sin a \ cos \ beta \\\ cos b = \ sin c \ sin a \ cos \ beta + \ cos c \ cos a ~. \ end {casos}}}![\ begin {casos} \ sin b \ sin \ alpha = \ sin a \ sin \ beta \\ \ sin b \ cos \ alpha = \ sin c \ cos a- \ cos c \ sin a \ cos \ beta \\ \ cos b = \ sin c \ sin a \ cos \ beta + \ cos c \ cos a ~. \ end {casos}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c637f8c53f2efe5125fb8a78d69cb52fc6c753e)
Prova usando o produto escalar
Considere-se um triângulo esférico ABC na superfície de uma unidade central esfera ó . Projetando os pontos A e C no eixo OB em F e E, respectivamente . Então nós temos :
FNO→=FNOk→;EO→=EOeu→;EVS→=EVSh→{\ displaystyle {\ overrightarrow {FA}} = FA {\ vec {k}}; \ quad {\ overrightarrow {EO}} = EO {\ vec {i}}; \ quad {\ overrightarrow {EC}} = EC {\ vec {h}}}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {FA}} = FA {\ vec {k}}; \ quad {\ overrightarrow {EO}} = EO {\ vec {i}}; \ quad {\ overrightarrow {EC}} = EC {\ vec {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd99856d1acf1cb84083eeb002fc86c0149de89)
Observe que é um sistema de coordenadas ortonormal, portanto, é perpendicular e não paralelo a . Segue-se:
(eu→,j→,k→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}
h→{\ displaystyle {\ vec {h}}}
eu→{\ displaystyle {\ vec {i}}}
j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}![{\ vec j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce1ed1de8493f7cc7d856ca5427cf311b1597f1)
OVS→=-OEeu→+EVSh→;ONO→=-OFeu→+FNOk→{\ displaystyle {\ overrightarrow {OC}} = - OE {\ vec {i}} + EC {\ vec {h}}; \ quad {\ overrightarrow {OA}} = - OF {\ vec {i}} + FA {\ vec {k}}}![\ overrightarrow {OC} = - OE {\ vec i} + EC {\ vec h}; \ quad \ overrightarrow {OA} = - OF {\ vec i} + FA {\ vec k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a11aee6c8ac9179d419357f30d3a277d270ac1c)
Por outro lado :
OE=OVScos(no)=cos(no);NOF=NOOpecado(vs)=pecado(vs);EVS=OVSpecado(no)=pecado(no);OF=NOOcos(vs)=cos(vs){\ displaystyle OE = OC \ cos (a) = \ cos (a); \ quad AF = AO \ sin (c) = \ sin (c); \ quad EC = OC \ sin (a) = \ sin (a ); \ quad OF = AO \ cos (c) = \ cos (c)}![{\ displaystyle OE = OC \ cos (a) = \ cos (a); \ quad AF = AO \ sin (c) = \ sin (c); \ quad EC = OC \ sin (a) = \ sin (a ); \ quad OF = AO \ cos (c) = \ cos (c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a606a589a0f5da6e980d411bd0684e7d0f2bfd10)
portanto :
OVS→⋅ONO→=(-OEeu→+EVSh→)(-OFeu→+FNOk→)=(OE⋅OF)+(EVS→⋅FNO→)=cos(no)cos(vs)+(EVS→⋅FNO→){\ displaystyle {\ overrightarrow {OC}} \ cdot {\ overrightarrow {OA}} = (- OE \, {\ vec {i}} + EC \, {\ vec {h}}) (- OF \, { \ vec {i}} + FA \, {\ vec {k}}) = (OE \ cdot OF) + ({\ overrightarrow {EC}} \ cdot {\ overrightarrow {FA}}) = \ cos (a) \ cos (c) + ({\ overrightarrow {EC}} \ cdot {\ overrightarrow {FA}})}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {OC}} \ cdot {\ overrightarrow {OA}} = (- OE \, {\ vec {i}} + EC \, {\ vec {h}}) (- OF \, { \ vec {i}} + FA \, {\ vec {k}}) = (OE \ cdot OF) + ({\ overrightarrow {EC}} \ cdot {\ overrightarrow {FA}}) = \ cos (a) \ cos (c) + ({\ overrightarrow {EC}} \ cdot {\ overrightarrow {FA}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e27b95a4433ba0bfc14e1c93e93a2688d0526911)
ouro :
EVS→⋅FNO→=EVS⋅FNO⋅cos(β)=pecado(no)pecado(vs)cos(β);OVS→⋅ONO→=cos(b){\ displaystyle {\ overrightarrow {EC}} \ cdot {\ overrightarrow {FA}} = EC \ cdot FA \ cdot \ cos (\ beta) = \ sin (a) \ sin (c) \ cos (\ beta); \ quad {\ overrightarrow {OC}} \ cdot {\ overrightarrow {OA}} = \ cos (b)}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {EC}} \ cdot {\ overrightarrow {FA}} = EC \ cdot FA \ cdot \ cos (\ beta) = \ sin (a) \ sin (c) \ cos (\ beta); \ quad {\ overrightarrow {OC}} \ cdot {\ overrightarrow {OA}} = \ cos (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b382516db1c4f0a96c68ce49d04163272d8a04)
portanto :
cos(b)=cos(no)cos(vs)+pecado(no)pecado(vs)cos(β){\ displaystyle \ cos (b) = \ cos (a) \ cos (c) + \ sin (a) \ sin (c) \ cos (\ beta)}![{\ displaystyle \ cos (b) = \ cos (a) \ cos (c) + \ sin (a) \ sin (c) \ cos (\ beta)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727763df8deb54fbdd3ae32698fa70d03587f8b0)
.
Por permutação circular, obtemos as diferentes relações:
{cos(b)=cos(no)cos(vs)+pecado(no)pecado(vs)cos(β)cos(vs)=cos(b)cos(no)+pecado(b)pecado(no)cos(γ)cos(no)=cos(vs)cos(b)+pecado(vs)pecado(b)cos(α){\ displaystyle {\ begin {cases} \ cos (b) = \ cos (a) \ cos (c) + \ sin (a) \ sin (c) \ cos (\ beta) \\\ cos (c) = \ cos (b) \ cos (a) + \ sin (b) \ sin (a) \ cos (\ gamma) \\\ cos (a) = \ cos (c) \ cos (b) + \ sin (c ) \ sin (b) \ cos (\ alpha) \ end {casos}}}
Outras fórmulas
Fórmulas de meio-ângulos e meio-lados
Let s =1/2( a + b + c ) o meio perímetro do triângulo. Então nós temos:
bronzeado2γ2=pecado(s-no)pecado(s-b)pecadospecado(s-vs){\ displaystyle \ tan ^ {2} {\ frac {\ gamma} {2}} = {\ frac {\ sin (sa) \, \ sin (sb)} {\ sin s \, \ sin (sc)} }}![\ tan ^ 2 \ frac {\ gamma} {2} = \ frac {\ sin (sa) \, \ sin (sb)} {\ sin s \, \ sin (sc)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/866927a39528b7c34136a6f9accda3ee2cdb686e)
e para fórmulas duplas, com σ =1/2( α + β + γ ) :
bronzeado2vs2=-cosσcos(σ-γ)cos(σ-α)cos(σ-β){\ displaystyle \ tan ^ {2} {\ frac {c} {2}} = - {\ frac {\ cos \ sigma \, \ cos (\ sigma - \ gamma)} {\ cos (\ sigma - \ alpha ) \, \ cos (\ sigma - \ beta)}}}![\ tan ^ {2} {\ frac {c} {2}} = - {\ frac {\ cos \ sigma \, \ cos (\ sigma - \ gamma)} {\ cos (\ sigma - \ alpha) \, \ cos (\ sigma - \ beta)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a8a3d260101340e16acb8ab2bb501ccc6082e5)
.
As fórmulas que, como a relação fundamental, relacionam um ângulo do centro aos três lados do triângulo esférico não contêm uma soma. Eles eram amplamente usados para cálculos práticos usando tabelas de logaritmos.
Fórmulas de Gauss
Nós temos :
cosno+b2cosvs2=cosα+β2pecadoγ2{\ displaystyle {\ frac {\ cos {\ frac {a + b} {2}}} {\ cos {\ frac {c} {2}}}} = {\ frac {\ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}} {\ sin {\ frac {\ gamma} {2}}}}}![\ frac {\ cos \ frac {a + b} {2}} {\ cos \ frac {c} {2}} = \ frac {\ cos \ frac {\ alpha + \ beta} {2}} {\ sin \ frac {\ gamma} {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fdd71af505f4cf4a027ea8167cf4d4b75e34034)
e
pecadono+b2pecadovs2=cosα-β2pecadoγ2{\ displaystyle {\ frac {\ sin {\ frac {a + b} {2}}} {\ sin {\ frac {c} {2}}}} = {\ frac {\ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ sin {\ frac {\ gamma} {2}}}}}
assim como :
cosno-b2cosvs2=pecadoα+β2cosγ2{\ displaystyle {\ frac {\ cos {\ frac {ab} {2}}} {\ cos {\ frac {c} {2}}}} = {\ frac {\ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}} {\ cos {\ frac {\ gamma} {2}}}}}![\ frac {\ cos \ frac {ab} {2}} {\ cos \ frac {c} {2}} = \ frac {\ sin \ frac {\ alpha + \ beta} {2}} {\ cos \ frac {\ gamma} {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ca72394265d90673970a7a3bdb57e6225c7c9b4)
e
pecadono-b2pecadovs2=pecadoα-β2cosγ2 .{\ displaystyle {\ frac {\ sin {\ frac {ab} {2}}} {\ sin {\ frac {c} {2}}}} = {\ frac {\ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ cos {\ frac {\ gamma} {2}}}} ~.}
Deduzimos a lei das tangentes na trigonometria esférica :
bronzeadono-b2bronzeadono+b2=bronzeadoα-β2bronzeadoα+β2 .{\ displaystyle {\ frac {\ tan {\ frac {ab} {2}}} {\ tan {\ frac {a + b} {2}}}} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}} ~.}
Analogias de Napier
Eles são obtidos combinando as fórmulas de Gauss duas a duas:
- bronzeadovs2cosα-β2=bronzeadono+b2cosα+β2{\ displaystyle \ tan {\ frac {c} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} = \ tan {\ frac {a + b} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}
![\ tan \ frac {c} {2} \ cos \ frac {\ alpha- \ beta} {2} = \ tan \ frac {a + b} {2} \ cos \ frac {\ alpha + \ beta} {2 }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed65f9fb9eb83a5b23f3f396e30d1b4634403475)
- bronzeadovs2pecadoα-β2=bronzeadono-b2pecadoα+β2{\ displaystyle \ tan {\ frac {c} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} = \ tan {\ frac {ab} {2}} \ sin {\ frac { \ alpha + \ beta} {2}}}
![\ tan \ frac {c} {2} \ sin \ frac {\ alpha- \ beta} {2} = \ tan \ frac {ab} {2} \ sin \ frac {\ alpha + \ beta} {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9191f8bfc930221d13d7b0cfc19d0cf6db99aec)
- custoγ2cosno-b2=bronzeadoα+β2cosno+b2{\ displaystyle \ cot {\ frac {\ gamma} {2}} \ cos {\ frac {ab} {2}} = \ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {a + b} {2}}}
![\ cot \ frac {\ gamma} {2} \ cos \ frac {ab} {2} = \ tan \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ cos \ frac {a + b} {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746d6167f393f8f7457d332d9da7572dde305577)
- custoγ2pecadono-b2=bronzeadoα-β2pecadono+b2{\ displaystyle \ cot {\ frac {\ gamma} {2}} \ sin {\ frac {ab} {2}} = \ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \ sin {\ frac {a + b} {2}}}
![\ cot \ frac {\ gamma} {2} \ sin \ frac {ab} {2} = \ tan \ frac {\ alpha- \ beta} {2} \ sin \ frac {a + b} {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db801bd7b33da5f581a17b0049414b7bf0101f56)
Área do triângulo esférico
Em inglês, é conhecida como fórmula de Girard . Notavelmente, a área do triângulo esférico é calculada de forma muito simples a partir de seus três ângulos: é exatamente igual ao seu "defeito euclidiano" (diferença entre a soma dos ângulos do triângulo e π ) multiplicado pelo quadrado do raio R da esfera. É :
S=(α+β+γ-π)R2=R2ε{\ displaystyle S = (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi) R ^ {2} = R ^ {2} \ varepsilon}
Nota: ε é um ângulo sólido expresso em esteradianos (para e expresso em radianos). É chamado de excesso esférico .
α,β{\ displaystyle \ alpha, \, \ beta}
γ{\ displaystyle \ gamma}![\gama](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
Esta fórmula é mostrada de forma elementar. Isso é feito em três etapas:
- Quando a esfera é cortada em quatro setores (" fusos esféricos " ou "luas" em Legendre) por dois planos diamétricos, a área de um dos setores assim recortados é proporcional ao ângulo dos dois planos. Portanto, vale a pena:α{\ displaystyle \ alpha}
2αR2{\ displaystyle {2 \ alpha R ^ {2}}}
.
- Os três planos diamétricos que definem um triângulo esférico recortado na esfera são doze fusos, seis dos quais contêm este triângulo ou o seu simétrico, da mesma área, em relação ao centro da esfera. Esses seis fusos cobrem a esfera, o triângulo e seu simétrico sendo cobertos três vezes cada, o resto sendo coberto apenas uma vez. Assim, a soma das áreas dos seis fusos é a da esfera aumentada quatro vezes pela do triângulo. Segue-se:
2(2αR2+2βR2+2γR2)=4πR2+4S{\ displaystyle {2 (2 \ alpha R ^ {2} +2 \ beta R ^ {2} +2 \ gamma R ^ {2}) = 4 \ pi R ^ {2} + 4S}}![{\ displaystyle {2 (2 \ alpha R ^ {2} +2 \ beta R ^ {2} +2 \ gamma R ^ {2}) = 4 \ pi R ^ {2} + 4S}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3b17dc5677de7fa624c433d12ec54dfad3a7b3)
.
- Assim, após a transformação:
S=(α+β+γ-π)R2.{\ displaystyle {S = (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi) R ^ {2}}.}
Esta fórmula, descoberta por Thomas Harriot , mas não publicada, foi dada pela primeira vez por Albert Girard por volta de 1625.
Fórmula Galheteiro
Esta fórmula é análoga à fórmula de Heron, que calcula a área de um triângulo euclidiano com base em seus lados, e faz o mesmo para o triângulo esférico:
bronzeados2bronzeados-no2bronzeados-b2bronzeados-vs2=bronzeado2ε4{\ displaystyle \ tan {\ frac {s} {2}} \ tan {\ frac {sa} {2}} \ tan {\ frac {sb} {2}} \ tan {\ frac {sc} {2} } = \ tan ^ {2} {\ frac {\ varepsilon} {4}}}![\ tan \ frac {s} {2} \ tan \ frac {sa} {2} \ tan \ frac {sb} {2} \ tan \ frac {sc} {2} = \ tan ^ 2 \ frac {\ varepsilon } {4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc4162f6b30dface94ba98d364b1a4785b0a2c71)
(lembre-se de que chamamos s =1/2( a + b + c ) o meio perímetro).
Caso especial do triângulo retângulo esférico
As seguintes fórmulas podem ser exibidas como casos especiais das fórmulas acima, mas são historicamente estabelecido antes aqueles em o um triângulo por árabe matemáticos X e a XIII th século. Eles são seis em número. Para o resto, usaremos as notações estabelecidas anteriormente e consideraremos um triângulo retângulo em C.
Fórmula 1 : Em qualquer triângulo retângulo, o seno de um lado é igual ao seno da hipotenusa multiplicado pelo seno do ângulo oposto:
pecadono=pecadovspecadoα.{\ displaystyle \ sin \, a = \ sin \, c \ sin \, \ alpha.}
Esta fórmula é um caso especial da fórmula do seno.
Fórmula 2 : Em qualquer triângulo retângulo, o cosseno da hipotenusa é igual ao produto dos cossenos dos outros dois lados:
cosvs=cosbcosno.{\ displaystyle \ cos \, c = \ cos \, b \ cos \, a.}
Esta fórmula é um caso especial da fórmula do cosseno.
Fórmula 3 : Em qualquer triângulo retângulo, a cotangente de um ângulo é igual ao cosseno da hipotenusa multiplicado pela tangente do outro ângulo:
custoα=cosvsbronzeadoβ.{\ displaystyle \ cot \, \ alpha = \ cos \, c \ tan \, \ beta.}
Esta fórmula é um caso especial da relação dual da fórmula do cosseno.
Fórmula 4 : em qualquer triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo é igual ao cosseno do lado oposto multiplicado pelo seno do outro ângulo:
cosα=cosnopecadoβ.{\ displaystyle \ cos \, \ alpha = \ cos \, a \ sin \, \ beta.}
Esta fórmula é um caso especial da fórmula do cosseno.
Fórmula 5 : Em qualquer triângulo retângulo, a tangente de um lado é igual à tangente da hipotenusa multiplicada pelo cosseno do ângulo adjacente:
bronzeadono=bronzeadovscosβ.{\ displaystyle \ tan \, a = \ tan \, c \ cos \, \ beta.}
Esta fórmula é um caso especial da terceira fórmula fundamental.
Fórmula 6 : Em qualquer triângulo retângulo, a tangente de um lado é igual à tangente do ângulo oposto multiplicado pelo seno do outro lado:
bronzeadono=bronzeadoαpecadob.{\ displaystyle \ tan \, a = \ tan \, \ alpha \ sin \, b.}
Esta fórmula é um caso especial da fórmula cotangente.
Essas relações trigonométricas devem ser comparadas às do triângulo retângulo no plano. Sabendo que BC / R = a , e que um triângulo em um plano é um triângulo em uma esfera de raio infinito, podemos usar as expansões limitadas:
pecadono=no+o(no2){\ displaystyle \ sin \, a = a + o (a ^ {2})}
cosno=1-no22+o(no3){\ displaystyle \ cos \, a = 1 - {\ frac {a ^ {2}} {2}} + o (a ^ {3})}
nas fórmulas, possivelmente multiplique por R ou R² e vá até o limite.
Em seguida, obtemos:
-
Fórmula 1 :BVS=NOBpecadoα{\ displaystyle BC = AB \ sin \, \ alpha}
-
Fórmula 2 :NOB2=BVS2+NOVS2{\ displaystyle AB ^ {2} = BC ^ {2} + AC ^ {2}}
Essa igualdade justifica o fato de que a fórmula 2 é freqüentemente chamada de teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo esférico.
-
Fórmula 3 :custoα=bronzeadoβ{\ displaystyle \ cot \, \ alpha = \ tan \, \ beta}
-
Fórmula 4 :cosα=pecadoβ{\ displaystyle \ cos \, \ alpha = \ sin \, \ beta}
-
Fórmula 5 :BVS=NOBcosβ{\ displaystyle BC = AB \ cos \, \, \ beta}
-
Fórmula 6 :BVS=VSNObronzeadoα{\ displaystyle BC = CA \ tan \, \ alpha}
De volta ao plano de trigonometria
Na trigonometria esférica, o trabalho é feito nos ângulos α , β , γ do triângulo e nos ângulos centrais a , b , c interceptando os arcos BC, CA, AB. Se quisermos trabalhar nos comprimentos a ' , b' , c ' dos lados do triângulo, é necessário (considerando que os ângulos são expressos em radianos) operar as conversões a = a' / R , b = b ' / R , c = c' / R
Podemos então nos perguntar sobre o destino das fórmulas para um triângulo cujas dimensões a ' , b' , c ' permanecem constantes, enquanto o raio da esfera cresce indefinidamente, o triângulo esférico então se tornando um plano ou triângulo euclidiano.
Limites
limh→0pecadohh=1{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ sin h} {h}} = 1}
limh→01-coshh2=12{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {1- \ cos h} {h ^ {2}}} = {\ frac {1} {2}}}
permitir passagem até o limite
limR→∞Rpecadono=no′{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R \ sin a = a '}
limR→∞2R2(1-cosno)=no′2{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} 2R ^ {2} (1- \ cos a) = a '^ {2}}
limR→∞R(1-cosno)=0{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R (1- \ cos a) = 0}
e permitir a substituição dos membros esquerdos pelos direitos quando o raio for infinitamente grande.
Fórmula de cosseno
Notar que:
1-cosnocosb=(1-cosno)+(1-cosb)-(1-cosno)(1-cosb),{\ displaystyle 1- \ cos a \ cos b = (1- \ cos a) + (1- \ cos b) - (1- \ cos a) (1- \ cos b) \ ,,}![{\ displaystyle 1- \ cos a \ cos b = (1- \ cos a) + (1- \ cos b) - (1- \ cos a) (1- \ cos b) \ ,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b191113721bab02418ae67f8d0b0a8475dfc65)
a fórmula
cosvs=cosnocosb+pecadonopecadobcosγ{\ displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma}![{\ displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f708ef80e46c2ae5bbc977ed762676c42cf14c8a)
pode se transformar em
1-cosvs=(1-cosno)+(1-cosb)-(1-cosno)(1-cosb)-pecadonopecadobcosγ ,{\ displaystyle 1- \ cos c = (1- \ cos a) + (1- \ cos b) - (1- \ cos a) (1- \ cos b) - \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma ~,}![{\ displaystyle 1- \ cos c = (1- \ cos a) + (1- \ cos b) - (1- \ cos a) (1- \ cos b) - \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma ~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a011ecba19d69f0bb55be4395e7f14fb6b090b0b)
então, multiplicando por 2 R 2 e fazendo as substituições anunciadas
vs′2=no′2+b′2-2no′b′cosγ .{\ displaystyle c '^ {2} = a' ^ {2} + b '^ {2} -2a'b' \ cos \ gamma ~.}![{\ displaystyle c '^ {2} = a' ^ {2} + b '^ {2} -2a'b' \ cos \ gamma ~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26243a1700a0defee408e6f576a76a194579e78e)
Deixe a lei dos cossenos avião
A forma dual, por outro lado, dá a igualdade
cosγ=-cosαcosβ+pecadoαpecadoβ=-cos(α+β){\ displaystyle \ cos \ gamma = - \ cos \ alpha \, \ cos \ beta + \ sin \ alpha \, \ sin \ beta = - \ cos (\ alpha + \ beta)}![{\ displaystyle \ cos \ gamma = - \ cos \ alpha \, \ cos \ beta + \ sin \ alpha \, \ sin \ beta = - \ cos (\ alpha + \ beta)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42cb9822b8175f59818c79c15ddb7128b54f9f8)
lembrando que os ângulos γ e α + β são adicionais em um triângulo plano.
Fórmula sinusal
É imediatamente traduzido da fórmula em trigonometria esférica, multiplicando-o por R :
no′pecadoα=b′pecadoβ=vs′pecadoγ ,{\ displaystyle {\ frac {a '} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b'} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c '} {\ sin \ gamma}} ~,}
Fórmula de Heron
Multiplicando a fórmula de Huilier por R 4 , obtemos:
Rbronzeados2Rbronzeados-no2Rbronzeados-b2Rbronzeados-vs2=R4bronzeado2ε4{\ displaystyle R \ tan {\ frac {s} {2}} R \ tan {\ frac {sa} {2}} R \ tan {\ frac {sb} {2}} R \ tan {\ frac {sc } {2}} = R ^ {4} \ tan ^ {2} {\ frac {\ varepsilon} {4}}}![{\ displaystyle R \ tan {\ frac {s} {2}} R \ tan {\ frac {sa} {2}} R \ tan {\ frac {sb} {2}} R \ tan {\ frac {sc } {2}} = R ^ {4} \ tan ^ {2} {\ frac {\ varepsilon} {4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33bee0d4e12c5304e26b777a3b090bed8522847d)
Ouro
limR→∞Rbronzeados2=p′2{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R \ tan {\ frac {s} {2}} = {\ frac {p '} {2}}}
limR→∞Rbronzeados-no2=p′-no′2{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R \ tan {\ frac {sa} {2}} = {\ frac {p'-a '} {2}}}
onde p ' é a meia soma dos lados do triângulo. Podemos deduzir:
limR→∞R4bronzeado2ε4=p′(p′-no′)(p′-b′)(p′-vs′)16{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R ^ {4} \ tan ^ {2} {\ frac {\ varepsilon} {4}} = {\ frac {p '(p'-a') ( p'-b ') (p'-c')} {16}}}![{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R ^ {4} \ tan ^ {2} {\ frac {\ varepsilon} {4}} = {\ frac {p '(p'-a') ( p'-b ') (p'-c')} {16}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/241d19fa76012565e41c2bc71891ace36acb71b7)
Ou novamente, uma vez que ε / 4 e tan ( ε / 4), são equivalentes:
limR→∞R4ε2=p′(p′-no′)(p′-b′)(p′-vs′){\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R ^ {4} \ varejpsilon ^ {2} = p '(p'-a') (p'-b ') (p'-c')}![{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} R ^ {4} \ varejpsilon ^ {2} = p '(p'-a') (p'-b ') (p'-c')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39cd25b9bedfc38e178df8c0537ceb5ce252f2d1)
Substituindo na fórmula da área e passando ao limite:
S2=p′(p′-no′)(p′-b′)(p′-vs′){\ displaystyle S ^ {2} = p '(p'-a') (p'-b ') (p'-c')}![{\ displaystyle S ^ {2} = p '(p'-a') (p'-b ') (p'-c')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1145e99b3b15e6f593354b2f5134dee64965e1ce)
que é a fórmula da geometria plana de Heron .
Triângulo polar
Em uma esfera com centro O, consideramos dois pontos A e B distintos e não diametralmente opostos. A linha que passa por O e ortogonal ao plano OAB encontra a esfera em dois pontos que são chamados de pólos do plano (OAB).
Para um triângulo ABC desenhado em uma esfera, chamamos C 'o pólo do plano (OAB) localizado no mesmo hemisfério que C. Construímos os pontos A' e B 'da mesma maneira. O triângulo (A'B'C ') é chamado de triângulo polar do triângulo ABC.
Por construção, os grandes círculos (C'B ') e (C'A') cruzam o grande círculo (AB) em um ângulo reto. É o mesmo para os dois grandes círculos (B'A ') e (B'C') para o grande círculo (AC), etc. Os lados do triângulo polar são, portanto, cada um perpendiculares a dois lados do triângulo original.
A transformação que, a um triângulo associa seu triângulo polar, é uma aplicação involutiva, ou seja, o triângulo polar do triângulo (A'B'C ') é o triângulo (ABC).
Os lados do triângulo (A'B'C ') são os ângulos adicionais do triângulo (ABC). Que é expresso pelas seguintes igualdades:
no′+α=πb′+β=πvs′+γ=π{\ displaystyle a '+ \ alpha = \ pi \ quad b' + \ beta = \ pi \ quad c '+ \ gamma = \ pi}
e por propriedade da involução, os ângulos do triângulo polar são os adicionais dos lados do triângulo (ABC). É :
no+α′=πb+β′=πvs+γ′=π{\ displaystyle a + \ alpha '= \ pi \ quad b + \ beta' = \ pi \ quad c + \ gamma '= \ pi}
Essas relações permitem deduzir, das fórmulas fundamentais, as fórmulas duais mencionadas acima.
Visão histórica
A trigonometria , particularmente a trigonometria esférica, deve muito aos astrônomos e matemáticos gregos Hiparco de Nicéia e Menelau de Alexandria , mas também à língua persa, matemáticos árabes e indianos . Entre os mais famosos estão Bhāskara II , Abu Nasr Mansur , Abu l-Wafa e Al-Biruni que demonstram a regra do seno para qualquer triângulo, bem como as fórmulas para o triângulo retângulo. Trigonometria esférica com destaque nos tratados de astronomia árabes tratados e específicos dedicados a ele como tratado trigonometria esférica de Ibn Mu'adh al-Jayyani ( XI th século ), um matemático da Andaluzia , em seguida, sob o domínio muçulmano ou de Nasir al-Din al- tusi ( XIII th século ).
Formulários
Cálculos de coordenadas :
Considere também a aplicação a painéis solares planos .
Notas e referências
Notas
-
O limite inferior é atingido apenas no limite, para um triângulo de superfície tendendo para zero (para uma dada esfera) ou para uma esfera de raio tendendo para o infinito (para três vértices de determinadas longitudes e latitudes). O limite superior é atingido, em qualquer esfera, quando os três vértices estão localizados no mesmo grande círculo.
Referências
-
(em) Glen Van Brummelen , " Trigonometria para os céus " , Physics Today , Vol. 70, n o 12,2017, p. 70-71 ( DOI 10.1063 / PT.3.3798 ).
-
Segundo Michel Chasles , Panorama histórico sobre a origem e o desenvolvimento de métodos em geometria , Bruxelas, impr. Hayez,1837( leia online ) , p. 54.
-
Como obter a distância entre dois pontos conhecidos em longitude e latitude na esfera no site geodesy.ign.fr
-
| http://publimath.univ-irem.fr/glossaire/EX001.htm Excesso esférico], Publimath Glossário
-
Algumas explicações no site do Palais de la Découverte
-
Ver, por exemplo, Antoine Meyer, Spherical Trigonometry Lessons , Decq, 1844, p. 31
-
Marie-Thérèse Debarnot, “Trigonometria” , em Roshdi Rashed, Histoire des sciences arabe: Mathématiques et physique , t. 2, Limiar,1997, p. 165-198, pp = 172-185
-
Para uma demonstração pode-se ler, esférico trigonometria por Pierre-Yves Créach, p. 13-15
-
Obras completas de François Arago . François Arago, tomo 3, página 158 (Gide, Paris - 1855).
-
Marie-Thérèse Debarnot , "trigonometria" , em Roshdi Rashed , Histoire des Sciences Arabe , vol. 2, Limiar,1997.
-
Debarnot 1997 , p. 172-176.
Veja também
Artigos relacionados
links externos
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