Espaço de comprimento

Em matemática , um espaço de comprimento é um espaço métrico particular, que generaliza a noção de variedade Riemanniana : a distância é definida por uma função que verifica uma axiomática aproximando-a da ideia concreta de distância. O comprimento das zonas foram estudados no início XX th século por Busemann (em) e Rinow (em) sob o nome de espaços métricos intrínsecas, e reintroduzidas mais recentemente por Mikhael Gromov .

Estruturas de comprimento

Seja X um espaço topológico. Uma curva em X é um mapa contínuo , onde I é um intervalo de . ${\ displaystyle c: I \ rightarrow X}$ $\ mathbb {R}$

Uma estrutura de comprimento em X são os dados de um conjunto de curvas (chamadas admissíveis) e de um aplicativo que verifica as seguintes propriedades: $\ mathcal {C}$ ${\ displaystyle L: {\ mathcal {C}} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}$

se c é constante, ${\ displaystyle L (c) = 0}$
Justaposição: se e são admissíveis e tal que ${\ displaystyle c_ {1}: [a, b] \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle c_ {2}: [b, c] \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle c_ {1} (b) = c_ {2} (b)}$

e se for a curva obtida seguindo por , então é admissível, e ${\ displaystyle c_ {3}: [a, c] \ rightarrow X}$ $c_ {1}$ $c_ {2}$ $c_ {3}$ ${\ displaystyle L (c_ {3}) = L (c_ {1}) + L (c_ {2})}$

Restrição: se admissível, o mesmo se aplica às suas restrições a qualquer subintervalo, sendo a aplicação contínua. ${\ displaystyle c: [a, b] \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle t \ mapsto L (c _ {\ vert [a, t]})}$
Independência do ambiente: se é admissível, e se , então é admissível e ${\ displaystyle c: I \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle \ varphi (t) = \ alpha t + \ beta}$ ${\ displaystyle c \ circ \ phi}$ ${\ displaystyle L (c \ circ \ phi) = L (c)}$
Compatibilidade: para qualquer x de X e qualquer vizinhança aberta de x , existe tal que qualquer curva admissível tal que e satisfaça . ${\ displaystyle U \ subset X}$ $r> 0$ ${\ displaystyle c: [a, b] \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle c (a) = x}$ ${\ displaystyle c (b) \ notin U}$ ${\ displaystyle L (c)> r}$

Exemplos

O caso modelo é obviamente o do espaço euclidiano.

Toma-se para curvas admissíveis as curvas por peças, e para L o comprimento usual. ${\ displaystyle C ^ {1}}$

Se tomarmos como curvas admissíveis as curvas por pedaços de ${\ displaystyle C ^ {1}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$

como

{\ displaystyle z ^ {\ prime} -xy ^ {\ prime} = 0}

um exemplo de uma estrutura de comprimento Carnot-Carathéodory é obtido .

Qualquer métrica Riemanniana ou Finsleriana define uma estrutura de comprimento.

Distância associada a uma estrutura de comprimento.

Vamos ser o limite inferior das torneiras para todas as curvas admissíveis juntando x e y . Assim, definimos uma distância em X (assumindo valores possivelmente infinitos). A topologia associada a esta distância é mais precisa do que a topologia inicial. ${\ displaystyle d_ {L} (x, y)}$ ${\ displaystyle L (c)}$

Estrutura de comprimento definida por uma distância.

Em um espaço métrico ( X , d ), definimos o comprimento de uma curva como o limite superior das somas ${\ displaystyle c: [a, b] \ rightarrow X}$

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} d \ left (c (a_ {i-1}), c (a_ {i}) \ right).}

tomado para todas as subdivisões do intervalo [a, b] . Para obter detalhes, consulte o comprimento de um arco do artigo . Obtemos assim uma estrutura de comprimento em X (sendo as curvas admissíveis as curvas retificáveis). Se é a distância associada a esta estrutura de comprimento, temos . ${\ displaystyle a_ {0} = a <a_ {1} \ ldots <a_ {n} = b}$ ${\ displaystyle {\ widehat {d}}}$ ${\ displaystyle d <{\ widehat {d}}}$

Exemplo . Se ( X , d ) é o círculo unitário do plano euclidiano dotado da distância induzida, é a distância angular. ${\ displaystyle {\ widehat {d}}}$

Cuidado . Pode acontecer que a topologia definida por seja estritamente mais precisa do que a topologia inicial. ${\ displaystyle {\ widehat {d}}}$

Se reiterarmos esta construção de , a métrica não muda. Em outras palavras . ${\ displaystyle {\ widehat {d}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ widehat {d}}} = {\ widehat {d}}}$

Espaços de comprimento

Definição . Um espaço métrico ( X , d ) é um espaço de comprimento si . Também dizemos que ( X , d ) é um espaço métrico intrínseco. ${\ displaystyle d = {\ widehat {d}}}$

Exemplo . Uma superfície do espaço euclidiano, munida da métrica induzida, não é um espaço de comprimento, a menos que seja totalmente geodésico. É se for fornecido com a distância associada à métrica Riemanniana induzida. É esta situação que justifica a terminologia alternativa da métrica intrínseca.

Um espaço de comprimento é conectado por arcos e localmente conectado por arcos . É por isso que existem espaços topológicos metrizáveis que não podem ser fornecidos com uma estrutura de comprimento, como o conjunto de números racionais.

Um espaço métrico completo é um espaço de comprimento se e somente se houver "pontos médios próximos". Em outras palavras

Teorema . Seja ( X , d ) um espaço métrico completo. É um espaço de comprimento, se e apenas se, qualquer que seja x e y em X e , existe um z tal que $\ epsilon> 0$

{\ displaystyle d (x, z) \ leq {\ frac {1} {2}} d (x, y) + \ epsilon \ quad {\ hbox {e}} \ quad d (y, z) \ leq { \ frac {1} {2}} d (x, y) + \ epsilon.}

Também temos a seguinte versão do teorema de Hopf-Rinow .

Teorema . Seja ( X , d ) um espaço de comprimento localmente compacto e completo. Em seguida, todas as bolas fechadas são compactos, e quaisquer dois pontos x e y sempre podem ser unidos por uma curva de comprimento d ( x , y ).

Bibliografia

D. Burago, Y. Burago (en) e S. Ivanov , A Course in Metric Geometry , Graduate Studies in Mathematics 33, Amer. Matemática. Soc.
H. Busemann, The Geometry of Geodesics , Academic Press , New York 1955
M. Gromov, Metric Strutures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces , Progress in Math. 152, Birkhäuser , Boston 1999
A. Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature , IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 6, European Mathematical Society 2005.

Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volume I, 908 p., Springer International Publishing, 2018.
Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volume II, 842 p., Springer International Publishing, 2018.