Teorema de Hopf-Rinow
Seja ( M , g ) uma variedade Riemanniana conectada ( sem limite ). O teorema de Hopf-Rinow afirma que as seguintes propriedades são equivalentes:
- Não existe um ponto de m em M para os quais a aplicação exponencial inicial m é definido como o t m M .
- Para qualquer ponto m em H , o exponencial inicial m é definido como o t m M .
- A variedade ( M , g ) é geodésicamente completa, ou seja, as geodésicas são definidas em ℝ.
- O espaço M está completo para a distância Riemanniana.
- As partes fechadas e limitadas são compactas .
Além disso, nesta situação, quaisquer dois pontos a e b de H pode ser ligado por uma geodésica de comprimento d ( um , b ). Em particular, o mapa exponencial (qualquer que seja sua origem) é sobrejetivo .
O teorema tem o nome de Heinz Hopf e seu aluno Willi Rinow (de) (1907-1979).
Admite uma versão mais geral no quadro dos espaços de comprimento .
Exemplos
- O teorema de Hopf-Rinow implica que todas as variedades Riemannianas compactas e conectadas são geodésicamente completas. Por exemplo, a esfera está geodésicamente completa.
- O espaço euclidiano ℝ n e os espaços hiperbólicos são geodesicamente completos.
- O espaço métrico M : = ℝ 2 \ {0} com a métrica Euclidiana induzida não é geodésicamente completo. De fato, em M , dois pontos opostos não são conectados por nenhuma geodésica. O espaço métrico M também não é completo, pois não é fechado em ℝ 2 .
Aplicação para grupos de Lie
Seja G um grupo de Lie dotado de uma métrica Riemanniana bi-invariante (tal métrica sempre existe se G for compacto ). O exponencial no elemento neutro associado a tal métrica coincide com o exponencial no sentido da teoria dos grupos de Lie . Em particular, as geodésicas que passam pelo elemento neutro são identificadas com subgrupos de um parâmetro . Portanto :
- para qualquer grupo de Lie compacto G , o exponencial (no sentido da teoria do grupo de Lie) é sobrejetiva;
- o grupo de Lie SL (2, ℝ) não admite nenhuma métrica Riemanniana bi-invariante (visto que o exponencial não é sobrejetivo, tome por exemplo ).
