Comprimento de um arco

Em geometria , a questão do comprimento de um arco é fácil de conceber (intuitiva). A ideia de arco corresponde à de uma linha, ou de uma trajetória de um ponto em um plano ou espaço, por exemplo. Seu comprimento pode ser visto como a distância percorrida por um ponto material seguindo este caminho ou como o comprimento de um fio ocupando exatamente o lugar desta linha. O comprimento de um arco é um número positivo ou infinito.

Um exemplo antigo é o semicírculo de raio r , onde r denota um número real positivo. Seu comprimento é igual a π r . Um exemplo mais simples é dado por um segmento , seu comprimento é igual à distância entre suas duas extremidades.

Dependendo do tempo, diferentes métodos são usados ​​para definir e medir o comprimento de um conjunto cada vez maior de arcos. Eudoxo de Cnido , um matemático grego do IV º  século  aC. AD , então Arquimedes usa um método, chamado exaustão, para calcular o de um arco de círculo . A física do falecido XVII th  século está desenvolvendo uma nova abordagem, baseada no progresso em mecânica apontar graças especialmente cálculo aplicados à astronomia . O comprimento de um arco é visto como o produto do tempo necessário para um ponto material percorrer o arco vezes sua velocidade, se for considerado constante. Essa definição é generalizada por Bernhard Riemann e se torna a pedra angular para a construção de uma distância e novas formas de geometrias, em objetos agora chamados de variedades Riemannianas .

Para o matemático francês Camille Jordan ( 1838 - 1922 ) , essas definições são muito restritivas. Ele está interessado nas propriedades de uma curva fechada , isto é, um arco cujo ponto inicial se funde com o ponto final. A definição anterior, derivada da física dois séculos antes, assume que o arco é derivável. Essa limitação impede a utilização de um vasto arsenal de métodos, porém essenciais para a resolução de muitas questões. Ele propõe uma nova definição, usando um limite superior e o comprimento de uma linha poligonal . Agora é o mais comumente usado. Para Hermann Minkowski ( 1864 - 1909 ) , as idéias de Jordan são inadequadas às suas necessidades. No contexto das perguntas que ele se faz, o comprimento que ele procura definir é acima de tudo o do limite de uma superfície. Um círculo é definido como o conjunto de pontos P de um disco tal que qualquer vizinhança de P contenha um ponto do disco e um ponto exterior. Ele define o comprimento usando a noção intuitiva de tubo , correspondendo ao conjunto de pontos localizados a uma distância menor que r de um ponto do arco. Essa definição se presta a muitas generalizações, que até tornam possível dar sentido ao comprimento de uma curva fractal .

Primeiros cálculos

Uma das medidas de comprimento mais famosas e mais antigas é a de um arco semicircular de raio 1. Esse comprimento, denominado π, foi calculado há muito tempo. Para os babilônios, seu valor é calculado graças à relação que conecta a área do círculo com o perímetro do meio-arco, eles encontram a aproximação 3 + 1/8.

Um importante avanço teórico é o trabalho de Arquimedes . Para o físico, um polígono convexo cujos vértices são pontos do círculo tem um perímetro menor que o do círculo. Na verdade, é mais curto chegar a dois vértices consecutivos para passar pela aresta (o segmento é o caminho mais curto entre seus dois pontos finais), o que dá uma redução de π. Por outro lado, o polígono convexo regular do qual cada ponto médio da aresta é um ponto do círculo tem um perímetro maior. Se ele não pode demonstrar esta proposição em geral porque não tem uma definição do comprimento de um arco que lhe permitiria realizar essa façanha, parece intuitivo ao olho, e resulta (no caso do círculo) da proporcionalidade entre as áreas dos setores circulares e os arcos que os sustentam. Usando um polígono regular com 96 lados, ele mostra que o valor de π está entre 3 + 1/7 e 3 + 10/71. O princípio do cálculo é dado no artigo pi .

O método é geral para qualquer arco cuja convexidade esteja sempre localizada no mesmo lado, ou seja, cujo arco seja composto apenas de pontos de borda do envelope convexo . Qualquer linha poligonal, cujos vértices estão localizados no arco, tem um comprimento menor que o do arco estudado. Portanto, temos um limite inferior. Podemos então construir uma série de linhas poligonais de comprimentos crescentes ( p n ), todas menores que o comprimento do arco. Uma série de linhas poligonais é então construída fora do envelope convexo, cujas extremidades são as da linha poligonal e que correm cada vez mais precisamente ao longo do arco. A sequência de comprimentos ( P n ) é escolhida para diminuir e cada comprimento é maior que o do arco. Os únicos valores possíveis, para o comprimento do arco, estão localizados no segmento [ p n , P n ]. A sequência é construída de tal forma que a distância entre p n e P n é cada vez menor a tal ponto que para qualquer número estritamente positivo ε, existe um valor n tal que P n - p n é estritamente menor que ε . A intersecção de todos os intervalos [ p n , P n ] é reduzida a um ponto, que é necessariamente o comprimento do arco. Este método é denominado exaustão.

Ele é usado pelo matemático chinês Liu Hui durante a III ª  século com aproximações mais eficientes do que Arquimedes. Ele encontra o valor aproximado de π igual a 3,1416. Este método é eficaz até ao final da XVII th  século e permite encontrar outros resultados, tais como o comprimento de um arco de espiral logarítmica por Torricelli em 1645 ou ciclóide por Christopher Wren .

Classe C arco 1

Uma abordagem cinemática

O XVII th  século é o de Galileu . A noção de velocidade instantânea assume um significado, e até dois. A velocidade é antes de tudo um vetor , aquele que deve ser multiplicado por uma duração a para saber a posição de um ponto que se move de maneira retilínea uniforme no final de um retardo a . É também um escalar, aquele que indica a distância percorrida no final da duração a , no caso de um deslocamento uniforme. Falamos de velocidade curvilínea para diferenciar essa magnitude da velocidade do vetor. A velocidade curvilínea corresponde à norma do vetor velocidade. Muitas vezes, o termo velocidade, usado na linguagem comum, corresponde à velocidade curvilínea, por exemplo, na expressão velocidade de 80  km / h , que corresponde a um escalar e não a um vetor.

Esta definição permite uma nova maneira de entender o comprimento de um arco. Para saber esse comprimento, basta encontrar uma formiga, supostamente pequena, movendo-se sempre a uma velocidade curvilínea constante f , para fazê-la percorrer o arco. Se o tempo de viagem do arco for igual a a , então seu comprimento será af . Se essa ideia for bem-sucedida, ela precisa ser acomodada. Modelar o caminho de um arco em velocidade constante é geralmente uma questão mais difícil do que calcular o comprimento desejado. Se a velocidade f for constante, o comprimento pode ser visto como a área de um retângulo de comprimento o tempo a , necessário para percorrer o arco e de altura f . Se a velocidade não for constante, substituímos a linha y = f em um sistema de coordenadas cartesianas pela linha da equação y  =  f ( t ), onde t varia entre 0 e a . O comprimento do arco é igual à área entre as três linhas x = 0, x = a , y = 0 e a linha y = f ( t ). A área mostrada em amarelo pode ser encontrada na figura à direita.

Esta nova abordagem se concretiza através do estudo da parábola semicúbica, com a equação cy 2 = x 3 . Por volta de 1660, esse problema era famoso e interessou a muitos matemáticos. A questão de calcular o comprimento de um arco, então chamada de problema de retificação , era na época considerada muito difícil, senão muitas vezes impossível. John Wallis publicou a solução em 1659 e atribuiu-a a Neil. Um dos motivos para a celebridade da prova é que ela conduz a um valor construtível com a régua e o compasso , nascimento de uma esperança louca de resolução da quadratura do círculo . Esta solução é reproduzida por Van Heuraet no mesmo ano com um método de retificação da parábola usando o cálculo da quadratura de uma hipérbole . O problema da quadratura de uma superfície é determinar sua área. Em 1660, Pierre de Fermat generalizou a abordagem de qualquer curva, que na época se imaginava como sempre derivável, pelo menos aos poucos, mesmo que a noção de derivada ainda não estivesse formalizada.

Um salto gigantesco foi dado entre 20 e 30 anos depois, quando Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz descobriram o cálculo infinitesimal e o segundo teorema fundamental de análise , indicando a relação entre a derivada e a integral . O comprimento L de um arco percorrido durante um período a a uma velocidade curvilínea igual af ( t ) no instante t é igual a:

eu=∫0nof(t) dt.{\ displaystyle L = \ int _ {0} ^ {a} f (t) ~ \ mathrm {d} t.}

Definições

Para ser mais preciso, algumas definições devem ser dadas. Aqui, E denota um espaço euclidiano de dimensão ne ℝ o conjunto de números reais . Para definir um comprimento, é útil associar um significado preciso à palavra arco parametrizado da classe C p , se p for um número inteiro positivo:

Definição de um arco parametrizado  -  Um arco parametrizado de classe C p é um par ( I , f ) composto por um intervalo I de ℝ e uma função de I em um espaço euclidiano, p vezes diferenciável, cuja derivada p ième é contínua e cuja a primeira derivada nunca desaparece.

Pedir à primeira derivada para nunca cancelar permite-nos evitar singularidades que não são o assunto deste artigo. Esta definição fornece o arco e uma maneira de atravessá-lo. No entanto, geometricamente, percorrer um arco rápida ou lentamente, em uma direção ou outra, não altera a natureza do arco. Por este motivo, definimos uma classe de equivalência entre os arcos parametrizados:

Arcos que definem C p -equivalents  -  Seja ( I , F ) ( J , g ) dois arcos parametrizados com valores em E . Se existe um difeomorfismo θ da classe C p de I em J tal que g ∘θ é igual af dizemos que os dois arcos parametrizados são C p -equivalentes.

Por exemplo, cruzar duas vezes um círculo por um arco parametrizado nunca é equivalente a um arco parametrizado cruzando o círculo apenas uma vez. De fato, em um caso qualquer ponto do círculo tem dois antecedentes e no outro caso um único, um difeomorfismo não pode existir. Agora podemos afirmar a definição de um arco geométrico:

Definição de um arco geométrico de classe C p  -  Um arco geométrico é uma classe de equivalência de arcos C p -equivalente.

Torna-se possível definir com rigor o comprimento de um arco geométrico:

Definição do comprimento de um arco geométrico da classe C p  -  O comprimento de um arco geométrico tendo por representante ( I , f ) é o valor L da integral seguinte, igual a um número positivo ou ao infinito:

eu=∫eu‖f′(t)‖ dt.{\ displaystyle L = \ int _ {I} \ | f '(t) \ | ~ \ mathrm {d} t.}

A integral não é necessariamente finita porque o intervalo I não é necessariamente um segmento . Por exemplo, se I for igual a ℝ ef à função que to t associa exp (i t ) com valores nos números complexos identificados no plano euclidiano, o arco geométrico atravessa um número infinito de vezes o círculo unitário, seu comprimento é infinito.

Para que a definição faça sentido, os comprimentos de dois arcos equivalentes C p devem ser iguais. Nós apenas verificamos. Se ( I , f ) e ( J , g ) são dois arcos parametrizados equivalentes C p e se o difeomorfismo θ satisfaz g ∘θ =  f , então a integração por mudança de variável mostra que:

eu=∫J‖g′(t)‖ dt=∫J‖ddt(f∘θ)(t)‖ dt=∫J‖(f′∘θ)(t)‖|θ′(t)| dt=∫eu‖f′(s)‖ ds.{\ displaystyle L = \ int _ {J} \ | g '(t) \ | ~ \ mathrm {d} t = \ int _ {J} \ left \ | {\ frac {d} {dt}} (f \ circ \ theta) (t) \ right \ | ~ \ mathrm {d} t = \ int _ {J} \ | (f '\ circ \ theta) (t) \ || \ theta' (t) | ~ \ mathrm {d} t = \ int _ {I} \ | f '(s) \ | ~ \ mathrm {d} s.}

Formulação

Se E denota um plano euclidiano, a função f pode ser expressa usando duas funções de coordenadas, de I a ℝ, denotadas aqui x ( t ) e y ( t ). Se as coordenadas são expressas em uma base ortonormal e se] a ,  b [designam o intervalo I , a fórmula anterior torna-se:

eu=∫nob(dxdt)2+(dydt)2dt.{\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2}}} \ mathrm {d} t.}

Nessa forma, o comprimento do arco encontra outra justificativa intuitiva que não a velocidade. Deixe- t e t dois números reais positivos tais que t e t + d t são elementos de I . Denote por ( x , y ) as coordenadas da imagem de t e ( x + d x , y + d y ) as de t + d t . Esta situação é ilustrada na figura à direita. Se d t for pequeno o suficiente, a curva está próxima de sua aproximação tangente. Identificar entre esses dois valores do parâmetro o arco com sua aproximação linear tangente ao ponto t reduz localmente o cálculo ao do comprimento d s da hipotenusa de um triângulo retângulo, que é calculado com o teorema de Pitágoras  :

ds≈‖f(t+dt)-f(t)‖≈‖f′(t)dt‖=(dxdt)2+(dydt)2dt.{\ displaystyle ds \ approx \ | f (t + \ mathrm {d} t) -f (t) \ | \ approx \ | f '(t) \ mathrm {d} t \ | = {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t }} \ right) ^ {2}}} \ mathrm {d} t.}

Existe um caso particular usual, aquele em que a curva é o gráfico de uma função g da classe C 1 ao longo de um intervalo I e com valores em ℝ. Para voltar a uma situação mais próxima da anterior, podemos considerar que a curva é representada pelo arco parametrizado ( I , f ) onde f é a função de I em ℝ 2 que a t associa ( t , g ( t )) . Sempre assumindo que] a , b [denota o intervalo I , obtemos:

eu=∫nob1+g′(t)2dt.{\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {1 + g '(t) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t.}

Às vezes é mais conveniente usar as coordenadas polares para expressar o arco parametrizado, o que equivale a usar as seguintes notações:

x=r(θ)cos⁡θey=r(θ)pecado⁡θ.{\ displaystyle x = r (\ theta) \ cos \ theta \ quad {\ text {e}} \ quad y = r (\ theta) \ sin \ theta.}

Podemos deduzir:

dxdθ=r′(θ)cos⁡θ-r(θ)pecado⁡θ,{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ theta}} = r '(\ theta) \ cos \ theta -r (\ theta) \ sin \ theta,}

dydθ=r′(θ)pecado⁡θ+r(θ)cos⁡θ,{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} \ theta}} = r '(\ theta) \ sin \ theta + r (\ theta) \ cos \ theta,}

(dxdθ)2+(dydθ)2=r′(θ)2+r(θ)2,{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ theta}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} { \ mathrm {d} \ theta}} \ right) ^ {2} = r '(\ theta) ^ {2} + r (\ theta) ^ {2},}

o que permite estabelecer a fórmula:

eu=∫nobr′(θ)2+r(θ)2dθ.{\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {r '(\ theta) ^ {2} + r (\ theta) ^ {2}}} \; \ mathrm {d} \ theta .}

Na dimensão 3 e sob as mesmas premissas, a fórmula assume a forma:

eu=∫nob(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2dt.{\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d } t}} \ right) ^ {2}}} \ mathrm {d} t.}

Exemplos

No círculo trigonométrico , o comprimento do arco tendo como extremidades a origem dos arcos e o ponto do primeiro quadrante da ordenada é: b{\ displaystyle b}

arcsin⁡b=∫0b11-t2dt{\ displaystyle \ arcsin b = \ int _ {0} ^ {b} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \; \ mathrm {d} t}.

No XVII th  século, o problema da retificação de um arco está na vanguarda da pesquisa. Sem as ferramentas do cálculo diferencial , essas perguntas requerem uma grande imaginação para serem respondidas. Eles se tornam muito mais fáceis uma vez que a derivada e sua relação com a integral são conhecidas. Um exemplo é o da corrente , uma curva plana que corresponde à forma que um cabo assume quando está suspenso pelas pontas e sujeito ao seu próprio peso. Foi resolvido em 1691 por Leibniz, Huygens e os irmãos Bernoulli . Se cosh denota o cosseno hiperbólico e se a denota um real estritamente positivo, sua equação é a seguinte:

y=nocosh⁡(xno)=no2(exp⁡(xno)+exp⁡(-xno)).{\ displaystyle y = a \ operatorname {cosh} \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) = {\ frac {a} {2}} \ left (\ exp \ left ({\ frac { x} {a}} \ right) + \ exp \ left (- {\ frac {x} {a}} \ right) \ right).}

O comprimento L 0 da cadeia entre o ponto da abscissa 0 e o da abscissa x 0 é dado pela fórmula, se sinh designar o seno hiperbólico  :

eu0=nosinh⁡(x0no).{\ displaystyle L_ {0} = a \ operatorname {sinh} \ left ({\ frac {x_ {0}} {a}} \ right).}

O comprimento de uma espiral logarítmica é determinado primeiro sem o uso de cálculo diferencial. Então, este uso permite uma resolução do problema de uma forma muito simples, especialmente se a parametrização proposta for polar se a for um real estritamente positivo eb for estritamente maior que 1:

ρ(θ)=no bθ.{\ displaystyle \ rho (\ theta) = a ~ b ^ {\ theta}.}

O comprimento L θ da espiral entre o ponto de origem e o ângulo θ, que pode ser maior que 2π, é dado pela seguinte fórmula:

euθ=1+(em⁡b)-2ρ(θ).{\ displaystyle L _ {\ theta} = {\ sqrt {1 + (\ ln b) ^ {- 2}}} \ rho (\ theta).}

Outro cálculo é de importância histórica, o da parábola de Neil, que corresponde à curva da equação y  = ± ax 3/2 , se a for um inteiro estritamente positivo. Sua retificação é realizada antes da descoberta do cálculo diferencial. A novidade fornecida reside no fato de que, se L 0 denota o comprimento da parte positiva do ramal localizado entre 0 e x 0 , utiliza-se o seguinte resultado intermediário:

eu0=∫0x01+9no24xdx.{\ displaystyle L_ {0} = \ int _ {0} ^ {x_ {0}} {\ sqrt {1 + {\ frac {9a ^ {2}} {4}} x}} \; \ mathrm {d } x.}

Uma questão de retificação está finalmente ligada a um problema de quadratura , isto é, ao cálculo de uma superfície, com base na definição usada neste parágrafo. Finalmente, encontramos:

eu0=(4+9no2x0)32-827no2.{\ displaystyle L_ {0} = {\ frac {(4 + 9a ^ {2} x_ {0}) ^ {\ frac {3} {2}} - 8} {27a ^ {2}}}.}

Esta abordagem permite resolver o problema da retificação da parábola . Se escolhermos a parametrização y = ax 2 , com um real estritamente positivo, o comprimento L 0 do ramo localizado entre 0 e x 0 é expresso na forma de uma hipérbole quadratura, que temos conseguido por mais de 20 anos:

eu0=14no(µµ2+1+em⁡(µ+µ2+1))comµ=2nox0.{\ displaystyle L_ {0} = {\ frac {1} {4a}} \ left (\ mu {\ sqrt {\ mu ^ {2} +1}} + \ ln (\ mu + {\ sqrt {\ mu ^ {2} +1}}) \ right) \ quad {\ text {with}} \ quad \ mu = 2ax_ {0}.}

Se a abordagem da velocidade resolve facilmente a questão do comprimento do arco de uma ciclóide , igual a 8 vezes o raio do círculo, um problema aparentemente tão simples como calcular a circunferência da elipse em função dos meio-eixos leva a integrais isso não pode ser explicado mais: falamos de integrais elípticas de segundo tipo.

Os cálculos são semelhantes na dimensão 3. O artigo "  Loxodromia  " explica um exemplo.

Detalhes de cálculo

• Retificação do círculo trigonométrico:

Usamos a parametrização pelas funções e definidas em  : x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}[0,1]{\ displaystyle [0,1]}

x(t)=1-t2,y(t)=t{\ displaystyle x (t) = {\ sqrt {1-t ^ {2}}}, \ quad y (t) = t}

Seus derivados são:

x′(t)=você1-t2,y′(t)=1{\ displaystyle x '(t) = {\ frac {u} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}}, \ quad y' (t) = 1}. ‖f′(t)‖=11-t2{\ displaystyle \ | f '(t) \ | = {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}}}.

De onde :

arcsin⁡b=∫0b11-t2dt.{\ displaystyle \ arcsin b = \ int _ {0} ^ {b} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \; \ mathrm {d} t.}

• Retificação da corrente:

Usamos aqui a parametrização por uma função g , definida por g ( x ) = a cosh (x / a). Pegamos as expressões:

1+g′(x)2=1+sinh⁡(xno)2=cosh⁡(xno).{\ displaystyle {\ sqrt {1 + g '(x) ^ {2}}} = {\ sqrt {1+ \ operatorname {sinh} \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ { 2}}} = \ operatorname {cosh} \ left ({\ frac {x} {a}} \ right).}

Podemos deduzir:

eu0=∫0x0cosh⁡(xno)dx=[nosinh⁡(xno)]0x0=nosinh⁡(x0no).{\ displaystyle L_ {0} = \ int _ {0} ^ {x_ {0}} \ operatorname {cosh} \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) \ mathrm {d} x = \ left [a \ operatorname {sinh} \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) \ right] _ {0} ^ {x_ {0}} = a \ operatorname {sinh} \ left ({\ frac {x_ {0}} {a}} \ right).}

• Retificação da espiral logarítmica:

Usando as coordenadas polares, obtemos:

ρ′(µ)2+ρ(µ)2=noem⁡(b)2b2µ+b2µ=no1+em⁡(b)2bµ.{\ displaystyle {\ sqrt {\ rho '(\ mu) ^ {2} + \ rho (\ mu) ^ {2}}} = a {\ sqrt {\ ln (b) ^ {2} b ^ {2 \ mu} + b ^ {2 \ mu}}} = a {\ sqrt {1+ \ ln (b) ^ {2}}} b ^ {\ mu}.}

Podemos deduzir:

euθ=no1+em⁡(b)2∫-∞θbµdµ=no1+em⁡(b)2em⁡(b)bθ=1+em⁡(b)-2ρ(θ).{\ displaystyle L _ {\ theta} = a {\ sqrt {1+ \ ln (b) ^ {2}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ theta} b ^ {\ mu} \ mathrm { d} \ mu = a {\ frac {\ sqrt {1+ \ ln (b) ^ {2}}} {\ ln (b)}} b ^ {\ theta} = {\ sqrt {1+ \ ln ( b) ^ {- 2}}} \ rho (\ theta).}

• Correção da parábola de Neil:

O arco é parametrizado pela curva y  =  g ( x ), que leva ao cálculo:

1+g′(x)2=1+9no24x{\ displaystyle {\ sqrt {1 + g '(x) ^ {2}}} = {\ sqrt {1 + {\ frac {9a ^ {2}} {4}} x}}}

então, usando a mudança da variável u  = 9a 2 x / 4:

eu0=∫0x01+9no24xdx=49no2∫09no24x01+vocêdvocê=827no2[(1+você)32]09no24x0=(4+9no2x0)32-827no2.{\ displaystyle L_ {0} = \ int _ {0} ^ {x_ {0}} {\ sqrt {1 + {\ frac {9a ^ {2}} {4}} x}} \; \ mathrm {d } x = {\ frac {4} {9a ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {{\ frac {9a ^ {2}} {4}} x_ {0}} {\ sqrt {1+ u}} \; \ mathrm {d} u = {\ frac {8} {27a ^ {2}}} \ left [(1 + u) ^ {\ frac {3} {2}} \ right] _ { 0} ^ {{\ frac {9a ^ {2}} {4}} x_ {0}} = {\ frac {(4 + 9a ^ {2} x_ {0}) ^ {\ frac {3} {2 }} - 8} {27a ^ {2}}}.}

• Retificação da parábola:

A retificação da parábola é um pouco mais sutil. Com as notações anteriores:

1+g′(x)2=1+4no2x2=222+você2comvocê=22nox.{\ displaystyle {\ sqrt {1 + g '(x) ^ {2}}} = {\ sqrt {1 + 4a ^ {2} x ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {\ sqrt {2 + u ^ {2}}} \ quad {\ text {com}} \ quad u = 2 {\ sqrt {2}} machado.}

Podemos deduzir:

eu0=14no∫0τ2+você2dvocêcomτ=22nox0.{\ displaystyle L_ {0} = {\ frac {1} {4a}} \ int _ {0} ^ {\ tau} {\ sqrt {2 + u ^ {2}}} \ mathrm {d} u \ quad {\ text {with}} \ quad \ tau = 2 {\ sqrt {2}} ax_ {0}.}

A área a ser determinada é mostrada na figura à direita. Ele fica entre as duas linhas das equações x = 0 e x = τ, depois entre a linha y = 0 e a função cuja equação está sob a integral. Sem ter as poderosas ferramentas de análise, é possível calcular esta área. Está dividido em três áreas: amarelo, azul e verde claro.

A zona amarela corresponde a um meio-quadrado do lado 1, a azul a um meio-quadrado do lado τ. Vamos determinar a área v f do triângulo verde escuro. Para fazer isso, basta calcular o comprimento de sua diagonal v d  :

vd=2+τ2-τevf=14(2+τ2-τ)2=12(τ2-τ2+τ2+1).{\ displaystyle v_ {d} = {\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} - \ tau \ quad {\ text {et}} \ quad v_ {f} = {\ frac {1} {4} } \ left ({\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} - \ tau \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} (\ tau ^ {2} - \ tau { \ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} + 1).}

Resta determinar a área da zona verde claro v c , é igual à diferença entre a área da zona verde ve a zona verde escura. A zona verde corresponde ao logaritmo da distância entre a origem do vértice do triângulo verde escuro mais distante, encontramos:

v=em⁡(2τ+22vd)=em⁡(τ+2+τ2)-em⁡(2)2.{\ displaystyle v = \ ln \ left ({\ sqrt {2}} \ tau + {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} v_ {d} \ right) = \ ln \ left (\ tau + {\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ ln (2)} {2}}.}

Podemos deduzir:

vvs=v-vf=em⁡(τ+2+τ2)-em⁡(2)2-12(τ2-τ2+τ2+1),{\ displaystyle v_ {c} = v-v_ {f} = \ ln \ left (\ tau + {\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} \ right) - {\ frac {\ ln (2) } {2}} - {\ frac {1} {2}} (\ tau ^ {2} - \ tau {\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} + 1),}

o que mostra que, se √ 2 μ = τ:

eu0=14no(τ2+τ22+em⁡(τ+2+τ2)-em⁡(2)2)=14no(µµ2+1+em⁡(µ+µ2+1)).{\ displaystyle L_ {0} = {\ frac {1} {4a}} \ left ({\ frac {\ tau {\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}}} {2}} + \ ln \ esquerda (\ tau + {\ sqrt {2+ \ tau ^ {2}}} \ direita) - {\ frac {\ ln (2)} {2}} \ direita) = {\ frac {1} {4a} } \ left (\ mu {\ sqrt {\ mu ^ {2} +1}} + \ ln (\ mu + {\ sqrt {\ mu ^ {2} +1}}) \ right).}

• Retificação do ciclóide:

Uma configuração usual do ciclóide com raio a é a seguinte:

x(θ)=no(θ-pecado⁡θ)ey(θ)=no(1-cos⁡θ).{\ displaystyle x (\ theta) = a (\ theta - \ sin \ theta) \ quad {\ text {et}} \ quad y (\ theta) = a (1- \ cos \ theta).}

Esta configuração permite o cálculo da norma da derivada:

dxdθ=no(1-cos⁡θ),dydθ=nopecado⁡θe(dxdθ)2+(dydθ)2=no2(2-2cos⁡(θ))=4no2(1-cos2⁡θ2)=4no2pecado2⁡θ2.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ theta}} = a (1- \ cos \ theta), \; {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} \ theta}} = a \ sin \ theta \ quad {\ text {et}} \ quad \ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ theta}} \ direita) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} \ theta}} \ right) ^ {2} = a ^ {2} (2-2 \ cos (\ theta)) = 4a ^ {2} \ left (1- \ cos ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}} \ right) = 4a ^ {2} \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}}.}

O comprimento desejado é:

eu=∫02π2no|pecado⁡θ2|dθ=4no∫0πpecado⁡µdµ=8no.{\ displaystyle L = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} 2a \ left | \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ right | \ mathrm {d} \ theta = 4a \ int _ { 0} ^ {\ pi} \ sin \ mu \ mathrm {d} \ mu = 8a.}

Geometria diferencial

Princípio de Fermat

Pierre de Fermat é um dos precursores do cálculo diferencial , antes de Leibniz e Newton. Ele propõe uma interpretação das leis de Snell-Descartes em uma carta de 1662 dirigida a Marin Cureau da Câmara, afirmando um princípio muito geral: "a natureza sempre atua pelos meios mais curtos", o que implica as regras de propagação da luz para formas geométricas ótica .

A intuição de Fermat está correta. A velocidade da luz é mais lenta na água ou no vidro do que no vácuo ou no ar. A trajetória da luz é, portanto, uma função da proporção das velocidades da luz nos dois meios. É possível ilustrar esse princípio pelo chamado problema do salva - vidas , representado na figura à esquerda. Um salva-vidas, localizado no ponto A 1, deve evitar afogamento em A 2 . Para ser o mais rápido possível, o salva-vidas deve encontrar o ponto M na fronteira entre a praia e o mar na corrida de A 1 a M , em seguida, nadar até M a A 2 , ou a rota mais rápida. Como ele corre mais rápido do que nada, o ponto M está necessariamente mais próximo de A 2 como o segmento do ponto A 1 A 2 na borda da praia e do mar.

Outra forma de modelar essa questão é equipar o espaço com uma nova distância d 2 , associada à velocidade de movimento da luz ou do salva-vidas. A distância entre dois pontos é dada pelo tempo necessário para ir de um ponto a outro. Se C é um arco geométrico de parametrização ( I , f ), e n A a razão entre a velocidade do salva-vidas na praia e aquela no ponto A , o comprimento do arco C é expresso por:

euVS=∫eunãof(t)‖dfdt‖dt.{\ displaystyle L_ {C} = \ int _ {I} n_ {f (t)} \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} \ right \ | \ ; \ mathrm {d} t.}

É agora o comprimento de um arco que permite definir a distância d 2  : a distância entre dois pontos é o menor comprimento de um arco que liga esses dois pontos. A figura à direita ilustra a geometria do espaço, vista com as duas distâncias. O espaço equipado com a distância d 2 é mostrado acima. As trajetórias mais curtas para o salva-vidas são as linhas representadas em verde, e os pontos equidistantes de sua posição são os arcos de um círculo, em vermelho na praia e em azul no mar. Esta mesma figura é reproduzida na figura inferior, esta tempo com a distância usual. Como o salva-vidas é mais lento na água, as porções dos círculos no mar são esmagadas . Este assentamento distorce as porções das linhas verdes que estão na água. Os ângulos obtidos, entre um segmento verde na praia e sua extensão na água, seguem as leis de Descartes.

Princípio da menor ação

A expressão que Fermat usa para descrever seu princípio é inteligente. Nada indica, em sua formulação, que se limite à óptica geométrica. O futuro prova que ele está certo. Uma questão já abordado por Galileu sem sucesso em 1638, é o de encontrar a curva que deve emprestar ponto de material escorregadio sem atrito para mover tão rapidamente quanto possível a partir de um ponto A para o ponto B . Presume-se que o ponto B esteja a uma altitude menor ou igual à do ponto A para que a questão tenha uma solução. Esta questão é chamado de braquistócrona problema . Voltou aos holofotes por Jean Bernoulli em 1696 e representou um desafio aos leitores do jornal Acta Eruditorum .

Outra solução é aplicar o princípio de Fermat. Se a distância entre dois pontos A e B é medida pelo tempo necessário para ir do mais alto ao mais baixo, desta vez o espaço é dilatado parabolicamente no eixo vertical. Na verdade, se chamarmos 1 o comprimento viajado verticalmente em 1 unidade de tempo, o comprimento viajado verticalmente em 2 unidades de tempo é 4, então aquele viajado em 3 é 9, etc. Resolver o problema da braquistrócrona equivale a encontrar as leis de passagem entre o espaço medido pela velocidade do ponto material e aquele medido da maneira usual. A resposta é mostrada na figura à direita. Como anteriormente, a figura acima representa o espaço medido pela distância d 2 , correspondente à velocidade do ponto material. Consideramos as trajetórias, vistas com a distância d 2, como meias-linhas vindas do mesmo ponto, onde a velocidade do ponto é inicialmente zero. Essas meias-linhas são regularmente espaçadas em um ângulo de π / 8 na figura. Em vermelho estão indicadas as possíveis posições do ponto após um tempo fixo e regular, 1, 2, 3 e 4 segundos. As curvas vermelhas correspondem ao que costumamos chamar de semicírculos.

Esta mesma figura, vista com a distância usual, é ilustrada abaixo da primeira. É um pouco mais difícil de ler do que o correspondente à geometria anterior. A maneira mais fácil é começar com a linha verde numerada 1. Corresponde a um deslocamento horizontal. Como o ponto material tem velocidade inicial zero, seu deslocamento é zero e a linha se transforma em um ponto, anotado 1 na figura inferior. A trajetória preta corresponde a uma curva cuja tangente inicial é vertical. Não há uma curva possível, mas um infinito, dois dos quais estão ilustrados na figura inferior, em preto. Essas curvas correspondem a arcos ciclóides completos . Qualquer arco ciclóide com um ponto inicial igual ao da figura corresponde a uma linha de tangente vertical inicial com a distância d 2 . Esta situação é análoga para a imagem de todas as meias-linhas verdes da figura superior. Assim, a meia-linha numerada 2 corresponde a uma porção de ciclóide ilustrada na parte inferior da figura, e qualquer homotetia desta porção de ciclóide também corresponde a uma imagem da meia-linha 2.

A técnica usada para resolver o problema da braquistócrona é da mesma natureza que a do parágrafo anterior em óptica. Procuramos o arco mais curto para uma distância bem escolhida. O princípio de Fermat às vezes leva o nome de princípio da menor ação , que Maupertuis redescobre e afirma da seguinte forma: “A ação é proporcional ao produto da massa pela velocidade e pelo espaço. Ora, aqui está este princípio, tão sábio, tão digno do Ser Supremo: quando qualquer mudança ocorre na Natureza, a quantidade de Ação empregada para esta mudança é sempre a menor possível. "

Variedade riemanniana

No exemplo do problema da braquistócrona, o equivalente do índice de refração corresponde a um fator de compressão espacial, como o exemplo da óptica. Como aqui o espaço tende a se expandir, o índice é rapidamente entre 0 e 1. É precisamente igual a (2gh) -1/2 se h for a altitude, contado negativamente. Para resolver a equação diferencial de Newton, indicando a trajetória dos planetas, o mesmo método se aplica com um coeficiente, desta vez, igual a a / h . Os cálculos são um pouco mais simples, e os arcos dos cicloides são transformados em semicírculos.

Se Bernhard Riemann , aluno de Gauss , está suficientemente interessado nesta questão para torná-la objeto de sua tese, não é para propor um novo método de resolução de uma famosa equação diferencial , mas para compreender melhor a geometria. Se removermos os pontos de altitude 0 (um ponto de altitude 0 está de fato a uma distância diferente de zero de si mesmo, o que dificilmente faz sentido), obtemos um espaço métrico. Para definir esta métrica, partimos de uma nova definição do comprimento L C de um arco C do espaço G que, se for parametrizado por ( I , f ) é válido no caso particular estudado:

euVS=∫eu‖dfdt‖dtcom∀p∈G,∀você∈Tp‖p‖=nãop‖você‖{\ displaystyle L_ {C} = \ int _ {I} \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} \ right \ | \ mathrm {d} t \ quad {\ text {with}} \ quad \ forall p \ in G, \; \ forall u \ in {\ mathcal {T}} _ {p} \ quad \ | p \ | = n_ {p} \ | u \ |}

Cada ponto p de G possui um espaço tangente T p , dotado de um produto escalar e, portanto, de uma norma. No caso particular do parágrafo, a norma é a do avião, multiplicada pelo fator de compressão n p proporcional ao inverso da altitude de p . Definir o comprimento de um arco permite definir a distância entre dois pontos. É igual ao comprimento do menor arco conectando esses dois pontos.

Qualitativamente, o espaço que acabamos de definir se parece um pouco com a figura à direita. O formalismo de Riemann, que consiste em primeiro definir o comprimento de um arco e depois a distância, é em última análise muito poderoso. Permite definir um grande conjunto de geometrias, nas quais se estendem conceitos clássicos como linhas (que levam o nome de geodésicas ), círculos ou curvaturas . Este método permite definir superfícies que não existem na dimensão 3. Aquela considerada neste parágrafo tem uma curvatura negativa constante. A curvatura em um ponto p corresponde ao produto das duas curvaturas mais extremas que podem ser tomadas pelos arcos parametrizados usando uma abcissa curvilínea no ponto p . Se os dois círculos osculantes estão em um elipsóide , falamos de curvatura positiva. se eles estão na sela de um cavalo , é chamada de curvatura negativa. Nenhuma superfície tridimensional tem curvatura negativa constante, e é por isso que a geometria descrita neste parágrafo não é exatamente a da figura à direita.

Cálculo de variações

Os três parágrafos anteriores têm um ponto em comum, para serem operacionais requerem a capacidade de encontrar o caminho mais curto entre dois pontos de uma determinada superfície ou geometria, o que não é, em geral, uma questão fácil.

O método de maior sucesso é semelhante ao da geometria diferencial. Em dimensão finita, e sob as suposições corretas, um ponto ótimo tem uma aproximação linear tangente plana, ilustrada na figura à esquerda. Em termos matemáticos, isso significa que o gradiente da função a ser otimizada é zero em um ponto extremo.

É um método dessa natureza que Bernoulli usa para resolver o problema da braquistócrona. Como está ilustrado na figura à direita, uma pequena variação em torno do caminho ótimo não altera seu comprimento, na primeira ordem. Assim, o caminho quase ótimo, mostrado em verde, é de primeira ordem, do mesmo comprimento que a curva ótima, mostrado em cinza. Leonhard Euler refina o método e oferece uma primeira demonstração da resolução do problema isoperimétrico que consiste em encontrar o arco fechado de um determinado comprimento e encerrar uma superfície com a maior área possível. (A prova de Euler é fornecida no artigo Multiplicador de Lagrange .) Em 1755, Lagrange escreveu uma carta a Euler. Trata-se do cálculo da curva tautócrona , correspondendo a uma questão análoga ao problema da braquistócrona. Essa correspondência é o início de um longo trabalho comum e permite estabelecer a equação de Euler-Lagrange , um método muito geral para encontrar geodésicas.

Se a equação de Euler-Lagrange é suficiente para resolver o problema tautócrono, às vezes é necessário enriquecê-la, por exemplo para encontrar a curva da cadeia , ou seja, a posição ocupada em repouso de um cabo de densidade linear constante (os físicos usam a expressão densidade linear ), sujeito à gravidade. O método é enriquecido pelo multiplicador de Lagrange .

A matemática do XVIII °  século são ainda insuficientes para demonstrar rigorosamente a relevância dos cálculos de Euler e Lagrange. Seu conhecimento de análise funcional ainda é muito limitado. Estes métodos, que levam o nome do cálculo das variações , se tornar realmente rigorosa sob a influência de Karl Weierstrass no XIX th  século e especialmente o trabalho de Banach e Sobolev o XX th  século.

Espaço Sobolev

Vamos colocar a questão em termos vagos: duas curvas “fechadas” têm comprimentos semelhantes?

Aqui está um exemplo negativo. Tomamos o gráfico da função constante igual a 0 em [0, 1]. Este é de comprimento 1. Construímos facilmente uma sequência de funções contínuas em [0, 1], retificáveis, que convergem uniformemente para fe cujo comprimento não converge para 1.

Por exemplo: f 1 é uma função de triângulo com inclinações 1 sobre [0, 1/2] e -1 sobre [1/2, 1]. Então f 2 é uma função formada por dois triângulos, com inclinações 1 sobre [0, 1/4], -1 sobre [1/4, 1/2], 1 sobre [1/2, 3/4], - 1 em [3/4, 1], e assim por diante (4,8,16 triângulos ...). Cada uma das funções f n tem um gráfico de comprimento √ 2 e, além disso, há de fato convergência uniforme em direção a f .

Para obter resultados de continuidade para a aplicação de “comprimento”, portanto, não é necessário trabalhar com o padrão de convergência uniforme. Em vez disso, um padrão do tipo de espaços de Sobolev é necessário .

Definição de Jordan

Motivação

Por 150 anos, a definição do XVII °  século atende às necessidades dos matemáticos, se necessário, com a generalização de Riemann. Mesmo agora, não é incomum que seja usado quando o assunto é limitado à geometria diferencial . Durante a segunda metade do XIX °  século, novos problemas exigem uma abordagem mais geral.

As curvas estudadas não têm mais sistematicamente uma origem especificamente mecânica ou cinemática , mas também vêm de outros ramos da matemática. Giuseppe Peano descobre a curva que agora leva seu nome e que cobre completamente a superfície de um quadrado do lado 1. Hermann Minkowski usa convexos para resolver questões de teoria algébrica dos números . Os limites desses convexos, se estiverem em um plano euclidiano, às vezes podem ser parametrizados como arcos.

Camille Jordan é pioneira no estudo das curvas do plano euclidiano de origem diferente da cinemática. Ele tenta resolver algumas questões aparentemente inócuas como a do teorema que leva seu nome , este resultado trata de uma curva fechada e simples. Fechado significa que a imagem das extremidades do segmento de definição é mesclada e simples que o único ponto duplo é o final. Essa curva separa o plano em duas partes conectadas , o interior e o exterior da curva.

Para apoiar tal desenvolvimento, é necessário não se limitar a arcos geométricos de classe C 1 . Jordan propõe uma nova definição do comprimento com base na aproximação da de Arquimedes que os analistas XVII th  século. Um método intuitivo para entender sua lógica é colocar uma corda o mais precisamente possível no arco que você deseja medir. Para poder calcular facilmente o comprimento da corda, é necessário seguir um caminho poligonal. As pontas do barbante são pinçadas no arco estudado, de forma que os alfinetes se sucedam, como na figura à direita. Ao adicionar mais e mais tachas, forçamos a corda a seguir o arco de forma cada vez mais precisa. Uma vez que um número infinito de tachas espaçadas regularmente são anexadas, o comprimento desejado é obtido. Se esta abordagem tem a vantagem de ser relevante, mesmo no caso de um arco não derivável, dar um significado rigoroso à ideia de um número infinito de pontos regularmente espaçados seria um pouco complicado. Em vez disso, Jordan oferece o limite superior dos comprimentos das várias cordas imagináveis, anexadas a um número finito de tachas. Essa abordagem combina rigor com uma generalização do comprimento para arcos que não são necessariamente diferenciáveis.

Além de ser capaz de processar curvas não deriváveis, novos métodos se tornam utilizáveis ​​que não estavam com a definição anterior. Um exemplo é dado com o teorema isoperimétrico . Este teorema afirma que qualquer superfície tem uma área menor que a do disco com o mesmo perímetro. Certas demonstrações, apresentadas no artigo sobre esta questão, requerem a definição de comprimento no sentido de Jordan.

Abordagem formal

O conjunto de chegada não é mais necessariamente euclidiano, ( E , d ) denota neste parágrafo um espaço métrico e I sempre um intervalo de ℝ. O par ( I , f ) é um arco, ou seja uma função contínua de I em E . A lógica seguida para a definição é próxima à usada para a integral de Riemann . Ou S uma sequência finita a 0 , ..., um n elementos estritamente crescentes de I . Tal sequência de um é chamado uma subdivisão da gama [ um 0 , um n ] de I .

A seguir S podemos associar o comprimento L ( S ), definido por:

eu(S)=∑eu=1nãod(f(noeu-1),f(noeu)).{\ displaystyle L (S) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} d \ left (f (a_ {i-1}), f (a_ {i}) \ right).}

O valor L ( S ) é denominado aqui o comprimento da linha poligonal dos vértices das imagens da sequência S por f . A desigualdade triangular necessária para definir o comprimento do arco C como maior do que a de uma linha poligonal associada com uma subdivisão de um intervalo de I . A linha reta que a linha poligonal segue entre dois vértices consecutivos é de fato o caminho mais rápido entre esses dois pontos e a passagem pela curva C é necessariamente mais longa. Por outro lado, se a subdivisão for muito fina, pode-se esperar obter uma boa aproximação do comprimento de C , o que justifica a seguinte definição:

• O comprimento do arco C é a variação total de f , isto é, o limite superior do conjunto dos comprimentos de linha poligonal vértices imagens de uma subdivisão de um intervalo de I .

Essa definição não exige que o comprimento seja finito. Por exemplo, uma linha tem comprimento infinito. Contra-exemplos menos triviais são dados pela figura à direita ou a curva de Peano , que é contínua, mas em nenhum lugar diferenciável, e cuja imagem do segmento [0,1] é o conjunto de pontos de um quadrado ao lado de 1. Isso dá origem para a seguinte definição:

• Um arco é considerado retificável se seu comprimento for finito.

Propriedades

• O comprimento de um arco geométrico é maior do que a distância entre as pontas, se houver.
  Essa proposição é apenas a generalização da desigualdade triangular . No espaço euclidiano, o caminho mais curto entre dois pontos é o segmento de linha. Qualquer suporte de arco geométrico nas extremidades desses dois pontos é necessariamente mais longo. Essa proposição só interessa se as duas extremidades não forem confundidas, como no caso do círculo.
• O comprimento de dois suportes de arco geométrico que compartilham uma extremidade é a soma dos comprimentos dos dois suportes.
  Esta proposta ainda é muito intuitiva. Siga um percurso a partir de um de B , e, em seguida, continuar a um ponto C é o mesmo comprimento que seguem o mesmo percurso para passar de uma para C .
• Se o conjunto de chegada for um espaço afim , dotado de uma distância resultante de uma norma , então uma homotetia de uma razão k, aplicada a um arco geométrico, aumenta o comprimento do arco por uma razão k.

Uma propriedade final é útil para garantir a consistência da definição do comprimento. Aqui, E novamente designa um espaço euclidiano:

• Seja ( I , f ) um arco parametrizado classe C 1 retificável. A integral da norma da derivada de f no intervalo I é convergente e o comprimento L do arco ( I , f ) no sentido de Jordan é igual ao definido pela integral da norma de sua derivada.

eu=∫eu‖dfdt‖dt.{\ displaystyle L = \ int _ {I} \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} \ right \ | \ mathrm {d} t.} Manifestações

• A integral da norma da derivada de f no intervalo I é convergente e o comprimento L do arco ( I , f ) no sentido de Jordan é igual ao definido pela integral da norma de sua derivada:

Seja ε um real estritamente positivo. O fato de o arco ser retificável resulta na existência de uma divisão de I  : a 0 , ..., a n tal que o comprimento da linha poligonal das imagens por f se aproxima de L , o comprimento do arco em ε / 3 próximo . Essas premissas resultam no aumento:

(1)eu-∑eu=1não‖f(noeu-1)-f(noeu)‖≤ϵ3.{\ displaystyle (1) \ quad L- \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left \ | f (a_ {i-1}) - f (a_ {i}) \ right \ | \ leq { \ frac {\ epsilon} {3}}.}

No segmento [ a 0 , a n ], a derivada de f é uma função uniformemente contínua . Deduzimos isso, mesmo que isso signifique refinar a divisão escolhida:

∀eu∈[1,não],∀x∈[noeu-1,noeu]‖dfdx(noeu-1)-dfdx(x)‖ ≤ϵ3(nonão-no0).{\ displaystyle \ forall i \ in [1, n], \; \ forall x \ in [a_ {i-1}, a_ {i}] \ quad \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f } {\ mathrm {d} x}} (a_ {i-1}) - {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} (x) \ right \ | \ \ leq { \ frac {\ epsilon} {3 (a_ {n} -a_ {0})}}.}

Isso mostra que, de acordo com a desigualdade dos incrementos finitos para funções com valores vetoriais  :

∀eu∈[1,não-1]‖f(noeu)-f(noeu-1)-dfdx(noeu-1)(noeu-noeu-1)‖≤ϵ(noeu-noeu-1)3(nonão-no0).{\ displaystyle \ forall i \ in [1, n-1] \ quad \ | f (a_ {i}) - f (a_ {i-1}) - {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} (a_ {i-1}) (a_ {i} -a_ {i-1}) \ | \ leq {\ frac {\ epsilon (a_ {i} -a_ {i-1} )} {3 (a_ {n} -a_ {0})}}.}

Adicionando esses n - 1 aumentos, obtemos:

(2)|∑eu=1não‖f(noeu)-f(noeu-1)‖-‖dfdx(noeu-1)‖(noeu-noeu-1)|≤∑eu=1não‖f(noeu)-f(noeu-1)-dfdx(noeu-1)(noeu-noeu-1)‖≤ϵ3.{\ displaystyle (2) \ quad \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ | f (a_ {i}) - f (a_ {i-1}) \ | - \ left \ | { \ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} (a_ {i-1}) \ right \ | (a_ {i} -a_ {i-1}) \ right | \ leq \ soma _ {i = 1} ^ {n} \ left \ | f (a_ {i}) - f (a_ {i-1}) - {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} (a_ {i-1}) (a_ {i} -a_ {i-1}) \ right \ | \ leq {\ frac {\ epsilon} {3}}.}

Combinando as sobretaxas (1) e (2) , obtemos:

∑eu=1não‖dfdx(noeu-1)‖(noeu-noeu-1)≤eu+2ϵ3.{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} (a_ {i-1}) \ right \ | (a_ {i} -a_ {i-1}) \ leq L + {\ frac {2 \ epsilon} {3}}.}

O último aumento é verdadeiro para qualquer divisão suficientemente fina de I. Isso indica que a integral imprópria da norma da derivada de f entre a e b é convergente. Em outras palavras, mesmo que isso signifique refinar ainda mais a divisão, também temos o terceiro aumento:

(3)|∑eu=1não‖dfdt(noeu-1)‖(noeu-noeu-1)-∫eu‖dfdt‖dt|≤ϵ3.{\ displaystyle (3) \ quad \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} (a_ { i-1}) \ right \ | (a_ {i} -a_ {i-1}) - \ int _ {I} \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} \ right \ | \ mathrm {d} t \ right | \ leq {\ frac {\ epsilon} {3}}.}

Ao adicionar as três sobretaxas (1) , (2) e (3) , obtemos:

|eu-∫eu‖dfdt‖dt|≤ϵ.{\ displaystyle \ left | L- \ int _ {I} \ left \ | {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} \ right \ | \ mathrm {d} t \ right | \ leq \ epsilon.}

Sendo o último aumento verdadeiro para qualquer ε estritamente positivo, a igualdade entre o comprimento do arco e a integral é bem verificada.

As funções limitadas de I em E são dotadas da distância de continuidade uniforme . É natural questionar-se sobre a continuidade da função que, com um arco, associa seu comprimento. A figura à esquerda mostra que esta função não é contínua. De fato, dizer que um arco, em vermelho na figura, está próximo a outro, o círculo azul na figura, significa que o arco está em uma espécie de tubo , de pequena largura. A curva em vermelho mostra que é possível construir uma curva que oscila o suficiente para ter um comprimento muito diferente. Por outro lado, se a curva vermelha estiver próxima da azul, seu comprimento não pode ser muito menor que o azul. O mais curto é mostrado à direita em verde. Falamos de semi-continuidade inferior .

• A função de “comprimento” (ou seja, variação total ), com valores em [0, + ∞] , é inferiormente semicontínua no espaço (fornecida com a distância de convergência uniforme) das funções limitadas de I em um espaço métrico E .

De fato, para qualquer subdivisão σ de um intervalo de I , a função f ↦ V ( f , σ) é contínua, portanto a função comprimento é semicontínua inferior, como o limite superior de V ( f , σ) .

Conteúdo Minkowski

Motivação

Minkowski está especialmente interessado em curvas fechadas e simples porque elas definem uma borda de um espaço compacto no plano euclidiano. Os resultados que ele estabelece são particularmente interessantes se ele puder generalizá-los para dimensões superiores.

Ferramentas de geometria diferencial nem sempre são muito adequadas para isso. Um exemplo é dado pelo teorema isoperimétrico , no caso geral procura-se mostrar que um sólido de um espaço euclidiano de dimensão n tem um volume menor que o da bola da mesma superfície. O termo bola de raio r designa o conjunto de pontos a uma distância menor que r de um determinado ponto denominado centro. Não é muito complexo mostrar que a curvatura média em cada ponto de uma superfície, borda de um sólido que atinge o ótimo isoperimétrico, é necessariamente constante. Na dimensão 2, é muito simples mostrar que a única curva simples e fechada da curvatura média constante é o círculo , uma prova natural é o trabalho de Hurwitz e usa a desigualdade de Wirtinger . Na dimensão 3, a demonstração é conhecida, mas é suficientemente técnico até à data apenas o início do XX °  século. O caso geral ainda não está demonstrado.

A definição de Jordan para o comprimento de uma curva também não é adequada porque não generaliza diretamente para dimensões superiores. A generalização natural consistiria em definir a área da superfície de uma porção de um cilindro como o limite superior da superfície de um poliedro cujos vértices se situam no limite do cilindro. O exemplo à direita ilustra a inconsistência de tal generalização. O poliedro utilizado é uma lanterna cujos vértices estão localizados em hexágonos paralelos, cada vez deslocados por um duodécimo de volta. Se os planos dos hexágonos se aproximam cada vez mais, a superfície do poliedro aumenta até o infinito.

Minkowski encontra uma solução para definir o comprimento de um arco que resiste à passagem para uma dimensão superior. Sua abordagem intuitiva é diferente das consideradas até agora. Como Jordan, ele não depende do comprimento de uma linha poligonal, mas diretamente da função de volume do espaço euclidiano de dimensão n . Esta função é geralmente definida pela medida de Lebesgue . Para um valor ε suficientemente pequeno, ele considera os pontos a uma distância menor que ε da curva C que está estudando. Ele obtém um conjunto, ilustrado em rosa em um exemplo na dimensão 2 na figura à esquerda, a curva C é representada em azul. Esse conjunto é chamado de tubo .

Se o valor ε diminuir, o volume do tubo se aproxima do produto do comprimento do arco pelo volume da esfera de dimensão n - 1 e raio ε. No caso de um círculo de raio re de dimensão 2, o tubo é constituído pela área do espaço entre um círculo de raio r + ε e outro de mesmo centro e raio r - ε. Seu volume é exatamente 2π r multiplicado por 2ε. Na dimensão 3, o tubo é um toro, mais uma vez seu volume é exatamente o produto de 2π r pela área de um disco de raio ε. Esta definição, se for um pouco mais complexa de implementar, pode ser facilmente generalizada para dimensões superiores.

Caso do círculo na dimensão 2

Se ε for um inteiro menor que r , a área C ε é aquela que está dentro de um disco de raio r  + ε e fora do disco aberto de raio r  - ε. A superfície Vol ( C ε ) é igual a:

Voeu(VSϵ)=π((r+ϵ)2-(r-ϵ)2)=2πr(2ϵ).{\ displaystyle Vol (C _ {\ epsilon}) = \ pi \ left ((r + \ epsilon) ^ {2} - (r- \ epsilon) ^ {2} \ right) = 2 \ pi r (2 \ epsilon).}

No entanto, 2π r corresponde ao comprimento do círculo e na dimensão 1, a bola de raio ε é de volume igual a 2ε na dimensão 1. O conteúdo de Minkowski é de fato igual ao comprimento do círculo.

Formalismo

Minkowski e Hausdorff desenvolvem ferramentas para entender melhor o estudo geral de sólidos. O conjunto estudado é o de compactos não vazios de um espaço euclidiano E , de dimensão n . Os soma Minkowski combina dois conjuntos A e B sólido A + B consiste de quantidades de elementos de um e B . Este conjunto está equipado com uma distância, chamada distância de Hausdorff . O tubo estudado corresponde à soma de um C compacto , correspondendo à curva da qual se deseja medir o comprimento e da bola de raio ε, nota-se aqui C ε .

Se a curva C é simples e fechada e da classe C 2 , então o volume do tubo Vol (C ε ) é expresso em função do comprimento L C do arco C e do volume Vol ( B n-1 ( ε)) da bola de um espaço euclidiano de dimensão n - 1 e raio ε, desde que ε permaneça suficientemente pequeno:

Voar⁡(VSϵ)=euVSVoar⁡(Bnão-1(ϵ)).{\ displaystyle \ operatorname {Vol} (C _ {\ epsilon}) = L_ {C} \ operatorname {Vol} (B_ {n-1} (\ epsilon)).}

Se a curva não for fechada, a igualdade permanece verdadeira se somarmos o volume de uma bola de raio ε na dimensão n . Na verdade, duas meias-bolas serão adicionadas, cada uma em uma das extremidades da curva, obtemos:

Voar⁡(Tϵ)=euVSVoar⁡(Bnão-1(ϵ))+Voar⁡(Bnão(ϵ)).{\ displaystyle \ operatorname {Vol} (T _ {\ epsilon}) = L_ {C} \ operatorname {Vol} (B_ {n-1} (\ epsilon)) + \ operatorname {Vol} (B_ {n} ( \ epsilon)).}

Seja qual for a configuração anterior, temos uma nova maneira de definir o comprimento de um arco:

• O conteúdo unidimensional de um conjunto C de um espaço euclidiano de dimensão n , denotado M 1 ( C ), é o seguinte limite , quando existe:

M1(VS)=limϵ→0Voar⁡(Tϵ)Voar⁡(Bnão-1(ϵ)).{\ displaystyle M_ {1} (C) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {\ operatorname {Vol} (T _ {\ epsilon})} {\ operatorname {Vol} (B_ {n- 1} (\ epsilon))}}.}

Esta definição é de fato uma generalização do comprimento definido anteriormente:

• Se C é o conjunto final de um arco parametrizada compacto de classe C 2 , o comprimento do C é igual ao seu 1- dimensional conteúdo .

Esta definição é particularmente relevante no caso do estudo do comprimento da borda de uma superfície S compacto 2-dimensional limite C . Se a fronteira pode ser parametrizada por um arco da classe C 2 , temos o seguinte teorema, denominado fórmula de Steiner-Minkowski  :

• O comprimento L C do arco C é igual ao seguinte limite:

euVS=limϵ→0Voar⁡(S+B2(ϵ))Voar⁡(S).{\ displaystyle L_ {C} = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} {\ frac {\ operatorname {Vol} (S + B_ {2} (\ epsilon))} {\ operatorname {Vol} (S)} }.}

O conteúdo de Minkowski permite que esta fórmula seja generalizada para muitas superfícies.

Demonstração da equivalência de definições

Fixar as notações, E é um espaço euclidiano de dimensão n , ([ a , b ], f ) é um curvilínea configuração classe C 2 um arco fechado e geométrico simples e cuja imagem é igual a C . Dizer que a parametrização está fechada é como dizer que f ( a ) é igual af ( b ), dizer que é simples é equivalente a dizer que se s e t são dois elementos de] a , b [, então f ( s ) é diferente de f ( t ). Por fim, dizer que a parametrização é curvilínea equivale a dizer que a norma da derivada de f ( t ) é sempre igual a 1, se t for um elemento de [ a , b ]. O valor ε designa um real estritamente positivo, entre 0 e μ, onde μ é um real estritamente positivo a ser determinado. H t denota o hiperplano de E ortogonal af ( t ) e B a, μ a bola unitária fechada do hiperplano H a e de raio μ. Denotamos por u t a derivada de f no ponto t e v t o vetor da norma 1 colinear com a segunda derivada de f e na mesma direção. Dizer que f é uma parametrização curvilínea implica que u t e v t são ortogonais. Finalmente, denotamos por c (t) a curvatura de f em t , a segunda derivada de f em t é igual ao produto de c (t) por v t .

A técnica utilizada para a prova consiste em construir um embedding ψ de [ a , b ] x B a, μ em C μ da classe C 1 . Este embedding fornece a mudança certa de variável para calcular a integral dando a área de C ε . Para construir ψ, construímos um mapa φ t da classe C 1 de [ a , b ] com valores nas rotações de E , de forma que a imagem de u a par φ t seja igual a u t .

• Construção de φ t  :

Equação diferencial : Uma solução elegante consiste em construir φ t como a solução de uma equação diferencial linear . Para fazer isso, define-se uma aplicação de um conjunto χ D em L (E) todo o espaço endomorfismo E . Aqui D indica os pares ( u , v ) de vectores de E , tal que u e v são de normas igual a 1 e tal que u e v são ortogonais. O endomorfismo χ (u, v) associa com u o vetor v , com v o vetor - u e o vetor nulo com qualquer vetor ortogonal a u e a v . Observe que, para qualquer vetor z de E , o produto escalar de z com sua imagem por χ (u, v) é zero. Na verdade, é possível escrever z na forma α. u + β. v + w , onde α e β são dois escalares e w um vetor ortogonal a u e v . Temos, se <.,.> Designa o produto escalar: ⟨χ(você,v)(z),z⟩=⟨χ(você,v)(αvocê+βv+C),αvocê+βv+C⟩=⟨-βvocê+αv|αvocê+βv+C⟩=αβ-αβ=0{\ displaystyle \ langle \ chi _ {(u, v)} (z), z \ rangle = \ langle \ chi _ {(u, v)} (\ alpha u + \ beta v + w), \ alpha u + \ beta v + w \ rangle = \ langle - \ beta u + \ alpha v | \ alpha u + \ beta v + w \ rangle = \ alpha \ beta - \ alpha \ beta = 0} Esta aplicação permite definir a função ψ, de [ a , b ] em L (E), por:∀t∈[no,b]ψt=vs(t)χ(vocêt,vt).{\ displaystyle \ forall t \ in [a, b] \ quad \ psi _ {t} = c (t) \ chi _ {(u_ {t}, v_ {t})}.} O mapa ψ é de fato contínuo, ele é de fato composto de mapas contínuos. Há uma pequena dificuldade se a curvatura c (t) for zero, porque v t não é definido, mas definir ψ como zero nesses pontos é claramente uma continuação por continuidade, a norma de ψ t sendo igual a c (t) . A norma aqui escolhida para L (E) é aquela que, com um endomorfismo, associa o limite superior da norma da imagem da bola unitária. Consideramos a seguinte equação diferencial , em [ a , b ] e com valores em L (E):dXdt=ψt∘XcomX0=eud.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} X} {\ mathrm {d} t}} = \ psi _ {t} \ circ X \ quad {\ text {com}} \ quad X_ {0} = Id .} A continuidade de ψ e a compactação de [ a , b ] mostram que a função, que para t associa a norma de ψ, atinge seu limite superior m . A aplicação para combinações X compostas por ψ e X é contínua e m -lipschitzienne . O teorema de Cauchy-Lipschitz garante a existência de uma solução única φ para a equação diferencial. É até possível dar uma expressão explícita para φ:∀t∈[no,b]φt=exp⁡(∫notψτdτ)com, sem∈eu(E)exp⁡(m)=∑não=0∞mnãonão!.{\ displaystyle \ forall t \ in [a, b] \ quad \ varphi _ {t} = \ exp \ left (\ int _ {a} ^ {t} \ psi _ {\ tau} \ mathrm {d} \ tau \ direita) \ quad {\ text {com, si}} \ quad m \ in {\ mathcal {L}} (E) \ quad \ exp (m) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } {\ frac {m ^ {n}} {n!}}.}

Com exceção da natureza um tanto incomum dos conjuntos usados ​​aqui, o método proposto usa apenas uma equação diferencial linear muito simples. O aplicativo φ quase permite que você defina um benchmark Frenet . Bastaria associar o ponto a uma base de Frenet e a base de Frenet seria, no ponto t sua imagem, por φ. Este resultado só é verdadeiro se a curva for biregular , ou seja, a segunda derivada de f nunca desaparece. Após o primeiro ponto de inflexão, não há razão para acreditar que a imagem de v 0 ainda seja colinear com a segunda derivada de f . Agora, tudo o que você precisa fazer é verificar se φ é o aplicativo que você está procurando.

O mapa φ possui valores em um conjunto de rotações e a imagem de u a por φ t é igual a u t  : Vamos primeiro mostrar que φ tem valores em um conjunto de rotações. o que equivale a mostrar que se z é um vetor de E , φ t (z) tem a mesma norma que z . Este resultado é trivialmente verdadeiro se t for igual a a porque φ a é a identidade. Basta mostrar que a derivada da função, que para t associa o quadrado da norma de φ t (z), é zero, para estabelecer que φ t é uma isometria: d⟨φt(z),φt(z)⟩dt=2⟨dφtdt(z),φt(z)⟩=2⟨ψt(φt(z)),φt(z)⟩=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle \ varphi _ {t} (z), \ varphi _ {t} (z) \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = 2 \ langle { \ frac {\ mathrm {d} \ varphi _ {t}} {\ mathrm {d} t}} (z), \ varphi _ {t} (z) \ rangle = 2 \ langle \ psi _ {t} \ esquerda (\ varphi _ {t} (z) \ direita), \ varphi _ {t} (z) \ rangle = 0} Resta mostrar que o determinante de φ t é igual a 1. Como φ t é uma isometria, seu determinante é igual a ± 1. A imagem do aplicativo em t associados det φ t está relacionado porque o aplicativo está em curso. Como em a , o mapa vale 1, vale 1 em todos os lugares e o determinante de φ t é de fato igual a 1.Em seguida, mostramos que φ t (u a ) é de fato igual a u t . Para isso, basta verificar se os dois arcos, que com t associa φ t (u a ) por um lado e u t por outro, têm o mesmo valor inicial e satisfazem a mesma equação diferencial linear. A singularidade da solução, garantida pelo teorema de Cauchy-Lipschitz, mostra igualdade. Por construção, φ a é igual à identidade; os dois arcos, portanto, têm o mesmo valor inicial. Agora vamos verificar se os dois arcos são soluções da mesma equação diferencial:∀t∈[no,b]dφt(você0)dt=dφtdt(você0)=ψt∘φt(você0)portantodφt(você0)dt=ψt(φt(você0)).{\ displaystyle \ forall t \ in [a, b] \ quad {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi _ {t} (u_ {0})} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi _ {t}} {\ mathrm {d} t}} (u_ {0}) = \ psi _ {t} \ circ \ varphi _ {t} (u_ {0}) \ quad {\ text {portanto}} \ quad {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi _ {t} (u_ {0})} {\ mathrm {d} t}} = \ psi _ {t} \ left (\ varphi _ {t} (u_ {0}) \ right).} Por outro lado :∀t∈[no,b]dvocêtdt=vs(t)vt=vs(t)χ(vocêt,vt)=ψt(vocêt)portantodvocêtdt=ψt(vocêt).{\ displaystyle \ forall t \ in [a, b] \ quad {\ frac {\ mathrm {d} u_ {t}} {\ mathrm {d} t}} = c (t) v_ {t} = c ( t) \ chi _ {(u_ {t}, v_ {t})} = \ psi _ {t} (u_ {t}) \ quad {\ text {portanto}} \ quad {\ frac {\ mathrm {d } u_ {t}} {\ mathrm {d} t}} = \ psi _ {t} (u_ {t}).}

Deduzimos que φ t (H a ) é de fato igual a H t . De fato, H a é ortogonal de u a , sua imagem por φ t é ortogonal de φ t (u a ) porque φ t é uma rotação. Basta notar que notice t (u a ) é igual a u t para concluir.

• Injetividade de Γ:

Para que o mapa Γ seja um embedding , é necessário escolher bem o valor μ. Se for muito alto, a aplicação Γ não é necessariamente injetiva. Um exemplo é dado na figura à direita. O menor raio de curvatura é dado pelo ponto roxo do círculo osculante . O valor µ é escolhido maior que o raio do círculo osculante, chamado de raio de curvatura . O ponto vermelho é um elemento do hiperplano ortogonal à tangente do ponto do círculo osculante violeta e está a uma distância igual a este valor de µ. Pontos a uma distância menor ou igual a μ da curva são mostrados em verde. O ponto vermelho também faz parte do plano ortogonal de outro ponto, mostrado em amarelo. Se μ for escolhido menor que o menor raio de curvatura atingido pelos pontos da curva, esta situação não pode ocorrer. A aplicação Γ é então injetiva localmente.

Injetividade local de Γ: A função c (t) em t combina a curvatura do arco no ponto f (t) é contínua. É definido em um compacto, atinge seu limite superior. Denote por r m o inverso desse limite, que corresponde ao menor raio de curvatura do arco. Assumimos que μ é escolhido menor que r m / 2. O objetivo é mostrar que Γ é localmente injetivo, ou seja, se t é um elemento de [ a , b ], Γ é injetivo no conjunto] t-δ, t + δ [x B a, μ . O valor δ corresponde a um número real estritamente positivo independente de t e a ser determinado. Para simplificar as notações, supomos, mesmo que isso signifique traduzir o intervalo [ a , b ], que t é igual a 0. Também supomos, mesmo que isso signifique modificar o sistema de coordenadas, que f (0) é igual a vetor zero. Mostraremos que uma imagem de ponto p por Γ de um ponto (0, p ) de] t-δ, t + δ [x B a, μ não tem outro antecedente neste conjunto. Dizer que p é tal imagem equivale a dizer que sua norma é menor que μ, portanto que r m / 2 e que p é ortogonal a u 0 . Consideramos outro antecedente da primeira coordenada anotada t e mostraremos que t é necessariamente maior que um valor δ. Dizer que t é outro antecedente implica que p está no plano ortogonal a u t e passando por f (t). O que mostra a igualdade:⟨p-f(t),vocêt⟩=0portanto⟨p,vocêt⟩=⟨f(t),vocêt⟩.{\ displaystyle \ langle pf (t), u_ {t} \ rangle = 0 \ quad {\ text {portanto}} \ quad \ langle p, u_ {t} \ rangle = \ langle f (t), u_ {t } \ rangle.} A fórmula de Taylor-Lagrange mostra a existência de um valor τ 1 , entre 0 e t , tal que:⟨p,vocêt⟩=⟨p,você0+tvs(τ1)vτ1⟩=tvs(τ1)⟨p,vτ1⟩≤tvsm‖p‖≤tvsm2vsm≤t2.{\ displaystyle \ langle p, u_ {t} \ rangle = \ langle p, u_ {0} + tc (\ tau _ {1}) v _ {\ tau _ {1}} \ rangle = tc (\ tau _ {1}) \ langle p, v _ {\ tau _ {1}} \ rangle \ leq tc_ {m} \ | p \ | \ leq t {\ frac {c_ {m}} {2c_ {m}}} \ leq {\ frac {t} {2}}.} O mesmo raciocínio mostra a existência de dois valores τ 2 e τ 3 , também entre 0 e t , tais como:⟨f(t),vocêt⟩=⟨tvocê0+vs(τ2)t22vτ2,você0+vs(τ3)tvτ3⟩≥t(1-32tvsm-vsm22t2).{\ displaystyle \ langle f (t), u_ {t} \ rangle = \ langle tu_ {0} + {\ frac {c (\ tau 2) t ^ {2}} {2}} v _ {\ tau _ {2}}, u_ {0} + c (\ tau _ {3}) tv _ {\ tau _ {3}} \ rangle \ geq t \ left (1 - {\ frac {3} {2}} tc_ {m} - {\ frac {c_ {m} ^ {2}} {2}} t ^ {2} \ direita).}

Se escolhermos δ menor que min (1, 1 / c m ) / 6, temos certeza de que o termo < p , u t > é estritamente menor que o segundo produto escalar e a injetividade local no intervalo l 't- δ, t + δ [x B a, μ é bem garantido.

Injetividade global de Γ:

A injetividade local não implica a injetividade de Γ. A ilustração à direita mostra o motivo. Se a curva for suficientemente comprimida , um ponto de abscissa distante pode estar arbitrariamente próximo ao ponto estudado. É então necessário verificar se uma zona vermelha, como a figura, não existe se μ for escolhido corretamente. Como por suposição, o arco não contém um ponto duplo, a configuração desagradável seria a da esquerda, com uma infinidade de fios do arco que se aproximam cada vez mais do ponto crítico. A compactação do segmento [ a , b ], implicando a do gráfico C, impede o aparecimento deste fenômeno.

Para estarmos convencidos disso, consideremos a função que to t associa o mínimo da distância entre f (t) e a imagem por f dos intervalos [ a , t - δ] e [ t + δ, b ]. Como a função distância é contínua e a união dos segmentos [ a , t - δ] e [ t + δ, b ] é compacta, esse mínimo é atingido. Como o arco é simples, ou seja, não admite um ponto múltiplo, este mínimo é diferente de 0. A função de [ a , b ] em ℝ que to t associa o mínimo definido anteriormente é ainda contínua. Ainda está definido em um compacto, o que implica que ainda atinge seu mínimo μ 1 que não é zero.Se o valor μ for escolhido estritamente menor do que μ 1/2 (é necessário dividir por 2 porque a restrição não é que a zona verde não deve atender indevidamente a curva C em azul, mas que a zona verde não se cruza com si) e que r m / 2, as provas anteriores garantem a injetividade de Γ.

Para poder realizar a mudança de variável no cálculo do volume, ainda é necessário garantir que o conjunto de chegada de Γ restrito a [ a , b ] x B a, ε , onde ε é um número real estritamente positivo e menor que μ é de fato C ε . É mais fácil verificar.

• Surjetividade de Γ restrita a [ a , b ] x B a, ε em C ε :

Seja p um ponto de C ε . A função de C em ℝ, que em um ponto associa sua distância a p , é contínua. Ele atinge seu mínimo em um ponto f (t), com uma distância menor que ε por suposição. Se H é um verdadeiro tal que t + h é um elemento de [ um , b ] a distância entre P e F (t + h) é maior do que o mínimo anteriormente mencionado. Podemos deduzir: ⟨p-f(t+h),p-f(t+h)⟩=⟨p-f(t)+hvocêt+o(h),p-f(t)+hvocêt+o(h)⟩=‖p-f(t)‖2+2h⟨p-f(t),vocêt⟩+o(h)≥‖p-f(t)‖2.{\ displaystyle \ langle pf (t + h), pf (t + h) \ rangle = \ langle pf (t) + hu_ {t} + o (h), pf (t) + hu_ {t} + o ( h) \ rangle = \ | pf (t) \ | ^ {2} + 2h \ langle pf (t), u_ {t} \ rangle + o (h) \ geq \ | pf (t) \ | ^ {2 }.} O limite superior é verdadeiro para os valores positivos e negativos de h , o que mostra que p - f (t) é ortogonal a u t . Outra forma de colocar isso é que p é a imagem de Γ. Mais precisamente, seu antecedente é ( t , φ t -1 (p- f (t))).

• Cálculo Jacobiano:

Para realizar a mudança de variável, é útil calcular o determinante Jacobiano de ψ em um ponto ( t , z). Para isso, vamos primeiro calcular o diferencial de ψ neste ponto. Seja v t, a o antecedente do vetor normalizado de u ' t por φ t , se a segunda derivada de f não for zero e um vetor de H a de norma 1 e ortogonal a u a se a segunda derivada for zero. Denotamos por K t, a o hiperplano de H a ortogonal a v t, a . Denotamos por ( t d , z d ) um pequeno vetor de B a, μ tal que a soma do ponto ( t , z) e de ( t d , z d ) está em B a, μ . Finalmente, usamos as notações: z=ζvt,no+zkezd=ζdvt,no+zkdcomζ,ζd∈R,zk,zkd∈Kt,no.{\ displaystyle z = \ zeta v_ {t, a} + z_ {k} \ quad {\ text {et}} \ quad z_ {d} = \ zeta _ {d} v_ {t, a} + z_ {kd } \ quad {\ text {com}} \ quad \ zeta, \ zeta _ {d} \ in \ mathbb {R}, \; z_ {k}, z_ {kd} \ in K_ {t, a}.} Nós temos :ψ(t+td,z+zd)=f(t+td)+φt+td(z+zd)=f(t)+φt(z)+td(vocêt+Dφt(ζvt,no+zk))+φt(zd)+o(td)+o(zd).{\ displaystyle \ psi (t + t_ {d}, z + z_ {d}) = f (t + t_ {d}) + \ varphi _ {t + t_ {d}} (z + z_ {d}) = f (t) + \ varphi _ {t} (z) + t_ {d} \ left (u_ {t} + D \ varphi _ {t} (\ zeta v_ {t, a} + z_ {k}) \ right) + \ varphi _ {t} (z_ {d}) + o (t_ {d}) + o (z_ {d}).} Deduzimos o diferencial:Dψ(t,z)(td,zd)=td(vocêt-vs(t)ζvocêt)+ζdvt+φt(zk).{\ displaystyle D \ psi _ {(t, z)} (t_ {d}, z_ {d}) = t_ {d} (u_ {t} -c (t) \ zeta u_ {t}) + \ zeta _ {d} v_ {t} + \ varphi _ {t} (z_ {k}).} Para o cálculo do determinante, notamos que o diferencial tem dois espaços estáveis, aquele gerado por u t e v t , então K T, A . No espaço K t, a , o diferencial é uma rotação; seu determinante é igual a 1; o jacobiano procurado é o do espaço vetorial de dimensão 2 gerado pelos dois vetores u t e v t . Nesta base, a matriz M é igual a:M=(1-vs(t)ζ001)edetDψ(t,z)=1-vs(t)ζ.{\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} 1-c (t) \ zeta & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {e}} \ quad \ det D \ psi _ { (t, z)} = 1-c (t) \ zeta.}

O resultado não é surpreendente. Isso significa que se a curvatura for localmente zero, a aplicação ψ não modifica o volume. O mesmo fenómeno ocorre em torno da curva C . Por outro lado, se for escolhido um pequeno volume com uma coordenada positiva, ou seja, na concavidade da curvatura, então o volume diminui. Iria para 0 se nos aproximássemos do raio de curvatura, igual a 1 / c (t), o que não pode ocorrer com a escolha de µ, que nunca ultrapassa a metade do raio de curvatura. Em contraste, na direção oposta, o volume aumenta. ζ{\ displaystyle \ zeta}

• Cálculo do volume de C ε  :

Agora podemos aplicar a mudança da variável ψ: Voeu(VSϵ)=∫VSϵ1dσ=∫[no,b]×Bµ,no|detDφt,z|dtdζdzk=(b-no)Voeu(Bnão-1(ϵ))-∫[no,b]×Bµ,novs(t)ζdtdζdzk.{\ displaystyle Vol (C _ {\ epsilon}) = \ int _ {C _ {\ epsilon}} 1 \ mathrm {d} \ sigma = \ int _ {[a, b] \ times B _ {\ mu, a}} | \ det D \ varphi _ {t, z} | \; \ mathrm {d} t \ mathrm {d} \ zeta \ mathrm {d} z_ {k} = (ba) Vol (B_ {n- 1} (\ epsilon)) - \ int _ {[a, b] \ times B _ {\ mu, a}} c (t) \ zeta \; \ mathrm {d} t \ mathrm {d} \ zeta \ mathrm {d} z_ {k}.} Agora, o sólido [ a , b ] x B a, μ é simétrico em relação a K a e o volume da superfície cortada na ordenada ζ é exatamente o mesmo que o corte na ordenada -ζ. A segunda integral é igual a 0. Encontramos:Voeu(VSϵ)=(b-no)Voeu(Bnão-1(ϵ)).{\ displaystyle Vol (C _ {\ epsilon}) = (ba) Vol (B_ {n-1} (\ epsilon)).}

O conteúdo unidimensional da curva C é igual ab - a , ou seja, ao comprimento da curva, pois sua parametrização corresponde a uma abcissa curvilínea. No caso do círculo e na dimensão 3, encontramos uma fórmula conhecida, o volume de um toro . No caso de uma curva não fechada, a demonstração é exatamente a mesma, basta somar as duas meias-bolas nas extremidades.

No caso de uma curva de classe C 2 e admitindo pontos duplos, mostrar que o conteúdo unidimensional de Minkowski ainda é igual ao comprimento não é muito complicado, mas a igualdade do produto precedente e do volume do tubo é não verificado mais. O resultado ainda é verdadeiro para curvas de classe C 1 , polígonos fechados não vazios compactos e convexos ou curvas na dimensão 2, mas as provas são diferentes.

Curva fractal

Já em 1872, Karl Weierstrass mostra que uma curva pode ter um comportamento estranho; ele constrói um exemplo de arco, por definição contínuo e em nenhum lugar diferenciável. Posteriormente, Peano construiu sua curva , cuja imagem é o conjunto de pontos de um quadrado com lado 1. Em 1904, o matemático sueco von Koch encontrou um exemplo concreto de uma curva que atendia às especificações de Weierstrass, por meio de um estranho floco de neve . Todos esses exemplos correspondem ao que agora é chamado de fractal .

Esta família de curvas, inicialmente considerada um tanto patológica, é essencial para uma melhor compreensão de certos ramos da matemática. O estudo de um sistema dinâmico como o de Lorenz refere-se a uma equação diferencial cujo comportamento limite está localizado dentro de uma zona geométrica definida por tal curva (para ser mais preciso, a zona corresponde à adesão de tal curva).

Para a análise de tais curvas, é necessário um equivalente do comprimento. No entanto, para a curva de Peano, a definição diferencial não tem significado e a de Jordan dá infinito. Se o conteúdo unidimensional de Minkowski também dá infinito, não é muito difícil adaptá-lo para encontrar uma resposta significativa. Se P denota o conjunto final da curva de Peano:

M2(VS)=limε→0Voeu(Pε)Voeu(Bnão-2(ε)).{\ displaystyle M_ {2} (C) = \ lim _ {\ varejpsilon \ a 0} {\ frac {Vol (P _ {\ varejpsilon})} {Vol (B_ {n-2} (\ varepsilon))} }.}

Aqui, P ε denota o conjunto de pontos remotos diminuir ε de P . O truque era dividir a proporção, não pelo volume de uma bola ( n - 1) -dimensional, mas ( n - 2) -dimensional. Para uma mancha de classe C 2 e dimensão 2, o conteúdo corresponde à medição da superfície. Para o atrator de Lorenz ou o floco de neve de Koch, nenhum inteiro k permite definir um conteúdo ( n - k ) -dimensional que não seja 0 nem infinito. Por outro lado, é possível usar uma definição do volume de uma bola de dimensão que faz sentido, mesmo que ζ não seja um inteiro: ζ{\ displaystyle \ zeta}

Voeu(Bζ(ε))=2πζ/2ζΓ(ζ/2)εζ.{\ displaystyle Vol (B _ {\ zeta} (\ varepsilon)) = {\ frac {2 \ pi ^ {\ zeta / 2}} {\ zeta \ Gamma (\ zeta / 2)}} \ varejpsilon ^ {\ zeta}.}

Aqui, Γ denota a função gama . O conteúdo de Minkowski, portanto, se generaliza para dimensões não inteiras . Essa dimensão, que permite dar sentido ao comprimento de um arco, é chamada de dimensão de Hausdorff .

Notas e referências

1. Tábuas de Susa - veja, por exemplo, π e √2 entre os babilônios .
2. Arquimedes, Da esfera e do cilindro - Da medida do círculo - Sobre os conóides e os esferóides, volume 1 Belles Lettres (2003) ( ISBN  2251000240 ) .
3. Karine Chemla e Guo Shuchun , Os nove capítulos: O clássico matemático da China antiga e seus comentários [ detalhe da edição ], p.  144-147 .
4. Torricelli, Opere , III, p.  368 e 477: Cartas a Ricci de 1646 e a Cavalieri (1598-1647).
5. (em) James WP Campbell, "  Scientific Work of Christopher Wren  " ,2001.
6. Ver, por exemplo, R. Ferreol e J. Madonnet, "  Parabole semi-cubique  " , na Enciclopédia de formas matemáticas notáveis ,2003.
7. (La) J. Wallis , duo de Tractatus , Opera t. 1 (1659), p.  551 .
8. Essas provas foram publicadas por van Schooten em 1659 na Geometria de Descartes .
9. (La) P. de Fermat , Dissertatio de linearum curvarum cum lineis rectis comparatione , Works t.1 (1660), p.  211 .
10. Marcel Berger e Bernard Gostiaux , Geometria diferencial: variedades, curvas e superfícies [ detalhe das edições ], p. 302.
11. Berger e Gostiaux , p.  303.
12. “É fundamental notar que o [...] comprimento L [de um arco ([ a , b ], f )] nunca é igual ao comprimento do gráfico de f ; este é um elemento do intervalo] L , L + b - a ]. » - Gustave Choquet , Curso de Análise , vol.  II: Topologia , p.  104.
13. Gottfried Wilhelm Leibniz , O nascimento do cálculo diferencial , cana. Vrin , 2000 ( ISBN  2711609979 ) , p.  203 .
14. "Letter to C. Fermat Casa domingo 1 st janeiro 1662" , em Paul Tannery e Charles Henry , Obras de Fermat ( lido on-line ) , p.  458.
15. Para mais detalhes, ver por exemplo: JP Perez e E. Anterrieu, Óptica: Fundamentos e Aplicações , Dunod ( 7 ª  edição) 2004 ( ISBN  978-210048497-3 ) .
16. Galileu imaginou que a solução para o problema da braquistrócrona era o círculo: Galileo Galilei Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze Editado por Appresso gli elsevirii (1638)
17. (em) John J. O'Connor e Edmund F. Robertson , "O problema da braquistócrona" no arquivo MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews ( ler online ).
18. P. Maupertuis, Acordo de diferentes leis da natureza, texto original de 1744 publicado em Œuvres de Maupertuis , vol. IV, 1768, pág. 16-17.
19. B. Riemann Sobre as hipóteses subjacentes à geometria (Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen) publicado por Dedekind em Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen vol. 13 de 1867 e disponível em inglês lido
20. Para obter detalhes sobre variedades Riemannianas, consulte (em) Marcel Berger , A Panoramic View of Riemannian Geometry ,2003[ detalhe da edição ].
21. J. Peiffer, Euler: Variações em torno de uma curva , Les CAHIERS de ciência et vie, n o  68, 2002, p.  72-79
22. F. Martin-Robine, História do princípio da ação menor , Vuibert, 2006 ( ISBN  978-2711771516 )
23. Em um livro sobre geometria diferencial, a definição anterior é de fato perfeitamente suficiente: Berger e Gostiaux , p.  315.
24. G. Peano , On a curve, que preenche toda uma área plana , em Mathematische Annalen , vol. 36, 1890, p.  157-160
25. (De) H. Minkowski , Geometrie der Zahlen , Teubner, Leipzig, 1896; repostado por Johnson, Nova York, 1968
26. C. Jordan , curso de análise da escola politécnica, 3 volumes , Jacques Gabay, primeira publicação entre 1882 e 1887 (1991) ( ISBN  978-287647018-7 )
27. Esta definição é equivalente à de Berger e Gostiaux , p.  314.
28. A demonstração apresentada aqui é um grande clássico; pode ser encontrado, por exemplo, em Jacques Dixmier , Cours de mathematics du premier cycle Gauthier-Villars, 1976 ( ISBN  978-2-04-002687-5 ) , cap. 53
29. Choquet , p.  138
30. (em) AP Burton e P. Smith, "  Isoperimetric inequalities and areas of projions in R n  ", em Acta Mathematica Hungarica , Vol. 62, n o  3-4, 1993
31. (de) H. Liebmann, “  Über die Verbiegung der geschlossenen Flachen positiver Krümm  ”, em Math. Ann. , voar. 53, 1900, pág.  81-112
32. (em) Robert Osserman , "  The isoperimetric inequality  " , Bull. Amargo. Matemática. Soc. , vol.  84, n o  6,1978, p.  1183-1238 ( ler online ) : p.  1188 .
33. Este exemplo foi retirado de Berger e Gostiaux , p.  226.
34. Essa definição é encontrada em Osserman 1978 , p.  1189.
35. A demonstração aqui apresentada é inspirada no corolário de Berger e Gostiaux , p.  254.
36. H. von Koch, “Um método geométrico elementar para o estudo de certas questões da teoria das curvas planas”, Acta Math. , N o  30, 1906, p.  145-174 .
37. (em) Edward N. Lorenz , "  Deterministic Nonperiodic Flow  " , J. Atmos. Sci. , vol.  20,1963, p.  130-141 ( DOI  10.1175 / 1520-0469 (1963) 020 <0130: DNF> 2.0.CO; 2 , ler online ).

links externos

• Distância em que o corvo voa entre dois pontos na superfície da Terra
• Perímetro da representação gráfica de uma função f (x) (não deve ser confundido com o comprimento do arco f )