A noção de ensemblist de relação de equivalência é onipresente na matemática . Permite, em um conjunto , relacionar elementos que se assemelham por uma determinada propriedade.
Estes elementos podem assim ser agrupados por “feixes” de elementos semelhantes, definindo assim a noção de uma classe de equivalência , para finalmente construir novos conjuntos “assimilando” elementos semelhantes a um e ao mesmo elemento. Terminamos então com a noção de um conjunto de quocientes .
Uma relação de equivalência em um conjunto E é uma relação binária ~ em E que é ao mesmo tempo reflexiva , simétrica e transitiva .
Mais explicitamente:
Por reflexividade, E então coincide com o conjunto de definição de ~ (que é deduzido do gráfico por projeção ). Inversamente, para que uma relação binária em E simétrica e transitiva seja reflexiva, é suficiente que seu conjunto de definição seja E inteiramente.
Também podemos definir uma relação de equivalência como uma relação binária reflexiva e circular .
Uma relação binária ~ é dita circular se cada vez que tivermos x ~ y e y ~ z , também tivermos z ~ x .
Fixar um conjunto E e uma relação de equivalência ~ em E .
Definimos a classe de equivalência [ x ] de um elemento x de E como o conjunto de y de E tal que x ~ y :
Chamamos um representante de [ x ] qualquer elemento de [ x ], e um sistema de representantes de classe qualquer parte de E que contenha exatamente um representante por classe.
Por outro lado, qualquer partição de um conjunto E define uma relação de equivalência em E . Isso estabelece uma bijeção natural entre as partições de um conjunto e as relações de equivalência nesse conjunto. O número de relações de equivalência em um conjunto com n elementos é, portanto, igual ao número de Bell B n , que pode ser calculado por indução .
Muitos relacionamentos são reflexivos, simétricos ou transitivos, sem serem os três ao mesmo tempo:
Podemos fornecer uma classe adequada com uma relação de equivalência. Você pode até definir classes de equivalência, mas elas podem ser próprias classes e geralmente não formam um todo (por exemplo, a relação de equipotência em conjuntos de classes).
Este nome é dada a partição E realçado acima, que é um subconjunto de todas as partes de E .
Dada uma relação de equivalência ~ em E , o conjunto quociente de E pela relação ~, denotado por E / ~, é o subconjunto das classes de equivalência:
O conjunto de quocientes também pode ser chamado de “o conjunto E quociente por ~” ou “o conjunto E considerado módulo ~”. A ideia por trás desses nomes é trabalhar no conjunto de quocientes como em E , mas sem distinguir entre eles os elementos equivalentes de acordo com ~.
O mapa canônico p , de E no conjunto quociente, que a cada elemento de E associa sua classe de equivalência:
Ele satisfaz a seguinte propriedade universal , que expressa que qualquer mapa definido em E cuja relação de equivalência associada é menos fina que ~ "passa para o quociente" E / ~ de uma maneira única:
Teorema de fatoração - Para qualquer mapa f : E → F que satisfaça [ x ~ y ⇒ f ( x ) = f ( y )], existe um único mapa g : E / ~ → F tal que f = g ∘ p .
Este mapa g - que portanto tem a mesma imagem que f - é injetivo se e somente se x ~ y ⇔ f ( x ) = f ( y ).
Se E tiver uma estrutura algébrica , é possível transferir esta para o conjunto quociente, desde que a estrutura seja compatível (en) com a relação de equivalência, ou seja, dois elementos de E se comportam da mesma forma em relação à estrutura se eles pertencem à mesma classe de equivalência. O conjunto de quocientes é então fornecido com a estrutura de quociente da estrutura inicial pela relação de equivalência.
Por exemplo, se ⊤ é uma lei interna em E compatível com ~, ou seja, verificar
( X ~ x ' e y ~ y' ) ⇒ x ⊤ y ~ x ' ⊤ y' ,
o " direito quociente da lei ⊤ por ~" é definido como "a lei da composição sobre o conjunto quociente E / ~ que, para as classes de equivalência de x e y , corresponde a classe de equivalência de x ⊤ y . "
(Mais formalmente: observando p a sobreposição E × E → E / ~ × E / ~, ( x , y ) ↦ ([ x ], [ y ]) e f o mapeamento E × E → E / ~, ( x , y ) ↦ [ x ⊤ y ], a hipótese de compatibilidade é reescrita p ( x , y ) = p ( x ' , y' ) ⇒ f ( x , y ) = f ( x ' , y' ). Aplicando o teorema de fatoração acima , podemos, portanto, definir a lei do quociente como o mapa único g : E / ~ × E / ~ → E / ~ tal que f = g ∘ p .)
ExemplosEm um conjunto E , seja R uma relação binária, identificada com seu gráfico. A intersecção de todas as relações de equivalência sobre E que contenham R é chamada a relação de equivalência (em E ) gerado por R . É igual ao fechamento reflexivo transitivo de R ∪ R −1 .