Igualdade (matemática)

Em matemática , a igualdade é uma relação binária entre objetos (muitas vezes pertencentes ao mesmo conjunto ), o que significa que esses objetos são idênticos , ou seja, a substituição de um pelo outro em uma expressão nunca altera o valor deste último.

Uma igualdade é uma proposição que pode ser escrita usando o sinal de igual “=”, separando duas expressões matemáticas da mesma natureza (números, vetores, funções, conjuntos ...); a proposição oposta é escrita usando o símbolo de diferença “≠”. Uma proposição de igualdade, ou desigualdade, pode ser verdadeira ou falsa: nesse sentido, ela também tem um valor lógico denominado valor de verdade .

Usos e significado do conceito

Uma igualdade pode aparecer como uma afirmação, uma definição de notação ou mesmo como uma equação:

No primeiro caso, as expressões iguais incluem apenas variáveis previamente definidas ou introduzidas por um quantificador externo, como na identidade notável :

para todos e reais , nós temos .

no

b

(a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}

No caso de uma definição de notação, uma ou mais novas variáveis aparecem em igualdade (geralmente no lado esquerdo) e podem ser usadas posteriormente no raciocínio, como no exemplo a seguir onde as variáveis , e são assumidas como já definidas: $no$ $b$ $vs$

nós notamos .

\ Delta = b ^ 2-4ac

No caso de uma equação , uma ou mais variáveis chamadas “ incógnitas ” são forçadas a assumir apenas alguns valores chamados “soluções”. Em outras ciências, o termo “equação” pode, entretanto, ser usado para afirmar uma relação entre quantidades sem que essas quantidades sejam necessariamente consideradas desconhecidas.

O símbolo "=" às vezes é usado em matemática para fins diferentes de igualdade:

Em análise , a notação u n = O (v n ) (resp. O (v n )) significa que a seqüência u é dominada pela seqüência v (resp. Insignificante antes da seqüência v). Estritamente falando, isso não é uma igualdade, pois a notação O (v n ) (resp. O (v n )) não designa uma sequência particular, mas sim qualquer sequência dominada por v (resp. Insignificante na frente de v) em expansões assintóticas . O símbolo de pertença " " seria mais apropriado aqui. $\ dentro$
Em algumas linguagens de programação , a notação a = b significa que a variável a recebe o valor de b. Esta atribuição é freqüentemente denotada por uma seta no algoritmo: a ← b. Se denotarmos a atribuição com "=" a instrução a = a + 1 é válida (apesar de sua falta de significado matemático): o valor representado por a é aumentado por 1. Para diferenciar as notações, podemos preceder o igual assinar por dois pontos, a notação então se tornando: "a: = a + 1". Um teste de igualdade geralmente é escrito com o símbolo "==", mas o sinal de igualdade "=" às vezes é usado diretamente em idiomas que não o utilizam para atribuição. Em linguagens funcionais, o sinal de igual é usado mais matematicamente para escrever as definições de variáveis que são imutáveis e, portanto, não podem ter um valor atribuído posteriormente.

Em um conjunto, a relação de igualdade é a única relação binária ao mesmo tempo reflexiva , simétrica , antissimétrica e transitiva . Na verdade, é a única relação de equivalência que é também uma relação de ordem .

Para proposições lógicas, preferimos usar os símbolos de equivalência ≡, ↔ ou ⇔.

Construção lógica

A lógica de predicados contém axiomas padrão para leis igualdades que formalizam Leibniz descrito pelo filósofo Leibniz o XVII º século . A ideia de Leibniz era que duas coisas são idênticas se e somente se (se) tiverem as mesmas propriedades. Formalizando

Para todos os

x

y

( x = y )

se e só se (para qualquer predicado

P

P ( x )

sse

P ( Y )

)

No entanto, na lógica de primeira ordem, não se pode quantificar os predicados. Portanto, precisamos de um esquema de axiomas:

Para todos os

x

y

, se

x = y

em seguida,

P ( x )

sse

P ( Y )

Esta série de axiomas válido para qualquer predicado $P$ com uma variável, leva em conta apenas uma direcção da implicação: se $x = y$ em seguida, $x$ e $y$ têm as mesmas propriedades.

Para construir o inverso, basta adicionar: para todo $x$ , $x = x$

Assim, se $x$ e $y$ têm as mesmas propriedades, para o predicado $P$ definido por $P ( z )$ sse $x = z$ , temos $P ( x )$ sse $P ( Y )$ . Agora $P ( x )$ é realizado, portanto $P ( y )$ é verdadeiro: $x = y$

Gottlob Frege , inspirando-se em Leibniz, considerou que dois objetos são iguais se e somente se eles podem ser substituídos um pelo outro em qualquer lugar.

Algumas propriedades lógicas elementares sobre igualdades

Substituição

Para todas as quantidades aeb, e para qualquer expressão F (x), se a = b então F (a) = F (b)

Na lógica de primeira ordem , isso na verdade corresponde a um esquema de axioma , uma vez que não podemos quantificar expressões como F (predicado funcional)

Alguns exemplos:

Para todos os números reais a, b e c, se a = b, então a + c = b + c (aqui F (x) = x + c)
Para todos os números reais a, b e c, se a = b, então a - c = b - c (aqui F (x) = x - c)
Para todos os números reais a, bec, se a = b, então ac = bc (aqui F (x) = xc)
Para todos os números reais a, bec, se a = b e c não forem zero, então a / c = b / c (aqui F (x) = x / c)

Os dois primeiros axiomas são noções comuns 2 e 3 do primeiro livro dos Elementos de Euclides .

Reflexividade

Para qualquer quantidade a, a = a

Simetria

Para todas as quantidades aeb, se a = b, então b = a

Transitividade

Para todas as quantidades, x, y e z, se x = y e y = z, então x = z

Nota: a relação " é aproximadamente igual a " no conjunto dos reais , não é transitiva apesar das aparências, pois uma soma de pequenos erros acaba fazendo uma grande diferença. A relação "é igual em quase todo lugar ", permanece uma relação transitiva.

Embora as propriedades de simetria e transitividade sejam freqüentemente consideradas fundamentais (junto com a reflexividade, elas caracterizam todas as relações de equivalência), elas são aqui apenas consequências das propriedades de reflexividade e substituição.

Anti-simetria

Para todas as quantidades a e b, se a = be b = a, então a = b.

História da notação

O sinal = foi introduzido por Robert Recorde em 1557 , em Whetstone de Witte para poupar qualquer pessoa que faça cálculos (ele, em particular) tendo que escrever é igual . Parece que este signo representava geminação (duas linhas do mesmo comprimento), aparentemente sinônimo, para ele, de igualdade. Mas muitos outros signos são atualmente propostos por vários autores e, inversamente, o signo = é usado para outros usos. Destaca-se como um sinal de igualdade que durante o XVIII th século.

No antigo Egito , este sinal já existia e simbolizava amizade , ao contrário de duas linhas que se cruzam, um símbolo de inimizade .

Notas e referências

Na realidade, igualar equivalência e igualdade não é simples, mas é uma consequência direta do axioma da extensionalidade, que afirma que dois conjuntos são iguais se e somente se eles têm os mesmos elementos.
(em) Florian Cajori , A History of Mathematical Notations , Vol. 1, Nova York, Dover ,1993, 451 p. , p. 297-308.