Lema (matemática)

Um lema , em matemática e em lógica matemática , é um resultado intermediário no qual confiamos para conduzir a prova de um teorema mais importante.

Etimologia

Na Grécia antiga, lema (em grego antigo  : λῆμμα ) era um termo da lógica  : designava o maior do silogismo , ou seja, a primeira afirmação. Na dialética grega, Lemma, o prolemme e a epífora são as três partes do argumento.

Por extensão, lema designa em matemática um dos argumentos da prova sem ser a base dela, então, mais geralmente, um resultado intermediário útil para a demonstração de um teorema.

Princípio

Na verdade, o método de provar um teorema é frequentemente o seguinte:

1. queremos provar o teorema T a partir de uma certa lista de axiomas e outros resultados já demonstrados, mas isso não parece óbvio à primeira vista,
2. mas dizemos a nós mesmos que, se soubéssemos L verdadeiro ( L sendo então outra asserção chamada lema ), poderíamos concluir imediatamente, dadas as regras aceitas da lógica,
3. em seguida, definimos L como o resultado a ser demonstrado e aplicamos um método de prova de teorema a ele,
4. tanto L demonstrado, deduzimos T .

Este princípio é usado em particular por softwares chamados assistentes de prova , como Coq ou PVS .

Alguns lemas comprovados tornam-se mais famosos do que o teorema para o qual foram criados e permanecem conhecidos como "Lema de XXX", embora geralmente desempenhem um papel de teorema.

Exemplos de lemas famosos

• Lema de Zorn  : famoso por ser equivalente ao axioma da escolha na teoria dos conjuntos ZF - desempenha, portanto, o papel de um teorema como consequência desse axioma , bem como de uma reformulação do axioma (portanto, de um axioma),
• lema da estrela  : teorema da teoria das linguagens formais , que se tornou mais famoso que o teorema da estrela,
• lema dos pastores ,
• Lema de Bézout .
• Lema euclidiano
• Lema gaussiano (generalização do lema euclidiano)
• Lema de Jordan
• lema de Abel
• Lema de Shephard ( teoria do consumidor ): a derivada da função de custo em relação ao preço dá a função de demanda condicional ou demanda compensada
• Lema de Hotelling

Notas e referências

1. Bertrand Hauchecorne, Palavras e matemática. Dicionário histórico e etimológico de vocabulário matemático. , Paris, Elipses,2003, 223  p. ( ISBN  978-2-7298-1528-8 e 2-7298-1528-7 )

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