Lema de Jordan
Em matemática , o lema de Jordan é um lema usado principalmente para o cálculo de integrais pelo teorema do resíduo . Tem o nome de seu inventor, o matemático Camille Jordan . Existem três lemas jordanianos e a expressão "lema jordaniano" refere-se a uma das três declarações a seguir.
Primeira declaração
Jordan lema I - Seja uma função holomórfica em um domínio . Se tende a 0 quando tende ao infinito, então a integral tomada ao longo da porção do círculo C (0, r) incluída no domínio tende a 0 quando o raio r tende ao infinito:
f{\ displaystyle f}D⊂VS{\ displaystyle D \ subset \ mathbb {C}}|zf(z)|{\ displaystyle | zf (z) |}|z|{\ displaystyle | z |}D{\ displaystyle D}
limr→∞∮VS(0,r)∩Df(z)dz=0{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ anint _ {C (0, r) \ cap D} f (z) dz = 0}.
Demonstração
Nós temos
∮VS(0,r)∩Df(z)dz=∮VS(0,r)∩Dzf(z)dzz.{\ displaystyle \ oint _ {C (0, r) \ cap D} f (z) dz = \ oint _ {C (0, r) \ cap D} zf (z) {\ frac {dz} {z} }.}
Pela hipótese em f, tende a 0 como o raio do círculo tende a infinito. Então, ao posar|zf(z)|{\ displaystyle | zf (z) |}z=reeuθ{\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}}
|∮VS(0,r)∩Dzf(z)dzz|⩽∫02π|zf(z)|rdθr=2πmaxz∈VS(0,r)|zf(z)|→0{\ displaystyle \ left | \ anint _ {C (0, r) \ cap D} zf (z) {\ frac {dz} {z}} \ right | \ leqslant \ int _ {0} ^ {2 \ pi } | zf (z) | {\ frac {rd \ theta} {r}} = 2 \ pi \ max _ {z \ in C (0, r)} | zf (z) | \ to 0}.
Segunda declaração
Há uma versão particular do lema de Jordan em um semicírculo que sempre pode ser considerado o semicírculo superior.
Lema II de Jordan - Seja f uma função meromórfica em um domínio D inteiramente no semiplano superior fechado, contínua no eixo real e da forma
onde a é um real estritamente positivo.
f(z)=eeunozg(z){\ displaystyle f (z) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} az} g (z)}
Se mais tende a 0 quando r tende a infinito, então
maxθ∈[0,π]|g(reeuθ)|{\ displaystyle \ max _ {\ theta \ in [0, \ pi]} \ left | g (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta}) \ right |}
limr→∞∮VS(0,r)∩Df(z)dz=0{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ anoint _ {C (0, r) \ cap D} f (z) \, \ mathrm {d} z = 0}.
Demonstração
Definimos e temos, chamando e os valores extremos dos ângulos considerados para ,
z=reeuθ{\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}}θ1(r){\ displaystyle \ theta _ {1} (r)}θ2(r){\ displaystyle \ theta _ {2} (r)}VS(0,r)∩D{\ displaystyle C (0, r) \ cap D}
|∫VS(0,r)∩Df(z)dz|⩽∫VS(0,r)∩D|f(z)|dz⩽∫θ1(r)θ2(r)|g(reeuθ)|enor(euporqueθ-pecadoθ)reeuθ|dθ{\ displaystyle \ left | \ int _ {C (0, r) \ cap D} f (z) \, dz \ right | \ leqslant \ int _ {C (0, r) \ cap D} | f (z ) | \, dz \ leqslant \ int _ {\ theta _ {1} (r)} ^ {\ theta _ {2} (r)} | g (re ^ {i \ theta}) | e ^ {ar ( i \ cos \ theta - \ sin \ theta)} re ^ {i \ theta} | \, d \ theta}.
Portanto
|∫VS(0,r)f(z)dz|⩽∫0π|g(reeuθ)|e-norpecadoθ rdθ{\ displaystyle \ left | \ int _ {C (0, r)} f (z) \, dz \ right | \ leqslant \ int _ {0} ^ {\ pi} \ left | g (re ^ {i \ theta}) \ right | e ^ {- ar \ sin \ theta} \ r \, d \ theta}.
Ou
, obtemos o aumento
M(r)=maxθ∈[0,π]|g(reeuθ)|{\ displaystyle M (r) = \ max _ {\ theta \ in [0, \ pi]} \ left | g (re ^ {i \ theta}) \ right |}
|∫VS(0,r)f(z)dz|⩽M(r)∫0πe-norpecadoθ rdθ=2M(r)∫0π/2e-norpecadoθ rdθ{\ displaystyle \ left | \ int _ {C (0, r)} f (z) \, dz \ right | \ leqslant M (r) \ int _ {0} ^ {\ pi} e ^ {- ar \ sen \ theta} \ r \, d \ theta = 2M (r) \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} e ^ {- ar \ sin \ theta} \ r \, d \ theta}.
Reduzimos o seno pela desigualdade do acorde:
pecadoθ⩾2θπ,0⩽θ⩽π2{\ displaystyle \ sin \ theta \ geqslant {\ frac {2 \ theta} {\ pi}}, \ quad 0 \ leqslant \ theta \ leqslant {\ frac {\ pi} {2}}}
e nós temos
|∫VS(0,r)f(z)dz|⩽2M(r)∫0π/2e-2norθ/π rdθ=πno(1-e-nor)M(r){\ displaystyle \ left | \ int _ {C (0, r)} f (z) \, dz \ right | \ leqslant 2M (r) \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} e ^ {- 2ar \ theta / \ pi} \ r \, d \ theta = {\ frac {\ pi} {a}} (1-e ^ {- ar}) M (r)}.
Portanto
limr→∞|∫VS(0,r)f(z)dz|⩽πnolimr→∞M(r)=0{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ left | \ int _ {C (0, r)} f (z) \, dz \ right | \ leqslant {\ frac {\ pi} {a}} \ lim _ {r \ to \ infty} M (r) = 0}.
Observação
Uma desigualdade semelhante pode ser obtida na metade inferior do disco sob as mesmas condições, exceto a <0 .
Usando da mesma forma a desigualdade do acorde para o cosseno, obtém-se também um “lema de Jordan” válido desta vez em um meio-disco vertical.
Esta versão é especialmente útil para o cálculo das transformadas de Fourier ou Laplace.
Terceira declaração
Para ser mais preciso, existe, na verdade, uma outra lema (Lema I), que é semelhante e está bem relatado no decurso de 1 r Divisão 1878-1879:
Lema de Jordan III - Lema I: Seja f (a) uma função tal que (za) f (z) tende a zero como z tende a a.
O integral
∫VSf(z)dz{\ displaystyle \ int _ {C} f (z) dz}tomada ao longo de um círculo de raio infinitamente pequeno descrito em torno de a tende a zero. Na verdade, esta integral é escrita
∫VSf(z)(z-no)dzz-no.{\ displaystyle \ int _ {C} f (z) (za) {\ frac {dz} {za}}.}
É menor que M tendendo para zero; portanto, é zero.
M2πrr<2πM.{\ displaystyle M {\ frac {2 \ pi r} {r}} <2 \ pi M.}
Demonstração
Perguntando z=no+reeuθ{\ displaystyle z = a + re ^ {i \ theta}}
|∮VS(no,r)f(z)(z-no)dzz-no|⩽∫02π|f(z)(z-no)|rdθr=2πmaxz∈VS(0,r)|f(z)(z-no)|→0{\ displaystyle \ left | \ anoint _ {C (a, r)} f (z) (za) {\ frac {dz} {za}} \ right | \ leqslant \ int _ {0} ^ {2 \ pi } | f (z) (za) | {\ frac {rd \ theta} {r}} = 2 \ pi \ max _ {z \ in C (0, r)} | f (z) (za) | \ para 0}.
História
Lema Jordan é expressa bem no decurso da análise da Polytechnic de Camille Jordan ( 1 r divisão 1882-1883, página 57):
“Lema II: seja f uma função tal que zf (z) se aproxima de zero quando z aumenta indefinidamente; a integral é obtida ao longo de um círculo de raio infinito que tende a zero. Nós temos
∫VSf(z)dz{\ displaystyle \ int _ {C} f (z) dz}
∫VSf(z)dz=∫VSzf(z)dzz<M2πRR=2πM{\ displaystyle \ int _ {C} f (z) dz = \ int _ {C} zf (z) {\ frac {dz} {z}} <M {\ frac {2 \ pi R} {R}} = 2 \ pi M}.
M tendendo a 0, também tem esse limite. "
∫VSf(z)dz{\ displaystyle \ int _ {C} f (z) dz}
Mas este lema não existe no curso de 1 st divisão 1878-1879. No 3 rd edição do volume 2 (1913) de seu curso de análise no polytechnique École em Gauthier-Villars, a "Jordan lema" é substituído por um monte de pequenas lemas do mesmo tipo (volume 2, capítulo VI: complexo integrais, p. 306-311).
Segundo os autores, o lema é citado de uma forma ou de outra, às vezes sem nem mesmo indicar o nome de Jordan.
É assim que aparece no curso de análise da Favard Polytechnic.
“Seja f (z) uma função definida em todo ou parte de C de um círculo de raio R tão grande quanto quisermos, centralizado em um ponto fixo a; de
|∫VSf(z)dz|⩽2πRmax|(z-no)f(z)|,{\ displaystyle \ left | \ int _ {C} f (z) dz \ right | \ leqslant 2 \ pi R \ max | (za) f (z) |,}
deduzimos que quando | (za) f (z) | uniformemente tende a zero com 1 / R a integral tende a zero.
É o mesmo quando temos que integrar f (z) ao longo de todo ou parte de um círculo de raio r, tão pequeno quanto quisermos, centralizado em a, e que | (za) f (z) | tende a zero na parte deste círculo ao longo do qual integramos f (z). "
sem citar o nome de Jordan.
Veja também
Notas e referências
-
Favard, Curso de análise da escola politécnica , Gauthier-Villars, T2, 1960, p. 252-253.
- Camille Jordan, Análise Curso Politécnico , 1 st Division, ano 1882-1883, esmola.
- Camille Jordan, curso de análise na École polytechnique , Gauthier-Villars, Paris, 3 volumes, 1909-1913-1915
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