Teorema do resíduo

Na análise complexa , o teorema do resíduo é uma ferramenta poderosa para avaliar integrais curvilíneas de funções holomórficas em curvas fechadas que dependem dos resíduos da função a ser integrada.

É usado para calcular integrais de funções reais , bem como a soma de certas séries . Ele generaliza o teorema da integral de Cauchy e a fórmula da integral de Cauchy .

Estados

Seja U um conjunto aberto e simplesmente conectado ao plano complexo ℂ, { z 1 , ..., z n } um conjunto de n pontos de U , e f uma função definida e holomórfica em U \ { z 1 ,. .., z n }.

Se γ for uma curva retificável em U que não encontra nenhum dos pontos singulares z k e cujo ponto inicial corresponde ao ponto final (ou seja, uma guinada retificável), então:

∫γf(z) dz=2πeu∑k=1nãoRes⁡(f,zk)eunãodγ(zk).{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2 \ pi i \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ operatorname {Res} (f, z_ {k} ) \, \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {k}).}

Aqui, Res ( f , z k ) denota o resíduo de f em z k , e o índice de guinada γ em relação a z k . Intuitivamente, o índice de guinada é o número de voltas em torno de z k feitas por um ponto que atravessa toda a guinada. Este número de voltas é um número inteiro  ; é positivo se γ é atravessado esquerda (na direcção para a frente) em torno de z k , zero se γ não se move em torno de z k de todo , e negativo se γ é atravessada no sentido horário. ponteiros do relógio em torno de z k . eunãodγ(zk){\ displaystyle \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {k})}

O índice é definido por

Indγ⁡(zk)=12πeu∫γdzz-zk.{\ displaystyle \ operatorname {Ind} _ {\ gamma} (z_ {k}) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {{\ text {d} } z} {z-z_ {k}}}.} Demonstração

Seja F o conjunto de pontos singulares da função f , ou , a função admite uma expansão de Laurent em um determinado disco rombudo com centrado em  : z0∈F{\ displaystyle z_ {0} \ in F}D(z0,r)∖{z0}{\ displaystyle D (z_ {0}, r) \ barra invertida \ {z_ {0} \}}r>0{\ displaystyle r> 0}z0{\ displaystyle z_ {0}}

f(z)=∑não∈Zbz0,não(z-z0)não{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} b_ {z_ {0}, n} (z-z_ {0}) ^ {n}}

Deixe a série convergir normalmente nos compactos de definidos pela parte singular da expansão de Laurent de f  : hz0{\ displaystyle h_ {z_ {0}}}você-{z0}{\ displaystyle U - \ {z_ {0} \}}

hz0(z)=∑-∞-1bz0,não(z-z0)não{\ displaystyle h_ {z_ {0}} (z) = \ sum _ {- \ infty} ^ {- 1} b_ {z_ {0}, n} (z-z_ {0}) ^ {n}}

Considere agora a função holomórfica g em U e definida por:

g(z)=f(z)-∑zeu∈Fhzeu(z){\ displaystyle g (z) = f (z) - \ sum _ {z_ {i} \ in F} h_ {z_ {i}} (z)}

isto é, a função f menos suas expansões na vizinhança de suas singularidades . Sendo U uma abertura simplesmente conectada , a renda é homotópica em um ponto em U e, portanto, γ{\ displaystyle \ gamma}

∫γg(z) dz=0{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} g (z) ~ \ mathrm {d} z = 0}

então nós temos :

∫γf(z) dz=∑zeu∈F∫γhzeu(z) dz{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = \ sum _ {z_ {i} \ in F} \ int _ {\ gamma} h_ {z_ {i}} (z ) ~ \ mathrm {d} z}

Como as séries são normalmente convergentes, podemos escrever: hzeu{\ displaystyle h_ {z_ {i}}}

∫γhzeu(z) dz=∑-∞-1bzeu,não∫γ(z-zeu)não dz{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} h_ {z_ {i}} (z) ~ \ mathrm {d} z = \ sum _ {- \ infty} ^ {- 1} b_ {z_ {i}, n} \ int _ {\ gamma} (z-z_ {i}) ^ {n} ~ \ mathrm {d} z}

e nós temos:

∫γ(z-zeu)não dz=2euπeunãodγ(zeu)δnão,-1{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} (z-z_ {i}) ^ {n} ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {i}) \ delta _ {n, -1}}

onde está o símbolo Kronecker . Usamos o fato de que tem uma primitiva holomórfica para tudo, portanto, a integral acima é zero, exceto para . Nesse caso, encontramos a definição do índice . Ao inserir este resultado na fórmula anterior, obtemos: δ{\ displaystyle \ delta}(z-zeu)não{\ displaystyle (z-z_ {i}) ^ {n}}não≠-1{\ displaystyle n \ neq -1}não=-1{\ displaystyle n = -1}

∫γf(z) dz=2euπ∑zeu∈Fbzeu,-1eunãodγ(zeu){\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ sum _ {z_ {i} \ in F} b_ {z_ {i}, - 1} \ mathrm { Ind} _ {\ gamma} (z_ {i})}

ainda por definição do resíduo:

∫γf(z) dz=2euπ∑zeu∈FRes(f,zeu)eunãodγ(zeu).{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ sum _ {z_ {i} \ in F} \ mathrm {Res} (f, z_ {i}) \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {i}).}

Variante

“Seja D uma esfera de Riemann aberta S 2 , e seja f uma função holomórfica em D, exceto talvez em pontos isolados que são singulares para f . Seja Γ a aresta orientada de um compacto A contido em D, e suponha que Γ não contém nenhum ponto singular de f , nem o ponto no infinito. Os pontos singulares z k contidos em A são então finitos em número, e temos a relação:

∫Γf(z) dz=2πeu∑kRes⁡(f,zk),{\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2 \ pi i \ sum _ {k} \ operatorname {Res} (f, z_ {k}),}

onde Res ( f, z k ) denota o resíduo da função f no ponto z k  ; a soma é estendida a todos os pontos singulares z k ∈ A, possivelmente incluindo o ponto no infinito . "

Aplicação ao cálculo de integrais reais

Para avaliar integrais reais , o teorema do resíduo é freqüentemente usado como segue: o integrando é estendido em uma função holomórfica em uma abertura do plano complexo; seus resíduos são calculados e parte do eixo real é estendido para uma curva fechada anexando um semicírculo a ela no semiplano superior ou inferior. A integral ao longo desta curva pode então ser calculada usando o teorema do resíduo. Muitas vezes, graças ao lema de estimação ou lema de Jordan , a parte da integral sobre o semicírculo tende a zero, quando o raio deste tende para o infinito, deixando apenas a parte da integral sobre o eixo real, aquela que inicialmente interessou nós.

A lista abaixo não é exaustiva, mas dá uma ideia geral da técnica usando o teorema do resíduo, que discutimos:

• as integrais do "primeiro tipo" : onde está uma função racional;∫02πR(cos⁡(t),pecado⁡(t)) dt{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} R (\ cos (t), \ sin (t)) ~ \ mathrm {d} t}R{\ displaystyle R}
• as integrais do "segundo tipo"  :  ;∫-∞+∞f(x) dx{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x}
• as integrais do "terceiro tipo"  :  ;∫-∞+∞f(x)eeuParax dx{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \ mathrm {e} ^ {iax} ~ \ mathrm {d} x}
• as integrais do "quarto tipo"  : combinação dos dois casos anteriores considerando o valor principal de Cauchy do integral.

Primeiro tipo

Seja o cálculo do seguinte integral real:

eu=∫02πR(cos⁡(t),pecado⁡(t)) dt{\ displaystyle I = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} R (\ cos (t), \ sin (t)) ~ \ mathrm {d} t}

com uma função racional tendo um número finito de pontos singulares e nenhum dos quais pertence ao círculo centrado na origem e de raio 1. Obtemos pelo teorema do resíduo: R{\ displaystyle R}zj{\ displaystyle z_ {j}}VS(0,1){\ displaystyle C (0,1)}

eu=2euπ∑|zj|<1Res(f,zj){\ displaystyle I = 2i \ pi \ sum _ {| z_ {j} | <1} \ mathrm {Res} (f, z_ {j})}

onde é definido da seguinte forma: f{\ displaystyle f}

f(z)=1euzR(z+z-12,z-z-12eu).{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {iz}} R \ left ({\ frac {z + z ^ {- 1}} {2}}, {\ frac {zz ^ {- 1} } {2i}} \ right).} Demonstração

Tomemos para o contorno o círculo parametrizado da seguinte forma: γ{\ displaystyle \ gamma}VS(0,1){\ displaystyle C (0,1)}

γ:[0,2π]→VS,γ(t)=eeut.{\ displaystyle \ gamma: [0,2 \ pi] \ to \ mathbb {C}, \ gamma (t) = e ^ {it}.}

Então temos:

∫γf(z) dz=∫02π1eueeutR(cos⁡(t),pecado⁡(t))⋅eueeut dt=eu{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {1 \ over ie ^ {it}} R (\ cos (t ), \ sin (t)) \ cdot ie ^ {it} ~ \ mathrm {d} t = I}

onde usamos a fórmula de Euler para ir de exponenciais complexas a funções trigonométricas. Além disso, o teorema do resíduo nos diz que essa integral vale:

∫γf(z) dz=2euπ∑zj∈FRes(f,zj)eunãodγ(zj)=2euπ∑|zj|<1Res(f,zj){\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ sum _ {z_ {j} \ in F} \ mathrm {Res} (f, z_ {j}) \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {j}) = 2i \ pi \ sum _ {| z_ {j} | <1} \ mathrm {Res} (f, z_ {j})}

onde denota o conjunto (finito) de pontos singulares de pertencer ao disco aberto . Ao igualar as duas últimas relações obtidas, encontramos a identidade inicial. F{\ displaystyle F}f{\ displaystyle f}D(0,1){\ displaystyle D (0,1)}

Exemplo

Problema  : calcule o seguinte integral:

eu=∫02πdxPara+pecado⁡(x),(Para>1){\ displaystyle I = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {\ mathrm {d} x} {a + \ sin (x)}} \ ,, \, \, (a> 1) }

Solução  : estamos nas condições acima mencionadas, portanto temos:

eu=2πPara2-1.{\ displaystyle I = {2 \ pi \ over {\ sqrt {a ^ {2} -1}}}.}

Desenvolvimento  : a função racional correspondente é:

R(x,y)=1Para+y.{\ displaystyle R (x, y) = {1 \ over a + y}.}

Constrói-se assim a função correspondente para o cálculo do resíduo: f{\ displaystyle f}

f(z)=1euzR(z+z-12,z-z-12eu)=2z2+2euParaz-1=1euPara2-1(1z-p--1z-p+),{\ displaystyle f (z) = {1 \ over iz} R \ left ({z + z ^ {- 1} \ over 2}, {zz ^ {- 1} \ over 2i} \ right) = {2 \ sobre z ^ {2} + 2iaz-1} = {\ frac {1} {i {\ sqrt {a ^ {2} -1}}}} \ left ({\ frac {1} {zp _ {-} }} - {\ frac {1} {zp _ {+}}} \ right),}

sendo os dois pólos simples:

p±=-eu(Para±Para2-1).{\ displaystyle p _ {\ pm} = - i (a \ pm {\ sqrt {a ^ {2} -1}}).}

O pólo está fora do círculo unitário ( ) e, portanto, não deve ser considerado; o pólo está dentro ( ). p+{\ displaystyle p _ {+}}|p+|>1{\ displaystyle | p _ {+} |> 1}p-=-1/p+{\ displaystyle p _ {-} = - 1 / p _ {+}}|p-|<1{\ displaystyle | p _ {-} | <1}

O resíduo de neste pólo é: f{\ displaystyle f}

Res(f,p-)=limz→p-(z-p-)f(z)=1euPara2-1.{\ displaystyle \ mathrm {Res} (f, p _ {-}) = \ lim _ {z \ to p _ {-}} (zp _ {-}) f (z) = {1 \ over i {\ sqrt {a ^ {2} -1}}}.}

Agora temos que aplicar a fórmula inicial:

eu=2euπRes(f,p-)=2πPara2-1.{\ displaystyle I = 2i \ pi \ mathrm {Res} (f, p _ {-}) = {2 \ pi \ over {\ sqrt {a ^ {2} -1}}}.}

Segundo tipo

Seja o cálculo do seguinte integral real:

eu=∫-∞+∞f(x) dx{\ displaystyle I = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x}

com ter um conjunto de pontos singulares isolados puramente complexos. Se existe e tal que para qualquer complexo de módulo maior ou igual a , então f{\ displaystyle f}zj{\ displaystyle z_ {j}}M,R>0{\ displaystyle M, R> 0}α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}|f(z)|≤M|z|α{\ displaystyle | f (z) | \ leq {M \ over | z | ^ {\ alpha}}}z{\ displaystyle z}R{\ displaystyle R}

∫-∞+∞|f(x)| dx<+∞{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | f (x) | ~ \ mathrm {d} x <+ \ infty}

e

eu=2euπ∑ℑ(zj)>0Res(f,zj)=-2euπ∑ℑ(zj)<0Res(f,zj).{\ displaystyle I = 2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ {j})> 0} \ mathrm {Res} (f, z_ {j}) = - 2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ { j}) <0} \ mathrm {Res} (f, z_ {j}).}

Nota  : no caso em que é uma função racional definida por com e polinômios, basta exigir que (onde representa o grau do polinômio) verifique as hipóteses e aplique a identidade. f{\ displaystyle f}f(z)=P(z)Q(z){\ displaystyle f (z) = {P (z) \ over Q (z)}}P{\ displaystyle P}Q{\ displaystyle Q}deg(Q)≥deg(P)+2{\ displaystyle \ mathrm {deg} (Q) \ geq \ mathrm {deg} (P) +2}deg{\ displaystyle \ mathrm {deg}}

Demonstração

• Nós temos :

∫R+∞|f(x)| dx≤M∫R+∞dxxα=M⋅R1-αα-1<+∞{\ displaystyle \ int _ {R} ^ {+ \ infty} | f (x) | ~ \ mathrm {d} x \ leq M \ int _ {R} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x ^ {\ alpha}} = M \ cdot {R ^ {1- \ alpha} \ over \ alpha -1} <+ \ infty}

onde a última desigualdade vem do fato de que . α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}

O argumento é o mesmo para a integral de a . Como a função não tem nenhum ponto singular real, ela é delimitada a partir de e, portanto, -∞{\ displaystyle - \ infty}-R{\ displaystyle -R}-R{\ displaystyle -R}R{\ displaystyle R}

∫-∞+∞|f(x)| dx<+∞.{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | f (x) | ~ \ mathrm {d} x <+ \ infty.}

• De qualquer forma , tomemos como contorno o semicírculo localizado no semiplano superior (o caso no semiplano inferior é idêntico) tendo por diâmetro o intervalo e ilustrado na figura 1. No limite quando , o contorno envolve todo o singular pontos do semiplano superior (seu índice em relação ao contorno será, portanto, +1). Pelo teorema do resíduo, temos:r>R{\ displaystyle r> R}[-r,r]{\ displaystyle [-r, r]}r→∞{\ displaystyle r \ to \ infty}f{\ displaystyle f}

limr→∞∫γf(z) dz=2euπ∑ℑ(zj)>0Res(f,zj).{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ {j})> 0} \ mathrm {Res} (f, z_ {j}).}

Ao quebrar o contorno em suas duas partes principais, também temos:

limr→∞=∫-∞+∞f(x) dx+limr→∞∫0πf(reeut)eureeut dt.{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x + \ lim _ {r \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {\ pi} f \ left (re ^ {it} \ right) ire ^ {it} ~ \ mathrm {d} t.}

No entanto, usando o lema de estimativa , temos:

limr→∞|∫0πf(reeut)eureeut dt|≤limr→∞(πr⋅max|z|=r|f(reeut)|)≤limr→∞(πrMrα)=0{\ displaystyle \ lim _ {r \ to \ infty} \ left | \ int _ {0} ^ {\ pi} f \ left (re ^ {it} \ right) ire ^ {it} ~ \ mathrm {d} t \ right | \ leq \ lim _ {r \ to \ infty} \ left (\ pi r \ cdot \ max _ {| z | = r} | f \ left (re ^ {it} \ right) | \ right ) \ leq \ lim _ {r \ to \ infty} \ left ({\ pi rM \ over r ^ {\ alpha}} \ right) = 0}

onde no último limite usamos o fato de que . Ao retomar os relacionamentos anteriores, encontramos a identidade original. α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}

Exemplo

Problema  : calcule o seguinte integral pelo método residual  :

eu=∫-∞+∞dxx2+Para2,(Para>0).{\ displaystyle I = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x ^ {2} + a ^ {2}} \ ,, \, \, (a> 0).}

Solução  : esta função tem uma antiderivada real (a função (arctan (x / a)) / a) e a solução imediata é . eu=πPara{\ displaystyle I = {\ pi \ over a}}

Desenvolvimento  : a função admite dois pólos simples . Apenas um desses dois pólos está incluído no plano superior, então temos: p1,2=±euPara{\ displaystyle p_ {1,2} = \ pm ia}

eu=2euπ⋅Res(f,euPara){\ displaystyle I = 2i \ pi \ cdot \ mathrm {Res} (f, ia)}

com

Res(f,euPara)=limz→euParaz-euParaz2+Para2=12euPara.{\ displaystyle \ mathrm {Res} (f, ia) = \ lim _ {z \ to ia} {z-ia \ over z ^ {2} + a ^ {2}} = {1 \ over 2ia}.}

Portanto, verificamos isso conforme o esperado. eu=πPara{\ displaystyle I = {\ pi \ over a}}

Terceiro tipo

Seja o cálculo do seguinte integral real:

eu=∫-∞+∞f(x)eeuParax dx{\ displaystyle I = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \ mathrm {e} ^ {iax} ~ \ mathrm {d} x}

com compreendendo um conjunto de pontos singulares isolados puramente complexos. Se existe tal que para qualquer complexo de módulo maior ou igual a , então: f{\ displaystyle f}M,R>0{\ displaystyle M, R> 0}|f(z)|≤M|z|{\ displaystyle | f (z) | \ leq {\ frac {M} {| z |}}}z{\ displaystyle z}R{\ displaystyle R}

(seuPara>0),eu=2euπ∑ℑ(zj)>0Res(f(z)eeuParaz,zj){\ displaystyle (\ mathrm {si} \, \, a> 0), \ quad I = 2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ {j})> 0} \ mathrm {Res} \ left (f ( z) \ mathrm {e} ^ {iaz}, z_ {j} \ right)}

e

(seuPara<0),eu=-2euπ∑ℑ(zj)<0Res(f(z)eeuParaz,zj).{\ displaystyle (\ mathrm {si} \, \, a <0), \ quad I = -2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ {j}) <0} \ mathrm {Res} \ left (f (z) \ mathrm {e} ^ {iaz}, z_ {j} \ right).} Demonstração

Suponhamos isso e consideremos o contorno ilustrado na figura 2. O outro caso ( ) é idêntico (tomamos o contorno no semiplano inferior). Vamos supor que este contorno vai desde a e de 0 a . Suponhamos também que , tendendo para o infinito, o contorno irá enquadrar todas as singularidades do semiplano superior com um índice +1. O teorema do resíduo nos dá: Para>0{\ displaystyle a> 0}γ{\ displaystyle \ gamma}Para<0{\ displaystyle a <0}-x1{\ displaystyle -x_ {1}}x2{\ displaystyle x_ {2}}euy1{\ displaystyle iy_ {1}}x1,x2,y1≥R{\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, y_ {1} \ geq R}R{\ displaystyle R}

limR→∞∫γf(z) dz=2πeu∑ℑ(zj)>0Res(f(z)eeuParaz,zj).{\ displaystyle \ lim _ {R \ to \ infty} \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2 \ pi i \ sum _ {\ Im (z_ {j})> 0 } \ mathrm {Res} \ left (f (z) \ mathrm {e} ^ {iaz}, z_ {j} \ right).}

Dividindo a integral em suas quatro partes principais, que serão notadas com a integral ao longo do segmento , ao longo do segmento e simétricas a . representa (em última análise) a integral real que queremos calcular. eueu{\ displaystyle I_ {i}}eu1{\ displaystyle I_ {1}}x2+euy{\ displaystyle x_ {2} + iy}eu2{\ displaystyle I_ {2}}x+euy1{\ displaystyle x + iy_ {1}}eu3{\ displaystyle I_ {3}}eu1{\ displaystyle I_ {1}}eu4{\ displaystyle I_ {4}}

Mostramos que, em última análise, a integral ao longo dos três segmentos da função é zero, o que encerra a prova. eu1,eu2,eu3{\ displaystyle I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}}

Podemos, de fato, aumentar as diferentes partes da seguinte forma:

|eu1|≤∫0y1|f(x2+euy)|e-Paray dy.{\ displaystyle | I_ {1} | \ leq \ int _ {0} ^ {y_ {1}} | f (x_ {2} + iy) | \ mathrm {e} ^ {- ay} ~ \ mathrm {d } y.}

Usando a hipótese, no entanto, temos:

|f(x2+euy)|≤M|x2+euy|≤Mx2.{\ displaystyle | f (x_ {2} + iy) | \ leq {M \ over | x_ {2} + iy |} \ leq {M \ over x_ {2}}.}

Como resultado,

|eu1|≤Mx2∫0y1e-Paray dy=MParax2(1-e-Paray1)≤MParax2.{\ displaystyle | I_ {1} | \ leq {M \ over x_ {2}} \ int _ {0} ^ {y_ {1}} \ mathrm {e} ^ {- ay} ~ \ mathrm {d} y = {M \ over ax_ {2}} (1- \ mathrm {e} ^ {- ay_ ​​{1}}) \ leq {M \ over ax_ {2}}.}

O limite quando dessa integral é zero, pois e . O argumento desenvolvido acima é o mesmo para . R→∞{\ displaystyle R \ to \ infty}Para>0{\ displaystyle a> 0}x2≥R{\ displaystyle x_ {2} \ geq R}eu3{\ displaystyle I_ {3}}

Resta que não é muito diferente: eu2{\ displaystyle I_ {2}}

|eu2|≤∫-x1x2|f(x+euy1)|e-Paray1 dx≤My1e-Paray1.{\ displaystyle | I_ {2} | \ leq \ int _ {- x_ {1}} ^ {x_ {2}} | f (x + iy_ {1}) | \ mathrm {e} ^ {- ay_ {1}} ~ \ mathrm {d} x \ leq {M \ over y_ {1}} \ mathrm {e} ^ {- ay_ ​​{1}}.}

O limite quando é zero desde então . R→∞{\ displaystyle R \ to \ infty}y1≥R{\ displaystyle y_ {1} \ geq R}

Isso conclui a demonstração.

Exemplo

Problema  : calcule o seguinte integral:

eu=∫-∞+∞ebeuxdxPara2+x2(Para,b>0).{\ displaystyle I = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {e} ^ {bix} \ mathrm {d} x \ over a ^ {2} + x ^ {2}} \ quad (a, b> 0).}

Solução  : aplicando o resultado acima, obtemos que:

eu=πParaexp⁡(-Parab).{\ displaystyle I = {\ pi \ over a} \ exp (-ab).}

Nota: a parte real da integral é e esta integral é precisamente válida uma vez que a solução pelo teorema do resíduo é real. ∫-∞+∞cos⁡(bx)Para2+x2 dx{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ cos (bx) \ over a ^ {2} + x ^ {2}} ~ \ mathrm {d} x}eu{\ displaystyle I}

Desenvolvimento  : a função tem apenas um pólo no plano superior, viz . O resíduo neste ponto é: f(z)=(Para2+z2)-1{\ displaystyle f (z) = (a ^ {2} + z ^ {2}) ^ {- 1}}p1=+euPara{\ displaystyle p_ {1} = + ia}

Res(f(z)eeubz,+euPara)=limz→euPara((z-euPara)eeubzPara2+z2)=e-Parab2Paraeu.{\ displaystyle \ mathrm {Res} \ left (f (z) \ mathrm {e} ^ {ibz}, + ia \ right) = \ lim _ {z \ to ia} \ left ((z-ia) {\ mathrm {e} ^ {ibz} \ over a ^ {2} + z ^ {2}} \ right) = {e ^ {- ab} \ over 2ai}.}

Ao aplicar a fórmula, temos, portanto:

eu=2πeu⋅e-Parab2Paraeu=πParaexp⁡(-Parab).{\ displaystyle I = 2 \ pi i \ cdot {e ^ {- ab} \ over 2ai} = {\ pi \ over a} \ exp (-ab).}

Quarto tipo

As integrais do segundo e do terceiro tipo estendem-se a casos com um número finito n de pólos localizados no eixo real. Trata-se então de uma integral imprópria e, então, considera-se o valor principal de Cauchy da integral.

É uma função holomórfica em ℂ exceto um conjunto de pólos real único e singularidades puramente isoladas complexas . Suponha que estejamos em um dos seguintes casos: f{\ displaystyle f}xj{\ displaystyle x_ {j}}zj{\ displaystyle z_ {j}}

• existe e tal que, para qualquer complexo de módulo maior ou igual a ,M,R>0{\ displaystyle M, R> 0}α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}|f(z)|≤M|z|α{\ displaystyle | f (z) | \ leq {M \ over | z | ^ {\ alpha}}}z{\ displaystyle z}R{\ displaystyle R}

Onde

• f(z)=g(z)eeuParaz{\ displaystyle f (z) = g (z) \ mathrm {e} ^ {iaz}}com e existe tal que para qualquer complexo de módulo maior ou igual a .Para>0{\ displaystyle a> 0}M,R>0{\ displaystyle M, R> 0}|g(z)|≤M|z|{\ displaystyle | g (z) | \ leq {M \ over | z |}}z{\ displaystyle z}R{\ displaystyle R}

Então, o valor principal de Cauchy (observado ) da integral existe e um tem: v.p.{\ displaystyle \ mathrm {vp}}

v.p.∫-∞+∞f(x) dx=2πeu∑ℑ(zj)>0Res(f,zj)+πeu∑xjRes(f,xj).{\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x = 2 \ pi i \ sum _ {\ Im (z_ {j}) > 0} \ mathrm {Res} (f, z_ {j}) + \ pi i \ sum _ {x_ {j}} \ mathrm {Res} (f, x_ {j}).}

Nota  : pode-se facilmente estender a fórmula para o semiplano inferior mudando o sinal da primeira soma e considerando apenas as singularidades puramente complexas neste semiplano.

Demonstração

Seja o contorno ilustrado na figura 3, pode-se decompor este contorno em suas partes principais: notemos o semicírculo do raio , o ésimo semicírculo do raio contornando a singularidade real e finalmente , o conjunto de segmentos localizados no eixo real. γR,ε{\ displaystyle \ gamma _ {R, \ varepsilon}}ΓR{\ displaystyle \ Gamma _ {R}}R{\ displaystyle R}γε,j{\ displaystyle \ gamma _ {\ varepsilon, j}}j{\ displaystyle j}ε{\ displaystyle \ varepsilon}xj{\ displaystyle x_ {j}}σR,ε{\ displaystyle \ sigma _ {R, \ varepsilon}}

Em última análise, quando e , temos: R→∞{\ displaystyle R \ to \ infty}ε→0{\ displaystyle \ varepsilon \ a 0}

∫σR,εf(z) dz→v.p.∫-∞+∞f(x) dx{\ displaystyle \ int _ {\ sigma _ {R, \ varepsilon}} f (z) ~ \ mathrm {d} z \ to \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x}

De acordo com o teorema do resíduo, temos, para suficientemente grande e suficientemente pequeno: R>0{\ displaystyle R> 0}ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}

∫γR,εf(z) dz=2euπ∑ℑ(zj)>0Res(f,zj){\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {R, \ varepsilon}} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ {j})> 0} \ mathrm { Res} (f, z_ {j})}

e também temos:

∫σR,εf(z) dz=∫γR,εf(z) dz-∑j=1não∫γε,jf(z) dz-∫ΓRf(z) dz.{\ displaystyle \ int _ {\ sigma _ {R, \ varepsilon}} f (z) ~ \ mathrm {d} z = \ int _ {\ gamma _ {R, \ varepsilon}} f (z) ~ \ mathrm {d} z- \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ int _ {\ gamma _ {\ varejpsilon, j}} f (z) ~ \ mathrm {d} z- \ int _ {\ Gamma _ {R}} f (z) ~ \ mathrm {d} z.}

É mostrado de forma idêntica aos dois tipos anteriores de integrações que, em última instância, a integral along tende a zero nos dois casos considerados. ΓR{\ displaystyle \ Gamma _ {R}}

Portanto, temos que calcular as integrais ao longo dos semicírculos . Nas proximidades de um verdadeiro poste simples , admite-se um desenvolvimento de Laurent sobre um disco sem corte centrado em . Por se tratar de um pólo simples, o único coeficiente diferente de zero da parte singular do desenvolvimento é . γε,j{\ displaystyle \ gamma _ {\ varepsilon, j}}xj{\ displaystyle x_ {j}}f{\ displaystyle f}xj{\ displaystyle x_ {j}}Para-1,j{\ displaystyle a _ {- 1, j}}

Ou seja, neste bairro, podemos escrever:

f(z)=Para-1,jz-xj+hj(z){\ displaystyle f (z) = {a _ {- 1, j} \ over z-x_ {j}} + h_ {j} (z)}

com uma série inteira (portanto, uma função holomórfica). hj{\ displaystyle h_ {j}}

Então nós temos :

∫γε,jf(z) dz=∫γε,jPara-1,jz-xj dz+∫γε,jhj(z) dz.{\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {\ varepsilon, j}} f (z) ~ \ mathrm {d} z = \ int _ {\ gamma _ {\ varepsilon, j}} {a _ {- 1, j} \ over z-x_ {j}} ~ \ mathrm {d} z + \ int _ {\ gamma _ {\ varepsilon, j}} h_ {j} (z) ~ \ mathrm {d} z.}

A segunda integral tende para zero, quando uma vez que é holomórfica. Ao explicar a integral restante, consideramos a seguinte parametrização de semicírculos: ε→0{\ displaystyle \ varepsilon \ a 0}hj{\ displaystyle h_ {j}}

γε,j:[0,π]→VS,γε,j(t)=xj+εeeu(π-t){\ displaystyle \ gamma _ {\ varepsilon, j}: [0, \ pi] \ to \ mathbb {C}, \ gamma _ {\ varepsilon, j} (t) = x_ {j} + \ varepsilon \ mathrm { e} ^ {i (\ pi -t)}}

onde o termo vem do fato de que esses contornos são percorridos na direção anti-trigonométrica, π-t{\ displaystyle \ pi -t}

∫γε,jf(z) dz=Para-1,j∫0π-euεeeu(π-t)εeeu(π-t) dt=-euπPara-1,j.{\ displaystyle \ int _ {\ gamma _ {\ varepsilon, j}} f (z) ~ \ mathrm {d} z = a _ {- 1, j} \ int _ {0} ^ {\ pi} {- i \ varejpsilon \ mathrm {e} ^ {i (\ pi -t)} \ over \ varejpsilon \ mathrm {e} ^ {i (\ pi -t)}} ~ \ mathrm {d} t = -i \ pi a_ {-1, j}.}

O coeficiente é, por definição, o resíduo da função em . Em última análise, quando e , portanto, temos: Para-1,j{\ displaystyle a _ {- 1, j}}xj{\ displaystyle x_ {j}}R→∞{\ displaystyle R \ to \ infty}ε→0{\ displaystyle \ varepsilon \ a 0}

v.p.∫-∞+∞f(x) dx=2euπ∑ℑ(zj)>0Res(f,zj)+euπ∑xjRes(f,xj).{\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) ~ \ mathrm {d} x = 2i \ pi \ sum _ {\ Im (z_ {j})> 0} \ mathrm {Res} (f, z_ {j}) + i \ pi \ sum _ {x_ {j}} \ mathrm {Res} (f, x_ {j}).} Exemplo

Problema  : calcular, para e real com  : Para{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}b>0{\ displaystyle b> 0}

eu∗=v.p.∫-∞+∞eeubxx-Para dx.{\ displaystyle I ^ {*} = \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {e ^ {ibx} \ over xa} ~ \ mathrm {d} x.}

Solução  : aplicando o resultado acima, obtemos que:

eu∗=euπcos⁡(Parab)-πpecado⁡(Parab). {\ displaystyle I ^ {*} = i \ pi \ cos (ab) - \ pi \ sin (ab). ~}

Nota: considerando respectivamente a parte real e imaginária da integral, obtemos:

v.p.∫-∞+∞cos⁡(bx)x-Para dx=-πpecado⁡(Parab){\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ cos (bx) \ over xa} ~ \ mathrm {d} x = - \ pi \ sin (ab)} v.p.∫-∞+∞pecado⁡(bx)x-Para dx=πcos⁡(Parab){\ displaystyle \ mathrm {vp} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ sin (bx) \ over xa} ~ \ mathrm {d} x = \ pi \ cos (ab)}

e no caso particular e , a segunda integral é a integral da função seno cardinal (primeira definição) e vale a pena . Além disso, não se trata de uma integral imprópria, uma vez que a função sinc é definida em todos os lugares. Para=0{\ displaystyle a = 0}b=1{\ displaystyle b = 1}π{\ displaystyle \ pi}

Desenvolvimento  : a função tem um pólo simples real e o resíduo neste ponto é: x1=Para{\ displaystyle x_ {1} = a}

Res(f,Para)=eeuParab=cos⁡(Parab)+eupecado⁡(Parab). {\ displaystyle \ mathrm {Res} (f, a) = \ mathrm {e} ^ {iab} = \ cos (ab) + i \ sin (ab). ~}

Ao aplicar a fórmula, temos, portanto:

eu∗=euπcos⁡(Parab)-πpecado⁡(Parab). {\ displaystyle I ^ {*} = i \ pi \ cos (ab) - \ pi \ sin (ab). ~}

Aplicação a cálculos de somas

O teorema do resíduo também nos permite calcular certas somas infinitas. Seja uma função tendo para cada inteiro um resíduo igual ao i - ésimo termo geral de uma soma infinita , bem como um conjunto de resíduos correspondendo a outros pontos. Suponha que a integral dessa função ao longo de um loop retificável infinitamente grande seja zero. Temos então pelo teorema do resíduo: g{\ displaystyle g}não{\ displaystyle n}não{\ displaystyle n}S{\ displaystyle S}E{\ displaystyle E}γ{\ displaystyle \ gamma}

∫γg(z) dz=2euπ[S+∑zk∈ERes(g;zk)]=0{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} g (z) ~ \ mathrm {d} z = 2i \ pi \ left [S + \ sum _ {z_ {k} \ in E} \ mathrm {Res} (g; z_ {k}) \ right] = 0.}

Portanto, podemos expressar a soma infinita por outra (geralmente finita) soma de resíduos:

S=-∑zk∈ERes(g;zk).{\ displaystyle S = - \ sum _ {z_ {k} \ in E} \ mathrm {Res} (g; z_ {k}).}

As declarações abaixo fornecem exemplos mais gerais de casos em que este método é aplicável:

• somas do "primeiro tipo"  :;∑f(não){\ displaystyle \ sum f (n)}
• os valores do "segundo tipo" .∑(-1)nãof(não){\ displaystyle \ sum (-1) ^ {n} f (n)}

Primeiro tipo

Seja o cálculo da seguinte soma:

S=∑-∞,não∉E∞f(não){\ displaystyle S = \ sum _ {- \ infty, n \ notin E} ^ {\ infty} f (n)}

com ter um conjunto de singularidades isoladas. Suponha que a seguinte condição seja atendida: f{\ displaystyle f}E{\ displaystyle E}

ele existe e tal que para qualquer complexo de módulo maior ou igual a .M,R>0{\ displaystyle M, R> 0}α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}|f(z)|≤M|z|α{\ displaystyle | f (z) | \ leq {M \ over | z | ^ {\ alpha}}}z{\ displaystyle z}R{\ displaystyle R}

Então nós temos:

∑-∞,não∉E∞|f(não)|<+∞{\ displaystyle \ sum _ {- \ infty, n \ notin E} ^ {\ infty} | f (n) | <+ \ infty}

e

∑-∞,não∉E∞f(não)=-∑zk∈ERes(f(z)πcusto⁡(πz);zk).{\ displaystyle \ sum _ {- \ infty, n \ notin E} ^ {\ infty} f (n) = - \ sum _ {z_ {k} \ in E} \ mathrm {Res} \ left (f (z ) \ pi \ cot (\ pi z); z_ {k} \ right).} Demonstração

• Nós temos

∑não≥R,não∉E|f(não)|≤M∑não≥R,não∉E1|z|α.{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq R, n \ notin E} | f (n) | \ leq M \ sum _ {n \ geq R, n \ notin E} {1 \ over | z | ^ {\ alfa}}.}

Usando o teste integral de convergência, observa-se que essa soma converge. Usamos o mesmo argumento para mostrar que a soma converge. Como evitamos o conjunto de singularidades de na soma, temos que ∑não≤-R,não∉E|f(não)|{\ displaystyle \ sum _ {n \ leq -R, n \ notin E} | f (n) |}E{\ displaystyle E}f{\ displaystyle f}

∑não≥-R,não∉Enão≤R|f(não)|<+∞{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq -R, n \ notin E} ^ {n \ leq R} | f (n) | <+ \ infty} (soma finita de termos limitados) e, portanto, finalmente: ∑-∞,não∉E∞|f(não)|<+∞.{\ displaystyle \ sum _ {- \ infty, n \ notin E} ^ {\ infty} | f (n) | <+ \ infty.}

• Devemos encontrar uma função cujos resíduos são . Suponha que , então, a função deva ter um polo simples com resíduo 1 para cada inteiro. Uma função com esta propriedade é dada por:g{\ displaystyle g}{f(não),não∈Z}{\ displaystyle \ left \ {f (n), n \ in \ mathbb {Z} \ right \}}g(z)=f(z)φ(z){\ displaystyle g (z) = f (z) \ varphi (z)}φ{\ displaystyle \ varphi}

φ(z)=πcos⁡(πz)pecado⁡(πz)=πcusto⁡(πz).{\ displaystyle \ varphi (z) = \ pi {\ cos (\ pi z) \ over \ sin (\ pi z)} = \ pi \ cot (\ pi z).}

Na verdade, admite um único zero para cada número inteiro e pecado⁡(πz){\ displaystyle \ sin (\ pi z)}z{\ displaystyle z}

Res(πcos⁡(πz)pecado⁡(πz);não)=πcos⁡(πnão)πpecado′⁡(πnão)=cos⁡(πnão)cos⁡(πnão)=1{\ displaystyle \ mathrm {Res} \ left (\ pi {\ cos (\ pi z) \ over \ sin (\ pi z)}; n \ right) = {\ pi \ cos (\ pi n) \ over \ pi \ sin '(\ pi n)} = {\ cos (\ pi n) \ over \ cos (\ pi n)} = 1}

onde a fórmula do resíduo foi usada para uma fração com um único zero no denominador.

Tomemos para contorno o círculo centrado na origem e de raio com e o incremento de uma metade mostrando que se evita os pólos localizados em . R=NÃO+0,5{\ displaystyle R = N + 0,5}NÃO∈NÃO{\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}±NÃO{\ displaystyle \ pm N}

Em última análise, o teorema do resíduo fornece:

limNÃO→∞∫VS(0,R)f(z)πcusto⁡(πz) dz=2πeulimNÃO→∞[∑-NÃO,não∉ENÃOf(não)+∑zk∈ERes(f(z)πcusto⁡(πz);zk)].{\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} \ int _ {C (0, R)} f (z) \ pi \ cot (\ pi z) ~ \ mathrm {d} z = 2 \ pi i \ lim _ {N \ to \ infty} \ left [\ sum _ {- N, n \ notin E} ^ {N} f (n) + \ sum _ {z_ {k} \ in E} \ mathrm {Res} \ left (f (z) \ pi \ cot (\ pi z); z_ {k} \ right) \ right].}

Agora temos que mostrar que esse limite é zero para obter o resultado desejado. Usando o lema de estimativa , temos:

A=limNÃO→∞|∫VS(0,R)f(z)πcusto⁡(πz) dz|≤limNÃO→∞(2πR⋅max|z|=R|πf(Reeut)custo⁡(πReeut)|).{\ displaystyle L = \ lim _ {N \ to \ infty} \ left | \ int _ {C (0, R)} f (z) \ pi \ cot (\ pi z) ~ \ mathrm {d} z \ direita | \ leq \ lim _ {N \ a \ infty} \ left (2 \ pi R \ cdot \ max _ {| z | = R} \ left | \ pi f (R \ mathrm {e} ^ {it} ) \ cot ({\ pi R \ mathrm {e} ^ {it}}) \ right | \ right).}

O módulo da função é limitado por uma certa constante no contorno, uma vez que os inteiros do eixo real são evitados pela escolha do contorno, o lado direito da desigualdade acima é, portanto, limitado por custo{\ displaystyle \ cot}K>0{\ displaystyle K> 0}

A≤limNÃO→∞2πRMKRα=0{\ displaystyle L \ leq \ lim _ {N \ to \ infty} {2 \ pi RMK \ over R ^ {\ alpha}} = 0}

onde usamos o fato de que . Como o limite é de fato zero, o resultado é demonstrado. α>1{\ displaystyle \ alpha> 1}

Exemplo

Problema  : calcule a seguinte soma:

S=∑-∞∞1não2+Para2{\ displaystyle S = \ sum _ {- \ infty} ^ {\ infty} {1 \ over n ^ {2} + a ^ {2}}}para real diferente de zero.Para{\ displaystyle a}

Solução  : aplicando o resultado acima, obtemos que:

S=πcoth⁡(πPara)Para.{\ displaystyle S = {\ pi \ coth (\ pi a) \ over a}.}

Desenvolvimento  : a função cumpre claramente as condições e tem dois pólos simples , por isso temos: ±Paraeu{\ displaystyle \ pm ai}

S=-(Res(πcusto⁡(πz)z2+Para2;+Paraeu)+Res(πcusto⁡(πz)z2+Para2;-Paraeu)).{\ displaystyle S = - \ left (\ mathrm {Res} \ left ({\ pi \ cot (\ pi z) \ over z ^ {2} + a ^ {2}}; + ai \ right) + \ mathrm {Res} \ left ({\ pi \ cot (\ pi z) \ over z ^ {2} + a ^ {2}}; - ai \ right) \ right).}

Os resíduos são facilmente calculados, pois são pólos simples e temos:

Res(πcusto⁡(πz)z2+Para2;±Paraeu)=limz→±Paraeu((z∓Paraeu)⋅πcusto⁡(πz)z2+Para2)=πcos⁡(Paraπeu)2Paraeupecado⁡(Paraπeu).{\ displaystyle \ mathrm {Res} \ left ({\ pi \ cot (\ pi z) \ over z ^ {2} + a ^ {2}}; \ pm ai \ right) = \ lim _ {z \ to \ pm ai} \ left ((z \ mp ai) \ cdot {\ pi \ cot (\ pi z) \ over z ^ {2} + a ^ {2}} \ right) = {\ pi \ cos (a \ pi i) \ over 2ai \ sin (a \ pi i)}.}

Então nós temos

S=-πcos⁡(Paraπeu)Paraeupecado⁡(Paraπeu)=-πParaeu⋅eeu(Paraeuπ)+eeu(-Paraeuπ)2⋅2eueeu(Paraeuπ)-eeu(-Paraeuπ)=πPara⋅e-Paraπ+eParaπeParaπ-e-Paraπ{\ displaystyle S = - {\ pi \ cos (a \ pi i) \ over ai \ sin (a \ pi i)} = - {\ pi \ over ai} \ cdot {\ mathrm {e} ^ {i ( ai \ pi)} + \ mathrm {e} ^ {i (-ai \ pi)} \ over 2} \ cdot {2i \ over \ mathrm {e} ^ {i (ai \ pi)} - \ mathrm {e } ^ {i (-ai \ pi)}} = {\ pi \ over a} \ cdot {e ^ {- a \ pi} + e ^ {a \ pi} \ over e ^ {a \ pi} -e ^ {- a \ pi}}}

e finalmente

S=πcoth⁡(Paraπ)Para{\ displaystyle S = {\ pi \ coth (a \ pi) \ over a}}

onde usamos a fórmula de Euler para ir de funções trigonométricas a exponenciais complexas, bem como a definição da função cotangente hiperbólica .

Nota  : por simetria, temos que:

∑-∞-11não2+Para2=∑1∞1não2+Para2=12(πcoth⁡(Paraπ)Para-1Para2){\ displaystyle \ sum _ {- \ infty} ^ {- 1} {1 \ over n ^ {2} + a ^ {2}} = \ sum _ {1} ^ {\ infty} {1 \ over n ^ {2} + a ^ {2}} = {1 \ over 2} \ left ({\ pi \ coth (a \ pi) \ over a} - {1 \ over a ^ {2}} \ right)}

ou seja, metade da soma calculada anteriormente menos o prazo para . Passando para o limite quando uma se aproxima de 0, e utilizando o desenvolvimento limitado , não é o resultado de Euler  : . não=0{\ displaystyle n = 0} coth⁡x=1x(1+x23)+o(x){\ displaystyle \ coth x = {\ frac {1} {x}} \ left (1 + {\ frac {x ^ {2}} {3}} \ right) + o (x)}ζ(2)=∑não=1+∞1não2=π26{\ displaystyle \ zeta (2) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} { 6}}}

Outro método de cálculo dessas somas pode ser encontrado no artigo Função Digamma .

Segundo tipo

Seja o cálculo da seguinte soma:

S=∑-∞,não∉E∞(-1)nãof(não){\ displaystyle S = \ sum _ {- \ infty, n \ notin E} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} f (n)}

com ter um conjunto de singularidades isoladas. Suponha que satisfaça a mesma condição das somas do primeiro tipo, a saber: f{\ displaystyle f}E{\ displaystyle E}f{\ displaystyle f}

existe tal como para qualquer complexo de módulo maior ou igual a .M,R>0,α>1{\ displaystyle M, R> 0, \ alpha> 1}|f(z)|≤M|z|α{\ displaystyle | f (z) | \ leq {M \ over | z | ^ {\ alpha}}}z{\ displaystyle z}R{\ displaystyle R}

Portanto, a soma converge absolutamente e temos:

∑∞,não∉E∞(-1)nãof(não)=-∑zk∈ERes(f(z)πcsc⁡(πz);zk).{\ displaystyle \ sum _ {\ infty, n \ notin E} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} f (n) = - \ sum _ {z_ {k} \ in E} \ mathrm {Res } \ left (f (z) \ pi \ csc (\ pi z); z_ {k} \ right).} Demonstração

A prova é idêntica à do primeiro tipo, basta mostrar que a função tem para resíduos . πcsc⁡(πz){\ displaystyle \ pi \ csc (\ pi z)}{(-1)não;não∈Z}{\ displaystyle \ left \ {(- 1) ^ {n}; n \ in \ mathbb {Z} \ right \}}

Temos com um único pólo em cada ponto inteiro. csc⁡(πz)=1pecado⁡(πz){\ displaystyle \ csc (\ pi z) = {1 \ over \ sin (\ pi z)}}

O resíduo de uma fração com um único zero no denominador é dado por:

Res(πpecado⁡(πz);não)=πpecado′⁡(nãoπ)=ππcos⁡(nãoπ)=(-1)não{\ displaystyle \ mathrm {Res} \ left ({{\ pi \ over \ sin (\ pi z)}; n} \ right) = {\ pi \ over \ sin '(n \ pi)} = {\ pi \ over \ pi \ cos (n \ pi)} = (- 1) ^ {n}}

que conclui a demonstração.

Exemplo

Problema  : calcule a seguinte soma:

S=∑não=1∞(-1)nãopecado⁡(nãoθ)não3,(-π≤θ≤π).{\ displaystyle S = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {n} \ sin (n \ theta) \ sobre n ^ {3}}, \ quad (- \ pi \ leq \ theta \ leq \ pi).}

Solução  : usando o resultado acima, temos:

S=θ(θ2-π2)12.{\ displaystyle S = {\ theta (\ theta ^ {2} - \ pi ^ {2}) \ over 12}.}

Desenvolvimento  : a função cumpre claramente as condições e tem um pólo triplo na origem. A maneira mais fácil de obter o resíduo é usar uma expansão em série em torno da origem:

1z3⋅pecado⁡(zθ)⋅πpecado⁡(πz)=1z3⋅(zθ-z3θ36+...)⋅(1z+π2z6+...).{\ displaystyle {1 \ over z ^ {3}} \ cdot \ sin (z \ theta) \ cdot {\ pi \ over \ sin (\ pi z)} = {1 \ over z ^ {3}} \ cdot \ left (z \ theta - {z ^ {3} \ theta ^ {3} \ over 6} + \ dots \ right) \ cdot \ left ({1 \ over z} + {\ pi ^ {2} z \ mais de 6} + \ dots \ right).}

O resíduo é, por definição, o coeficiente do termo em do desenvolvimento acima, ou seja: z-1{\ displaystyle z ^ {- 1}}

Res(pecado⁡(zθ)πz3pecado⁡(πz);0)=π2θ6-θ36=θ6(π2-θ2).{\ displaystyle \ mathrm {Res} \ left ({\ sin (z \ theta) \ pi \ over z ^ {3} \ sin (\ pi z)}; 0 \ right) = {\ pi ^ {2} \ theta \ over 6} - {\ theta ^ {3} \ over 6} = {\ theta \ over 6} (\ pi ^ {2} - \ theta ^ {2}).}

Então nós temos :

∑-∞,não≠0∞(-1)nãopecado⁡(nãoθ)não3=θ6(θ2-π2)=2S{\ displaystyle \ sum _ {- \ infty, n \ neq 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ sin (n \ theta) \ over n ^ {3}} = {\ theta \ acima de 6} (\ theta ^ {2} - \ pi ^ {2}) = 2S}

onde a última igualdade é obtida considerando a simetria da soma.

Portanto, temos:

S=θ(θ2-π2)12.{\ displaystyle S = {\ theta (\ theta ^ {2} - \ pi ^ {2}) \ over 12}.}

Veja também

• Função multivalorada
• Princípio do argumento
• Lema de Jordan
• Lema de estimativa
• Métodos de cálculo de integrais de contorno
• Contour Hankel  (en)

Notas e referências

1. Henri Cartan , teoria elementar das funções analíticas de uma ou mais variáveis ​​complexas [ detalhe da edição ], p. 93

• Murray R. Spiegel  (en) , Complex Variables , Schaum ( ISBN  2-7042-0020-3 )
• (em) Serge Lang , análise complexa , 4 th ed., Springer, 1999 ( ISBN  0-387-98592-1 )
• (em) Joseph Bak e Donald J. Newman  (em) , análise complexa , 2 th ed., Springer, 1997 ( ISBN  0-387-94756-6 )
• Ernst Lindelöf , O Cálculo dos Resíduos e suas Aplicações à Teoria da Função , Gauthier-Villars, Paris, 1905

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