Teorema integral de Cauchy

Na análise complexa , o teorema integral de Cauchy , ou de Cauchy - Goursat , é um resultado importante sobre as integrais curvilíneas de funções holomórficas no plano complexo . De acordo com esse teorema, se dois caminhos diferentes conectam os mesmos dois pontos e se uma função é holomórfica “entre” os dois caminhos, então as duas integrais dessa função ao longo desses caminhos são iguais.

Estados

O teorema é geralmente formulado para ziguezagues (ou seja, caminhos cujo ponto inicial coincide com o ponto final) da seguinte maneira.

Estão:

U um aberto simplesmente conectado de ℂ;
$f$ : U → ℂ uma função contínua em U e tendo uma derivada complexa exceto possivelmente em um número finito de pontos;
$γ$ uma guinada sanável em U .

Então :

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 0}

Condição de conectividade simples

A condição de que U está simplesmente conectado significa que U não tem "buraco"; por exemplo, qualquer disco aberto satisfaz essa condição. $U = \ {z, \ mid z-z_ {0} \ mid <r \} \,$

A condição é crucial; por exemplo, se $γ$ é o círculo unitário, então a integral neste laço da função $f ( z ) = 1 / z$ não é zero; O teorema da integral de Cauchy não se aplica aqui, pois $f$ não é extensível por continuidade em 0.

Demonstração

Por argumentos de continuidade uniforme de $f$ em ε-vizinhanças compactas da imagem de $γ$ em U , a integral de $f$ em $γ$ é o limite das integrais de $f$ em loops poligonais. Para concluir, basta invocar o lema de Goursat .

Também podemos, no caso em que $f$ é holomórfico em qualquer ponto de $U$ , considerar a família de loops com . $\ gamma _ {{\ alpha}} (t) = z_ {0} + (1- \ alpha) (\ gamma (t) -z_ {0})$ $\ alpha \ in [0,1]$

Consequências

De acordo com as hipóteses do teorema, $f$ tem em L um primitivo complexo $F$ . De fato, mesmo que isso signifique substituir U por um de seus componentes conectados , podemos supor que U está conectado. Fixando então um ponto arbitrário $z 0$ de U e definindo ${\ displaystyle F (z) = \ int _ {P (z)} f (\ xi) ~ \ mathrm {d} \ xi}$ ,onde $P ( z )$ é qualquer caminho retificável em U de $z 0$ a $z$ (de acordo com o teorema, o valor de $F ( z )$ não depende da escolha de $P ( z )$ ) e pela adaptação à variável a prova de o primeiro teorema fundamental de análise é complexo , deduzimos então que F é holomórfico em U e que $F '= f$ .
Para tal antiderivada, temos imediatamente: para qualquer caminho continuamente diferenciável por partes $γ$ de $a$ até $b$ em U : ${\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) \ mathrm {d} z = F (b) -F (a)}$ .
As poucas suposições exigidas em $f$ são muito interessantes, porque podemos então provar a fórmula integral de Cauchy para essas funções e deduzir que elas são de fato indefinidamente diferenciáveis.
O teorema da integral de Cauchy é consideravelmente generalizado pelo teorema do resíduo .
O teorema integral de Cauchy é válido em uma forma ligeiramente mais forte do que a dada acima. Suponha que U seja um conjunto aberto simplesmente conectado de ℂ cuja borda é um laço retificável simples $γ$ . Se $f$ é uma função holomórfica em U e contínua na adesão de U , então a integral de $f$ em $γ$ é zero.

Exemplo

Para qualquer $α$ complexo , a função , onde escolhemos a determinação principal da função potência , é holomórfica no plano complexo privado da meia-linha . Sua integral em qualquer guinada deste domínio é, portanto, zero. Isso torna possível mostrar que os integrais semi-convergentes ${\ displaystyle f (z): = {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {\ mathrm {i} z}} {z ^ {\ alpha}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {-}}$

{\ displaystyle J_ {c} (\ alpha): = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos t} {t ^ {\ alpha}}} \, \ mathrm {d} t \ quad {\ text {et}} \ quad J_ {s} (\ alpha): = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin t} {t ^ {\ alpha}}} \, \ mathrm {d} t \ quad {\ text {pour}} \ quad \ mathrm {Re} (\ alpha) \ in \ left] 0.1 \ right [}

(onde $Re$ denota a parte real ) são respectivamente iguais a

{\ displaystyle J_ {c} (\ alpha) = \ cos \ left ((1- \ alpha) {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \ Gamma (1- \ alpha) \ quad {\ text {et}} \ quad J_ {s} (\ alpha) = \ sin \ left ((1- \ alpha) {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \ Gamma (1- \ alpha)}

onde $Γ$ denota a função gama e $cos, sen$ são respectivamente as funções cosseno e seno da variável complexa .

Detalhes de cálculo

Denote por $α = a + i b$ com $a \in] 0, 1 [$ e . Integramos $f$ (a integral é zero) no laço formado pelo segmento real $[ε,$ $R$ $]$ e o segmento imaginário puro $i [$ $R$ $, ε]$ , unidos pelos quartos de círculo $R$ $e$ $[0, i π / 2]$ e $εe$ $[$ $iπ$ $/ 2, 0]$ , então fazemos $R$ tender para $+ \infty$ e $ε$ para $0$ $+$ . ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R}}$

As integrais nos dois quartos de círculo tendem a $0$ porque

{\ displaystyle \ left | \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {\ mathrm {i} R \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta}}} {R ^ {\ alpha} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ alpha \ theta}}} \ mathrm {i} R \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta} \, \ mathrm {d} \ theta \ right | \ leq R ^ {1-a} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ mathrm {e}} ^ {- R \ sin \ theta} \, \ mathrm {d} \ theta \ leq R ^ {1-a} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ mathrm {e}} ^ {- 2R \ theta / \ pi} \, \ mathrm {d} \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} R ^ {- a} (1- \ mathrm {e} ^ {- R})}

{\ displaystyle \ lim _ {R \ to + \ infty} R ^ {- a} (1- \ mathrm {e} ^ {- R}) = \ lim _ {\ varejpsilon \ to 0 ^ {+}} \ varejpsilon ^ {- a} (1- \ mathrm {e} ^ {- \ varejpsilon}) = 0}

A integral sobre o segmento imaginário é igual a

{\ displaystyle \ int _ {R} ^ {\ varepsilon} {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {- y}} {y ^ {\ alpha} \ mathrm {e} ^ {\ alpha \ mathrm { i} \ pi / 2}}} \ mathrm {i} \, \ mathrm {d} y = - \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ int _ {\ varepsilon} ^ {R} y ^ {- \ alpha} \ mathrm {e} ^ {- y} \, \ mathrm {d} y \ to - \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha)}

A integral sobre o segmento real tende a , que, portanto, é igual a . ${\ displaystyle J_ {c} (\ alpha) + \ mathrm {i} J_ {s} (\ alpha)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha)}$

Da mesma forma (substituindo $b$ por $- b$ ), portanto (tomando os conjugados dos dois membros) . ${\ displaystyle J_ {c} ({\ overline {\ alpha}}) + \ mathrm {i} J_ {s} ({\ overline {\ alpha}}) = \ mathrm {e} ^ {(1 - {\ overline {\ alpha}}) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1 - {\ overline {\ alpha}})}$ ${\ displaystyle J_ {c} (\ alpha) - \ mathrm {i} J_ {s} (\ alpha) = \ mathrm {e} ^ {- (1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha)}$

Então nós temos

{\ displaystyle 2J_ {c} (\ alpha) = \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha) + \ mathrm {e} ^ {- (1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha) = 2 \ cos ((1- \ alpha) \ pi / 2) \ Gamma (1- \ alpha) }

{\ displaystyle 2 \ mathrm {i} J_ {s} (\ alpha) = \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha) - \ mathrm {e} ^ {- (1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gamma (1- \ alpha) = 2 \ mathrm {i} \ sin ((1- \ alpha) \ pi / 2) \ Gamma (1- \ alpha)}

Por exemplo, (a integral de Fresnel ). Também podemos notar que (a integral de Dirichlet ). ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} J_ {c} (1/2) = {\ frac {1} {2}} J_ {s} (1/2) = {\ frac {1} { 2}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ mathrm {Re} (\ alpha) <1, \ alpha \ to 1} J_ {s} (\ alpha) = {\ frac {\ pi} {2}} = \ int _ { 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin t} {t}} \, \ mathrm {d} t}$

Superfícies de Riemann

O teorema integral de Cauchy é generalizado dentro da estrutura da geometria das superfícies de Riemann .

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Teorema integral de Cauchy's " ( ver a lista dos autores ) .

(em) Liang-shin Hahn e Bernard Epstein , Análise Complexa Clássica , Jones & Bartlett,1996, 411 p. ( ISBN 978-0-86720-494-0 , leitura online ) , p. 111.
(em) I-Hsiung Lin Classical Complex Analysis: A Geometric Approach , Vol. 1, World Scientific,2011( leia online ) , p. 396 e 420.

Veja também

Bibliografia

Walter Rudin , Real and complex analysis [ detalhe das edições ]
Henri Cartan , teoria elementar das funções analíticas de uma ou mais variáveis complexas [ detalhe da edição ]
(pt) Kunihiko Kodaira ( tradução do japonês), Complex Analysis , Cambridge, CUP , col. “Cambridge Stud. Adv. Matemática. "( N O 107),2007, 406 p. ( ISBN 978-0-521-80937-5 )