Integral de Dirichlet
A integral de Dirichlet é a integral da função seno cardinal na meia-linha de reais positivos
∫0+∞pecadoxxdx=π2{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, {\ textrm {d}} x = {\ frac {\ pi} {2}}}![{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, {\ textrm {d}} x = {\ frac {\ pi} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd91227452639bd727508b89e94b1ff3db7d6d1f)
.
Trata-se de uma integral imprópria semi-convergente, ou seja, a função não é integrável no sentido generalizado de Riemann , mas existe e é finita.
limno→+∞∫0nopecadoxx dx{\ displaystyle \ lim _ {a \ to + \ infty} \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {\ sin x} {x}} ~ {\ rm {d}} x}![{\ displaystyle \ lim _ {a \ to + \ infty} \ int _ {0} ^ {a} {\ frac {\ sin x} {x}} ~ {\ rm {d}} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c496b54504618db5ffdc9e0767ffb21d6c398a)
Estudo de convergência
Nós consideramos a função
f:R+∗→Rx↦pecadoxx.{\ displaystyle {\ begin {matrix} f \ dois pontos & \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} & \ rightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & {\ frac {\ sin x } {x}}. \ end {matriz}}}
Em 0, seu limite direito é igual a 1, então f é extensível em um mapa contínuo em [0, + ∞ [ , de modo que é integrável em [0, a ] para todo a > 0 .
Mas não é integrável em + ∞ , ou seja,
limno→+∞∫0no|f(x)| dx=+∞{\ displaystyle \ lim _ {a \ to + \ infty} \ int _ {0} ^ {a} | f (x) | ~ {\ rm {d}} x = + \ infty}![{\ displaystyle \ lim _ {a \ to + \ infty} \ int _ {0} ^ {a} | f (x) | ~ {\ rm {d}} x = + \ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06ae7b0af259b6494e2719993c255c5de3be83c8)
.
Contudo,
limno→+∞∫0nof(x) dxexeuste :{\ displaystyle \ lim _ {a \ to + \ infty} \ int _ {0} ^ {a} f (x) ~ {\ rm {d}} x \ quad {\ rm {existe ~:}}}
-
Dirichlet , em seu artigo histórico de 1829 sobre as séries de Fourier , menciona de passagem uma prova baseada no critério de convergência das séries alternadas :
“Sabemos que tem um valor finito igual a π / 2 . Essa integral pode ser dividida em uma infinidade de outras, sendo a primeira de γ = 0 a γ = π , a segunda de γ = π a γ = 2π e assim por diante. Essas novas integrais são alternadamente positivas e negativas, cada uma delas com um valor numérico menor que o anterior [...]. "∫0∞pecadoγγ dγ{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ gamma} {\ gamma}} ~ {\ rm {d}} \ gamma}
;
- na mesma linha, a regra de Abel para integrais - ou uma simples integração por partes - fornece uma prova de convergência;
- os métodos abaixo para calcular a integral fornecem evidências adicionais de sua existência.
Cálculo da integral
Com suítes
O método consiste em perguntar
Jnão=∫0π2pecado((2não+1)x)pecadox dx,Knão=∫0π2pecado((2não+1)x)x dx{\ displaystyle J_ {n} = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {\ sin {\ big (} (2n + 1) x {\ big)}} { \ sin x}} ~ {\ rm {d}} x, \ quad K_ {n} = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {\ sin {\ big ( } (2n + 1) x {\ big)}} {x}} ~ {\ rm {d}} x}
e mostrar que a diferença dessas duas sequências tende para 0, que a primeira é constante, igual a π / 2 , e que a segunda tende para a integral de Dirichlet.
Com o teorema do resíduo
Observando que x ↦ i (sin x ) / x é a parte imaginária de x ↦ e i x / x e considerando a função complexa F : z ↦ e i z / z , o teorema residual aplicado a integrais do quarto tipo , permitindo calcular um valor principal de Cauchy - ou mais simplesmente aqui: o teorema integral de Cauchy -, dá o resultado desejado.
Especificamente, F tem um único aglomerado em 0. Considere o contorno definido como segue: para dois reais R > ε> 0, os semicírculos são escolhidos e o centro O , os raios R e ε estão situados na metade do plano superior e conectam os dois segmentos I e J . Esta curva delimita um domínio limitado do plano que não contém a origem.
VSR{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {R}}
VSε{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {\ varejpsilon}}![{\ mathcal {C}} _ {{\ varejpsilon}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad70c58820863ab9598a21e5bd2508ce1731525b)
O teorema de Cauchy então dá
0=∫VSReeuzz dz+∫eu∪Jeeuzz dz+∫VSεeeuzz dz=∫VSReeuzz dz+2eu∫εRpecadoxx dx+∫VSεeeuzz dz{\ displaystyle 0 = \ int _ {{\ mathcal {C}} _ {R}} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} z}} {z}} ~ {\ rm {d}} z + \ int _ {I \ cup J} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} z}} {z}} ~ {\ rm {d}} z + \ int _ {{\ mathcal {C}} _ {\ varepsilon}} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} z}} {z }} ~ {\ rm {d}} z = \ int _ {{\ mathcal {C}} _ {R}} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} z}} {z}} ~ {\ rm {d}} z + 2 {\ rm {i}} \ int _ {\ varepsilon} ^ {R} {\ frac {\ sin x} {x}} ~ { \ rm {d}} x + \ int _ {{\ mathcal {C}} _ {\ varepsilon}} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} z}} {z}} ~ {\ rm {d}} z}
portanto, ao fazer R tender para + ∞ e ε para 0:
0=0+2eu∫0+∞pecadoxx dx-euπ,{\ displaystyle 0 = 0 + 2 {\ rm {i}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} ~ {\ rm {d}} x- { \ rm {i}} \ pi,}
o que permite concluir:
∫0+∞pecadoxx dx=π2.{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} ~ {\ rm {d}} x = {\ frac {\ pi} {2}}.}![\ int _ {0} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {\ sin x} x} ~ {{\ rm {d}}} x = {\ frac {\ pi} 2}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a942fd95dd98da6c0b5ad73455587323ffb3c2c)
Detalhes dos limites das integrais nos dois semicírculos
O semicírculo é parametrizado por θ ↦ R e iθ , para θ variando de 0 a π . Ouro
VSR{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {R}}
∀θ∈]0,π[,|exp(euReeuθ)|=|exp(-Rpecadoθ+euRcosθ)|=exp(-Rpecadoθ)→R→+∞0{\ displaystyle \ forall \ theta \ in] 0, \ pi [, \ quad | \ exp ({\ rm {i}} R {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ theta}) | = | \ exp (-R \ sin \ theta + {\ rm {i}} R \ cos \ theta) | = \ exp (-R \ sin \ theta) {\ xrightarrow [{R \ to + \ infty} ] {}} 0.}
Ao aplicar, por exemplo, o teorema da convergência dominada , chega-se então
∫VSReeuzz dz=eu∫0πexp(euReeuθ) dθ→R→+∞eu∫0π0 dθ=0{\ displaystyle \ int _ {{\ mathcal {C}} _ {R}} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} z}} {z}} ~ { \ rm {d}} z = {\ rm {i}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ exp ({\ rm {i}} R {\ rm {e}} ^ {{\ rm { i}} \ theta}) ~ {\ rm {d}} \ theta {\ xrightarrow [{R \ to + \ infty}] {}} {\ rm {i}} \ int _ {0} ^ {\ pi } 0 ~ {\ rm {d}} \ theta = 0.}
Da mesma forma, o semicírculo é parametrizado por θ ↦ εe iθ , para θ variando de π a 0. Temos então
VSε{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {\ varejpsilon}}
∫VSεeeuzz dz=eu∫π0exp(euεeeuθ) dθ→ε→0eu∫π0exp(0) dθ=-euπ.{\ displaystyle \ int _ {{\ mathcal {C}} _ {\ varepsilon}} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} z}} {z}} ~ {\ rm {d}} z = {\ rm {i}} \ int _ {\ pi} ^ {0} \ exp ({\ rm {i}} \ varejpsilon {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ theta}) ~ {\ rm {d}} \ theta {\ xrightarrow [{\ varepsilon \ to 0}] {}} {\ rm {i}} \ int _ {\ pi} ^ { 0} \ exp (0) ~ {\ rm {d}} \ theta = - {\ rm {i}} \ pi.}
Podemos ir um pouco mais rápido considerando a função z ↦ (e i z - 1) / z que se estende em uma função inteira . Em seguida, integramos no contorno formado pelo semicírculo e o intervalo [- R , R ]. Pelo teorema integral de Cauchy,
VSR{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {R}}![{\ mathcal {C}} _ {{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01008226214410ee848a7a65eb8371169961d37c)
0=∫VSReeuz-1z dz+∫-RReeux-1x dx=∫VSReeuzz dz-∫VSRdzz+2eu∫0Rpecadoxx dx=∫VSReeuzz dz-euπ+2eu∫0Rpecadoxx dx{\ displaystyle 0 = \ int _ {{\ mathcal {C}} _ {R}} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} z} -1} {z }} ~ {\ rm {d}} z + \ int _ {- R} ^ {R} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} -1} {x }} ~ {\ rm {d}} x = \ int _ {{\ mathcal {C}} _ {R}} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} z}} {z}} ~ {\ rm {d}} z- \ int _ {{\ mathcal {C}} _ {R}} {\ frac {{\ rm {d}} z} {z }} + 2 {\ rm {i}} \ int _ {0} ^ {R} {\ frac {\ sin x} {x}} ~ {\ rm {d}} x = \ int _ {{\ mathcal {C}} _ {R}} {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} z}} {z}} ~ {\ rm {d}} z - {\ rm {i}} \ pi +2 {\ rm {i}} \ int _ {0} ^ {R} {\ frac {\ sin x} {x}} ~ {\ rm {d}} x}
portanto, ao fazer R tender para + ∞ :
0=0-euπ+2eu∫0+∞pecadoxx dx{\ displaystyle 0 = 0 - {\ rm {i}} \ pi +2 {\ rm {i}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} ~ {\ rm {d}} x}
e concluímos como antes.
Suponha que sim , então .
eu(f)=F{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (f) = F}
eu[f(x)x]=∫p+∞F(você)dvocê{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left [{\ frac {f (x)} {x}} \ right] = \ int _ {p} ^ {+ \ infty} F (u) \ mathrm {d } você}![{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left [{\ frac {f (x)} {x}} \ right] = \ int _ {p} ^ {+ \ infty} F (u) \ mathrm {d } você}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7891d59e5f47ff7b833ad165d69478fba76ba5)
Escolha de onde .
f=pecado{\ displaystyle f = \ sin}
F(p)=1p2+1{\ displaystyle F (p) = {\ frac {1} {p ^ {2} +1}}}![{\ displaystyle F (p) = {\ frac {1} {p ^ {2} +1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1649443e89ba03b73e7ed00c5cd3d6dbe0e9387f)
Voltando à definição da transformação de Laplace, a propriedade admitida então dá
∫0+∞e-pxpecadoxxdx=∫p+∞dvocêvocê2+1=[Arctanvocê]p+∞=π2-Arctanp{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ operatorname {e} ^ {- px} {\ frac {\ sin x} {x}} \ mathrm {d} x = \ int _ {p} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ mathrm {d} u} {u ^ {2} +1}} = \ left [\ arctan u \ right] _ {p} ^ {+ \ infty} = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arctan p}![{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ operatorname {e} ^ {- px} {\ frac {\ sin x} {x}} \ mathrm {d} x = \ int _ {p} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ mathrm {d} u} {u ^ {2} +1}} = \ left [\ arctan u \ right] _ {p} ^ {+ \ infty} = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arctan p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c371c38e13d4d2693c6dabda952a4cc78bbb89)
.
Indo ao limite quando , nós chegarmos .
p→0{\ displaystyle p \ to 0}
∫0+∞pecadoxxdx=π2{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}}}![{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fe64917bdeba45ef649a7facb25c24dfea15a98)
Notas e referências
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Veja, por exemplo, este exercício corrigido na Wikiversidade .
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Sr. Lejeune-Dirichlet, " Sobre a convergência das séries trigonométricas que servem para representar uma função arbitrária entre limites dados ", J. Reine angew. Matemática. , vol. 4,1829, p. 157-169 (p. 161) ( arXiv 0806.1294 ).
-
Como f é zero no infinito, para estudar o possível limite de sua integral de 0 a a quando a → + ∞ , basta fazê-lo para a percorrer os valores de uma sequência aritmética arbitrária.
-
S. Balac e F. Sturm, Álgebra e análise: curso de matemática do primeiro ano com exercícios corrigidos , PPUR ,2003( leia online ) , p. 940.
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Para esta prova e uma variante, veja a atribuição corrigida “Integral de Dirichlet” na Wikiversidade .
-
Veja a atribuição corrigida “Integral de Dirichlet” na Wikiversidade .
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Esta passagem para o limite é justificada da seguinte forma na p. 6-7 por (en) J. Michael Steele , " A scholium on the integral of and related topicspecado(x)/x{\ displaystyle \ sin (x) / x}
" , na Wharton School , UPenn ,setembro de 2014 : De acordo com a segunda fórmula média , .|∫no+∞e-pxxpecadoxdx|≤2e-pnono{\ displaystyle \ left | \ int _ {a} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ operatorname {e} ^ {- px}} {x}} \ sin x \, \ mathrm {d} x \ right | \ leq 2 {\ frac {\ operatorname {e} ^ {- pa}} {a}}}
Veja também
Artigo relacionado
Integral de Borwein
Bibliografia
- Nino Boccara , Funções analíticas [ detalhe da edição ]
- (de) Hans Fischer, “ Die Geschichte des Integrals : eine Geschichte der Analysis in der Nussschale∫0∞pecadoxxdx{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, dx}
” , Math. Semestre. , vol. 54, n o 1,2007, p. 13-30
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