Transformação de Laplace

A função Heaviside vale 0 para t <0, 1 para t > 0 (seu valor em 0 não tem importância). Esta função sendo descontínua, não pode ser derivada no sentido usual. Por outro lado, sua derivada no sentido de distribuições é a “função” de Dirac . Ele vem Υ{\ displaystyle \ Upsilon}δ{\ displaystyle \ delta}

eu(δ)=peu(Υ)-Υ(0-)=1-0=1,{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left (\ delta \ right) = p {\ mathcal {L}} \ left (\ Upsilon \ right) - \ Upsilon \ left (0 ^ {-} \ right) = 1-0 = 1,}

Desde a

eu(Υ)=1p,ℜ(p)>0{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left (\ Upsilon \ right) = {\ dfrac {1} {p}}, \ Re (p)> 0.}

Observe que se substituirmos, na fórmula da regra de derivação, ƒ (0 - ) por ƒ (0 + ), encontraremos , que é falso (voltaremos a isso mais tarde). Algumas fontes podem ter este erro. eu(δ)=0{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left (\ delta \ right) = 0}

Da mesma forma, às vezes vemos a seguinte definição da transformação de Laplace:

F(p)=∫α+∞e-ptf(t) dt{\ displaystyle F \ left (p \ right) = \ int _ {\ alpha} ^ {+ \ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f \ left (t \ right) ~ {\ rm { d}} t}

com , até mesmo uma falta de precisão neste limite. Se f é uma função no sentido usual deste termo, com suporte positivo, é uma integral de Lebesgue que coincide com a correspondente a , pois é de medida zero; neste caso, também se pode escrever sem ambigüidade . Não é o mesmo se f for uma “função generalizada”, ou seja, uma distribuição de Gelfand e Shilov (in) , quando esta tem massa diferente de zero na origem. O protótipo é a distribuição Dirac. Algebricamente, essa distribuição é o elemento neutro na álgebra convolucional de distribuições com suporte positivo; e uma vez que a transformação de Laplace transforma o produto de convolução em um produto comum, devemos, portanto, ter a transformada de Laplace . No entanto, isso só será verdade se . De fato, com obteríamos uma transformada de Laplace igual a 0. Isso seria tanto mais aberrante quanto a transformada de Laplace não seria injetiva, pois . α=0+{\ displaystyle \ alpha = 0 ^ {+}}α=0-{\ displaystyle \ alpha = 0 ^ {-}}{0}{\ displaystyle \ left \ {0 \ right \}}α=0{\ displaystyle \ alpha = 0} δ{\ displaystyle \ delta}D+′{\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {+} ^ {\ prime}}δ{\ displaystyle \ delta}eu(δ)=1{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left (\ delta \ right) = 1}α=0-{\ displaystyle \ alpha = 0 ^ {-}}α=0+{\ displaystyle \ alpha = 0 ^ {+}}δ≠0{\ displaystyle \ delta \ neq 0}

Multiplicação por uma potência de t

A multiplicação por no domínio do tempo corresponde, exceto para o sinal, à n -ésima derivada da transformação: tnão,não∈NÃO{\ displaystyle t ^ {n}, n \ in \ mathbb {N}}

eu{tnãof(t)}=(-1)nãodnãoeu{f}dpnão{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {t ^ {n} f \ left (t \ right) \ right \} = \ left (-1 \ right) ^ {n} {\ dfrac {\ mathrm {d} ^ {n} {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \}} {\ mathrm {d} p ^ {n}}}}

(1) Suponha que f seja localmente integrável com suporte positivo. A transformada de Laplace de f é, portanto, definida para , onde é a abscissa de convergência, por ℜ(p)>α{\ displaystyle \ Re (p)> \ alpha}α{\ displaystyle \ alpha}

eu{f}(p)=∫0+∞f(t)e-pt dt{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \} (p) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt } ~ {\ rm {d}} t}

A função é holomórfica . Qualquer um e . Então e por crescimentos comparativos , a função é integrável em [0, + ∞ [ . A função é, portanto, holomórfica, e sua derivada é obtida pela diferenciação sob o sinal de soma  : p↦f(t)e-pt{\ displaystyle p \ mapsto f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt}}β>α{\ displaystyle \ beta> \ alpha}ℜ(p)>β{\ displaystyle \ Re (p)> \ beta}|tf(t)e-pt|≤|tf(t)e-βt|{\ displaystyle \ left \ vert tf \ left (t \ right) {\ rm {e}} ^ {- pt} \ right \ vert \ leq \ left \ vert tf \ left (t \ right) {\ rm {e }} ^ {- \ beta t} \ right \ vert}t↦|tf(t)e-βt|{\ displaystyle t \ mapsto \ left \ vert tf \ left (t \ right) {\ rm {e}} ^ {- \ beta t} \ right \ vert}p↦∫0+∞f(t)e-pt dt{\ displaystyle p \ mapsto \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t}

deu{f}dp(p)=∫0+∞f(t)(-te-pt) dt=-eu{tf(t)}(p){\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} {\ mathcal {L}} \ left \ {f \ right \}} {{\ rm {d}} p}} \ left (p \ right) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f \ left (t \ right) \ left (-t {\ rm {e}} ^ {- pt} \ right) ~ {\ rm {d}} t = - {\ mathcal {L}} \ esquerda \ {tf \ esquerda (t \ direita) \ direita \} \ esquerda (p \ direita)}

Isso prova o resultado no caso n = 1 . O caso geral segue, por indução.

(2) Este resultado ainda é válido quando f é uma distribuição com suporte positivo.

A fórmula inversa (para n = -1 ) é:

eu{f(t)t}(p)=∫p∞F(σ)dσ{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {{\ frac {f (t)} {t}} \ right \} \ left (p \ right) = \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {F} (\ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma}

e é válido desde que f seja da forma em que g é uma função generalizada com suporte positivo. Uma maneira de demonstrar esse resultado é fornecida a seguir. t↦tg(t){\ displaystyle t \ mapsto tg \ left (t \ right)}

∫p∞F(σ)dσ=∫p∞∫0∞e-σtf(t)dtdσ=∫0∞f(t)∫p∞e-σtdσdt=∫0∞f(t)1te-ptdt=eu{f(t)t}(p){\ displaystyle \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {F} (\ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma = \ int _ {p} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ sigma t} f (t) \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ sigma = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (t) \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {- \ sigma t} \, \ mathrm {d} \ sigma \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0 } ^ {\ infty} f (t) {\ frac {1} {t}} \ mathrm {e} ^ {- pt} \, \ mathrm {d} t = {\ mathcal {L}} \ left \ { {\ frac {f (t)} {t}} \ direita \} \ esquerda (p \ direita)}

Integração

A transformação de Laplace de uma integral (primitiva de f desaparecendo em 0 ) corresponde a uma multiplicação por 1 / p  :

eu{∫0-tf(τ)dτ}=1peu{f}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {\ int _ {0 ^ {-}} ^ {t} f (\ tau) \ mathrm {d} \ tau \ right \} = {\ frac {1 } {p}} {\ mathcal {L}} \ {f \}}

e se ƒ é uma função com suporte positivo, contínua ao longo de [0, + , [ , temos para todo a > 0  :

eu{∫notf(τ) dτ}=1peu{f}+1p∫no0f(τ)dτ.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {\ int _ {a} ^ {t} f (\ tau) ~ {\ rm {d}} \ tau \ right \} = {\ frac {1} {p}} {\ mathcal {L}} \ {f \} + {1 \ over p} \ int _ {a} ^ {0} f (\ tau) \ mathrm {d} \ tau.}

Valor final

Suponha que f seja localmente integrável com suporte positivo. Se o limite do domínio do tempo existe e é finito, então:

limt→+∞f(t)=limp∈R,p→0+pF(p).{\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} f (t) = \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ to 0 ^ {+}} p \ mathrm {F} (p) .}

(Observe que esta é a única propriedade onde um 0 + aparece para a variável .) p{\ displaystyle p}

Qualquer um . A existência desse limite finito implica que a abscissa de convergência da transformada de Laplace é . eu=limt→+∞f(t){\ displaystyle l = \ lim \ limits _ {t \ rightarrow + \ infty} f \ left (t \ right)}F(p){\ displaystyle F (p)}≤0{\ displaystyle \ leq 0}

Nós temos  ; a transformação de Laplace de é , e obviamente . Subtraindo de , somos, portanto, reduzidos ao caso de uma função, novamente notada f , tal que . limt→+∞Υ(t)=1{\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} \ Upsilon (t) = 1}Υ{\ displaystyle \ Upsilon}1p{\ displaystyle {\ frac {1} {p}}}limp∈R,p→0+p1p=1{\ displaystyle \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ to 0 ^ {+}} p {\ frac {1} {p}} = 1}euΥ(t){\ displaystyle l \ Upsilon (t)}f(t){\ displaystyle f (t)}limt→+∞f(t)=0{\ displaystyle \ lim \ limits _ {t \ rightarrow + \ infty} f \ left (t \ right) = 0}

Então, para todos , não é de tal forma que para todos , . Nós temos ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}NO>0{\ displaystyle A> 0}t>NO{\ displaystyle t> A}|f(t)|≤ε{\ displaystyle \ vert f (t) \ vert \ leq \ varepsilon}

pF(p)=p∫0NOf(t)e-ptdt+p∫NO+∞f(t)e-pt dt.{\ displaystyle pF (p) = p \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} dt + p \ int _ {A} ^ {+ \ infty} f \ left (t \ right) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t.}

Deixe-nos levar . Nós temos p∈R,p>0{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}, p> 0}

|∫0NOf(t)e-pt dt|≤∫0NO|f(t)| dt<+∞{\ displaystyle \ left \ vert \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq \ int _ {0} ^ {A} \ vert f (t) \ vert ~ {\ rm {d}} t <+ \ infty}

e consequentemente

limp∈R,p→0+p∫0NOf(t)e-pt dt=0{\ displaystyle \ lim \ limits _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ rightarrow 0 ^ {+}} p \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {-pt} ~ {\ rm {d}} t = 0.}

Portanto, existe um tal que para eα>0{\ displaystyle \ alpha> 0}p∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}0<p<α{\ displaystyle 0 <p <\ alpha}

|p∫0NOf(t)e-pt dt|<ε.{\ displaystyle \ left \ vert p \ int _ {0} ^ {A} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert <\ varejpsilon .}

Por outro lado,

|∫NO+∞f(t)e-pt dt|≤∫0+∞εe-pt dt=εp{\ displaystyle \ left \ vert \ int _ {A} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ varepsilon {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t = {\ frac {\ varepsilon} {p}}}

então existe tal que para eβ>0{\ displaystyle \ beta> 0}p∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}0<p<β{\ displaystyle 0 <p <\ beta}

|p∫NO+∞f(t)e-pt dt|≤ε.{\ displaystyle \ left \ vert p \ int _ {A} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq \ varepsilon.}

Portanto, se ep∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}0<p<min(α,β){\ displaystyle 0 <p <\ min (\ alpha, \ beta)}

|p∫0+∞f(t)e-pt dt|≤2ε{\ displaystyle \ left \ vert p \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq 2 \ varepsilon}

o que resulta em que quando tende a 0 + . p∫0+∞f(t)e-pt dt→0{\ displaystyle p \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t \ rightarrow 0}p∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}

As hipóteses indicadas são essenciais, conforme mostram os seguintes contra-exemplos:

• A função admite como limite + ∞ quando t tende para + ∞ . Sua transformada de Laplace é e . Este último limite não tem na realidade nenhum sentido porque a abscissa de convergência de F é 1, portanto 0 não pertence à adesão do campo de convergência.f:t↦etΥ(t){\ displaystyle f: t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {t} \ Upsilon (t)}F(p)=1p-1{\ displaystyle F \ left (p \ right) = {\ frac {1} {p-1}}}limp→0pF(p)=0{\ displaystyle \ lim \ limits _ {p \ rightarrow 0} pF \ left (p \ right) = 0}
• A função não admite limite quando t tende a + ∞ . Sua transformada de Laplace é , a abscissa de convergência de F é 0 e (este último limite está correto neste momento).f:t↦pecado⁡tΥ(t){\ displaystyle f: t \ mapsto \ sin t \ Upsilon (t)}F(p)=1p2+1{\ displaystyle F \ left (p \ right) = {\ frac {1} {p ^ {2} +1}}}limp∈R,p→0+pF(p)=0{\ displaystyle \ lim \ limits _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ rightarrow 0 ^ {+}} pF \ left (p \ right) = 0}
• Se é uma função racional, existe e é finita se, e somente se os pólos de todos pertencem à união do semiplano esquerdo aberto e a origem, o pólo em 0, se existe, é simples.F(p){\ displaystyle F (p)}limt→+∞f(t){\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} f (t)}F(p){\ displaystyle F (p)}

Valor inicial

Se tiver uma abscissa de convergência finita e se o limite no domínio do tempo existir, então: F(p){\ displaystyle F (p)}

limt→0+f(t)=limp∈R,p→+∞pF(p){\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0 ^ {+}} f (t) = \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ to + \ infty} p \ mathrm {F} (p) }

(Observe que esta é a única propriedade onde um 0 + aparece para a variável .) t{\ displaystyle t}

Qualquer um . Nós temos  ; a transformação de Laplace de é , e obviamente . Ao subtrair de , somos, portanto, reduzidos ao caso de uma função, novamente notada f , tal que . eu=limt→0+f(t){\ displaystyle l = \ lim \ limits _ {t \ rightarrow 0 ^ {+}} f \ left (t \ right)}limt→0+Υ(t)=1{\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0 ^ {+}} \ Upsilon (t) = 1}Υ{\ displaystyle \ Upsilon}1p{\ displaystyle {\ frac {1} {p}}}limp∈R,p→+∞p1p=1{\ displaystyle \ lim _ {p \ in \ mathbb {R}, p \ to + \ infty} p {\ frac {1} {p}} = 1}euΥ(t){\ displaystyle l \ Upsilon (t)}f(t){\ displaystyle f (t)}limt→0+f(t)=0{\ displaystyle \ lim \ limits _ {t \ rightarrow 0 ^ {+}} f \ left (t \ right) = 0}

Qualquer um . Existe por hipótese tal que para todo t tal que , nós temos . Por outro lado, ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}η>0{\ displaystyle \ eta> 0}0<t<η{\ displaystyle 0 <t <\ eta}|f(t)|≤ε{\ displaystyle \ vert f (t) \ vert \ leq \ varepsilon}

p∫0+∞f(t)e-pt dt=eu1+eu2{\ displaystyle p \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t = I_ {1} + I_ {2 }}

com

eu1=p∫0ηf(t)e-pt dt, eu2=p∫η+∞f(t)e-pt dt.{\ displaystyle I_ {1} = p \ int _ {0} ^ {\ eta} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t, ~ I_ {2 } = p \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d}} t.}

Let ser um real estritamente maior que a abscissa de convergência de e . Nós temos α{\ displaystyle \ alpha}F(p){\ displaystyle F (p)}p∈R, p>α{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}, ~ p> \ alpha}

|eu2|=|p∫η+∞f(t)e-(p-α)te-αt dt|≤pe-(p-α)η∫0+∞|f(t)|e-αt dt{\ displaystyle \ left \ vert I_ {2} \ right \ vert = \ left \ vert p \ int _ {\ eta} ^ {+ \ infty} f (t) {\ rm {e}} ^ {- \ left (p- \ alpha \ right) t} {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} ~ {\ rm {d}} t \ right \ vert \ leq p {\ rm {e}} ^ {- \ left (p- \ alpha \ right) \ eta} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ left \ vert f \ left (t \ right) \ right \ vert {\ rm {e}} ^ { - \ alpha t} ~ {\ rm {d}} t}

onde a integral direita é convergente, então quando . Portanto, existe um real tal que assim que e . eu2→0{\ displaystyle I_ {2} \ rightarrow 0}p→+∞{\ displaystyle p \ rightarrow + \ infty}NO>0{\ displaystyle A> 0}|eu2|≤ε{\ displaystyle \ left \ vert I_ {2} \ right \ vert \ leq \ varepsilon}p∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}p>NO{\ displaystyle p> A}

Por outro lado,

|eu1|≤pε∫0ηe-pt dt=ε(1-e-pη){\ displaystyle \ left \ vert I_ {1} \ right \ vert \ leq p \ varepsilon \ int _ {0} ^ {\ eta} {\ rm {e}} ^ {- pt} ~ {\ rm {d} } t = \ varepsilon \ left (1 - {\ rm {e}} ^ {- p \ eta} \ right)}

e este termo tende para quando , pois existe um real tal como logo que e . Finalmente, para e nós temos ε{\ displaystyle \ varepsilon}p→+∞{\ displaystyle p \ rightarrow + \ infty}B>0{\ displaystyle B> 0}|eu1|≤2ε{\ displaystyle \ left \ vert I_ {1} \ right \ vert \ leq 2 \ varepsilon}p∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}p>B{\ displaystyle p> B}p∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}p>max(NO,B){\ displaystyle p> \ max (A, B)}

|pF(p)|≤3ε.{\ displaystyle \ left \ vert pF \ left (p \ right) \ right \ vert \ leq 3 \ varepsilon.}

Agora, é arbitrariamente pequeno, então esse termo tende a 0 quando e . ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}p∈R{\ displaystyle p \ in \ mathbb {R}}p→+∞{\ displaystyle p \ rightarrow + \ infty}

Convolução

A transformação de Laplace muda o produto de convolução em um produto:

eu{f∗g}=eu{f}eu{g}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f * g \} = {\ mathcal {L}} \ {f \} {\ mathcal {L}} \ {g \}}

Transformada de Laplace de uma função periódica

Se ƒ for uma função nula para t <0 e, para t > 0, periódica com período T , então paraRe(p)>0{\ displaystyle Re \ left (p \ right)> 0}

eu{f}(p)=11-e-Tp∫0Te-ptf(t)dt.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} (p) = {\ frac {1} {1 - {\ rm {e}} ^ {- Tp}}} \ int _ {0} ^ { T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t.}

Usamos a relação de Chasles para decompor a integral ao longo de cada período:

∫0∞e-ptf(t)dt=∫0Te-ptf(t)dt+∫T2Te-ptf(t)dt+∫2T3Te-ptf(t)dt+...{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {T} { \ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t + \ int _ {T} ^ {2T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t + \ int _ {2T} ^ {3T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t + \ ldots}

Fazemos uma mudança de variáveis ​​para trazer as integrais de volta a [0, T ]

∫0∞e-ptf(t)dt=∫0Te-pvocêf(você)dvocê+∫0Te-p(você+T)f(você+T)dvocê+∫0Te-p(você+2T)f(você+2T)dvocê+...{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, {\ rm {d}} t = \ int _ {0} ^ {T } {\ rm {e}} ^ {- pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {- p (u + T)} f (u + T) \, \ mathrm {d} u + \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {- p (u + 2T)} f (u + 2T ) \, \ mathrm {d} u + \ ldots}

Uma vez que ƒ é periódico, podemos simplificar as integrais por

∫0∞e-ptf(t)dt=∫0Te-pvocêf(você)dvocê+e-pT∫0Te-pvocêf(você)dvocê+e-2pT∫0Te-pvocêf(você)dvocê+...{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {T} { \ rm {e}} ^ {- pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + {\ rm {e}} ^ {- pT} \ int _ {0} ^ {T} {\ rm { e}} ^ {- pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + {\ rm {e}} ^ {- 2pT} \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {-pu} f (u) \, \ mathrm {d} u + \ ldots}

Agrupamos os termos:

∫0∞e-ptf(t)dt=(1+e-pT+e-2pT+...)∫0Te-pvocêf(você)dvocê.{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t = \ left (1 + {\ rm {e} } ^ {- pT} + {\ rm {e}} ^ {- 2pT} + \ ldots \ right) \ int _ {0} ^ {T} {\ rm {e}} ^ {- pu} f (u ) \, \ mathrm {d} u.}

Esta série geométrica converge (porque e - pT <1 ). Ele vem então

eu{f}(p)=11-e-Tp∫0Te-ptf(t)dt.{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \} (p) = {\ frac {1} {1 - {\ rm {e}} ^ {- Tp}}} \ int _ {0} ^ { T} {\ rm {e}} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t.}

Tabela de resumo das propriedades da transformação de Laplace

	Domínio do tempo	Domínio "p"	Comentários
Linearidade	nof(t)+bg(t){\ displaystyle af (t) + bg (t)}	noF(p)+bG(p){\ displaystyle a \ mathrm {F} (p) + b \ mathrm {G} (p)}	Resulta das regras básicas de integração.
Derivada da transformação	tf(t){\ displaystyle tf (t)}	-F′(p){\ displaystyle - \ mathrm {F} '(p)}	F′{\ displaystyle \ mathrm {F} '}é a primeira derivada de F.
Derivadas de ordem n da transformação	tnãof(t){\ displaystyle t ^ {n} f (t)}	(-1)nãoF(não)(p){\ displaystyle (-1) ^ {n} \ mathrm {F} ^ {(n)} (p)}	Forma mais geral, n- ésima derivada de F ( p ).
Primeira derivada da função no domínio do tempo	f′(t){\ displaystyle f '(t)}	pF(p)-f(0-){\ displaystyle p \ mathrm {F} (p) -f \ left (0 ^ {-} \ right)}	ƒ é considerado diferenciável e sua derivada tende a 0 exponencialmente. Pode ser obtido por integração por partes .
Segunda derivada	f″(t){\ displaystyle f '' (t)}	p2F(p)-pf(0-)-f′(0-){\ displaystyle p ^ {2} \ mathrm {F} (p) -pf \ left (0 ^ {-} \ right) -f '\ left (0 ^ {-} \ right)}	ƒ é assumido como duas vezes diferenciável, com a segunda derivada convergindo exponencialmente para o infinito.
N-ésima derivada de ƒ	f(não)(t){\ displaystyle f ^ {(n)} (t)}	pnãoF(p)-pnão-1f(0-)-⋯-f(não-1)(0-){\ displaystyle p ^ {n} \ mathrm {F} (p) -p ^ {n-1} f \ left (0 ^ {-} \ right) - \ cdots -f ^ {(n-1)} \ esquerda (0 ^ {-} \ direita)}	ƒ é assumido como n vezes diferenciável, com uma n- ésima derivada com convergência exponencial no infinito.
Integração da transformada de Laplace	f(t)t{\ displaystyle {\ frac {f (t)} {t}}}	∫p∞F(σ)dσ{\ displaystyle \ int _ {p} ^ {\ infty} \ mathrm {F} (\ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma}
Integração	∫0tf(τ)dτ=(você∗f)(t){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau = (u * f) (t)}	1pF(p){\ displaystyle {1 \ over p} \ mathrm {F} (p)}	você(t){\ displaystyle u (t)}é a função escalonada de Heaviside. O operador ( u  *  f ) ( t ) é o produto de convolução de u ( t ) e ƒ ( t ).
Dilatação da escala de tempo	f(not) {\ displaystyle f (at) \}	1|no|F(pno){\ displaystyle {\ frac {1} {| a |}} \ mathrm {F} \ left ({p \ over a} \ right)}
Offset em p	enotf(t){\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {at} f (t)}	F(p-no){\ displaystyle \ mathrm {F} (pa)}	Esta propriedade é às vezes conhecida como Teorema de Amortecimento (ou Teorema da Modulação ) com . no<0{\ displaystyle a <0}
Mudança de domínio do tempo	f(t-no)você(t-no){\ displaystyle f (ta) u (ta)}	e-nopF(p){\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- ap} \ mathrm {F} (p)}	u ( t ) é a função escalonada de Heaviside (função escalonada)
Multiplicação	f(t)g(t){\ displaystyle f (t) g (t)}	12πeulimT→∞∫vs-euTvs+euTF(σ)G(p-σ)dσ{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi {\ rm {i}}}} \ lim _ {\ mathrm {T} \ to \ infty} \ int _ {c - {\ rm {i}} \ mathrm {T}} ^ {c + {\ rm {i}} \ mathrm {T}} \ mathrm {F} (\ sigma) G (p- \ sigma) \, \ mathrm {d} \ sigma}	A integração é realizada ao longo da linha vertical Re (σ) = c que está inteiramente localizada dentro do raio de convergência de F.
Produto de convolução	(f∗g)(t)=∫0tf(τ)g(t-τ)dτ{\ displaystyle (f * g) (t) = \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) g (t- \ tau) \, {\ rm {d}} \ tau}	F(p)⋅G(p){\ displaystyle \ mathrm {F} (p) \ cdot \ mathrm {G} (p)}	ƒ ( t ) e g ( t ) são estendidos para a definição do produto de convolução. R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Conjugação complexa	f∗(t){\ displaystyle f ^ {*} (t)}	F∗(p∗){\ displaystyle \ mathrm {F} ^ {*} (p ^ {*})}
Função de correlação	f(t)⋆g(t){\ displaystyle f (t) \ star g (t)}	F∗(-p∗)⋅G(p){\ displaystyle \ mathrm {F} ^ {*} (- p ^ {*}) \ cdot \ mathrm {G} (p)}
Função periódica	f(t){\ displaystyle f (t)}	11-e-Tp∫0Te-ptf(t)dt{\ displaystyle {\ frac {1} {1 - {\ rm {e}} ^ {- \ mathrm {T} p}}} \ int _ {0} ^ {\ mathrm {T}} {\ rm {e }} ^ {- pt} f (t) \, \ mathrm {d} t}	ƒ ( t ) é uma função periódica do período T tal que . Isso resulta da propriedade de mudança no domínio do tempo e da série geométrica. f(t)=f(t+T),∀t≥0{\ displaystyle f (t) = f (t + \ mathrm {T}), \; \ forall t \ geq 0}

Algumas transformações usuais

A transformada de Laplace monolateral só é válida para funções (possivelmente generalizadas) com suporte positivo. É por esta razão que as funções temporais desta tabela são múltiplas de (ou compostas com) , unidade de etapa de função (Heaviside) . Υ{\ displaystyle \ Upsilon}

	Função	Domínio do tempo x(t)=eu-1{X(p)}{\ displaystyle x (t) = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left \ {\ mathrm {X} (p) \ right \}}	Transformada de Laplace X(p)=eu{x(t)}{\ displaystyle \ mathrm {X} (p) = {\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \}}	Região de convergência
1	Distribuição atrasada de Dirac	δ(t-τ) {\ displaystyle \ delta (t- \ tau) \}	e-τp {\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ tau p} \}	∀ p{\ displaystyle \ forall \ p \,}
1a	Distribuição de Dirac	δ(t) {\ displaystyle \ delta (t) \}	1 {\ displaystyle 1 \}	∀ p{\ displaystyle \ forall \ p \,}
2	monômio exponencial atrasado	(t-τ)nãonão!e-α(t-τ)⋅Υ(t-τ){\ displaystyle {\ frac {(t- \ tau) ^ {n}} {n!}} {\ rm {e}} ^ {- \ alpha (t- \ tau)} \ cdot \ Upsilon (t- \ tau)}	e-τp(p+α)não+1{\ displaystyle {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- \ tau p}} {(p + \ alpha) ^ {n + 1}}}}	Ré⁡(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2a	poder n- ésimo	tnãonão!⋅Υ(t){\ displaystyle {t ^ {n} \ over n!} \ cdot \ Upsilon (t)}	1pnão+1{\ displaystyle {1 \ over p ^ {n + 1}}}	Ré⁡(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2a.1	q- ésima potência	tqΓ(q+1)⋅Υ(t){\ displaystyle {t ^ {q} \ over \ Gamma (q + 1)} \ cdot \ Upsilon (t)}	1pq+1{\ displaystyle {1 \ over p ^ {q + 1}}}	Ré⁡(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2a.2	nível de unidade	Υ(t) {\ displaystyle \ Upsilon (t) \}	1p{\ displaystyle {1 \ over p}}	Ré⁡(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2b	passo atrasado	Υ(t-τ) {\ displaystyle \ Upsilon (t- \ tau) \}	e-τpp{\ displaystyle {{\ rm {e}} ^ {- \ tau p} \ over p}}	Ré⁡(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2c	rampa	t⋅Υ(t) {\ displaystyle t \ cdot \ Upsilon (t) \}	1p2{\ displaystyle {\ frac {1} {p ^ {2}}}}	Ré⁡(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
2d	exponencial-monomial	tnãonão!e-αt⋅Υ(t){\ displaystyle {\ frac {t ^ {n}} {n!}} {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} \ cdot \ Upsilon (t)}	1(p+α)não+1{\ displaystyle {\ frac {1} {(p + \ alpha) ^ {n + 1}}}}	Ré⁡(p)>-α{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \,}
2d.1	exponencial	e-αt⋅Υ(t) {\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} \ cdot \ Upsilon (t) \}	1p+α{\ displaystyle {1 \ over p + \ alpha}}	Ré⁡(p)>-α {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \}
3	abordagem exponencial	(1-e-αt)⋅Υ(t) {\ displaystyle (1 - {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t}) \ cdot \ Upsilon (t) \}	αp(p+α){\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {p (p + \ alpha)}}}	Ré⁡(p)>0 {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \}
4	seio	pecado⁡(ωt)⋅Υ(t) {\ displaystyle \ sin (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	ωp2+ω2{\ displaystyle {\ omega \ over p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Ré⁡(p)>0 {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \}
5	cosseno	porque⁡(ωt)⋅Υ(t) {\ displaystyle \ cos (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	pp2+ω2{\ displaystyle {p \ over p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Ré⁡(p)>0 {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \}
6	seno hiperbólico	sinh⁡(αt)⋅Υ(t) {\ displaystyle \ sinh (\ alpha t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	αp2-α2{\ displaystyle {\ alpha \ over p ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}	Ré⁡(p)>|α| {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> | \ alpha | \}
7	cosseno hiperbólico	cosh⁡(αt)⋅Υ(t) {\ displaystyle \ cosh (\ alpha t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	pp2-α2{\ displaystyle {p \ over p ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}	Ré⁡(p)>|α| {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> | \ alpha | \}
8	decadência exponencial de uma onda senoidal	e-αtpecado⁡(ωt)⋅Υ(t) {\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} \ sin (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	ω(p+α)2+ω2{\ displaystyle {\ omega \ over (p + \ alpha) ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Ré⁡(p)>-α {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \}
9	decadência exponencial de uma onda de cosseno	e-αtporque⁡(ωt)⋅Υ(t) {\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- \ alpha t} \ cos (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t) \}	p+α(p+α)2+ω2{\ displaystyle {p + \ alpha \ over (p + \ alpha) ^ {2} + \ omega ^ {2}}}	Ré⁡(p)>-α {\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> - \ alpha \}
10	enésima raiz	tnão⋅Υ(t){\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {t}} \ cdot \ Upsilon (t)}	p-(não+1)/não⋅Γ(1+1não){\ displaystyle p ^ {- (n + 1) / n} \ cdot \ Gamma \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right)}	Ré⁡(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
11	logaritmo	em⁡(tt0)⋅Υ(t){\ displaystyle \ ln \ left ({t \ over t_ {0}} \ right) \ cdot \ Upsilon (t)}	-t0p [ em⁡(t0p)+γ ]{\ displaystyle - {t_ {0} \ over p} \ [\ \ ln (t_ {0} p) + \ gamma \]}	Ré⁡(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
12	Função de Bessel do primeiro tipo, de ordem n	Jnão(ωt)⋅Υ(t){\ displaystyle J_ {n} (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t)}	ωnão(p+p2+ω2)-nãop2+ω2{\ displaystyle {\ frac {\ omega ^ {n} \ left (p + {\ sqrt {p ^ {2} + \ omega ^ {2}}} \ right) ^ {- n}} {\ sqrt {p ^ {2} + \ omega ^ {2}}}}}	Ré⁡(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,} (não>-1){\ displaystyle (n> -1) \,}
13	função de Bessel modificada do primeiro tipo, de ordem n	eunão(ωt)⋅Υ(t){\ displaystyle \ mathrm {I} _ {n} (\ omega t) \ cdot \ Upsilon (t)}	ωnão(p+p2-ω2)-nãop2-ω2{\ displaystyle {\ frac {\ omega ^ {n} \ left (p + {\ sqrt {p ^ {2} - \ omega ^ {2}}} \ right) ^ {- n}} {\ sqrt {p ^ {2} - \ omega ^ {2}}}}}	Ré⁡(p)>|ω|{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> | \ omega | \,} (não>-1){\ displaystyle (n> -1) \,}
14	função de erro	erf(t)⋅Υ(t){\ displaystyle \ mathrm {erf} (t) \ cdot \ Upsilon (t)}	ep2/4erfc⁡(p/2)p{\ displaystyle {{\ rm {e}} ^ {p ^ {2} / 4} \ operatorname {erfc} \ left (p / 2 \ right) \ over p}}	Ré⁡(p)>0{\ displaystyle \ operatorname {Re} (p)> 0 \,}
Notas: Υ(t){\ displaystyle \ Upsilon (t) \,}representa a função de Heaviside . δ(t){\ displaystyle \ delta (t) \,}representa a função Dirac . Γ(z){\ displaystyle \ Gamma (z) \,}é a função Gamma . γ{\ displaystyle \ gamma \,}é a constante de Euler-Mascheroni . t{\ displaystyle t \,}, é um número real, normalmente representa o tempo, mas pode denotar qualquer outra quantidade. p{\ displaystyle p \,} é um número complexo. q{\ displaystyle q \,}é um número real ( ).q+1>0{\ displaystyle q + 1> 0} α{\ displaystyle \ alpha \,}, , , E são números reais.β{\ displaystyle \ beta \,}τ{\ displaystyle \ tau \,}ω{\ displaystyle \ omega \,} não{\ displaystyle n \,} é um número inteiro.

Exemplo de uso da transformada de Laplace em eletricidade

Consideramos um circuito denominado "R, C", constituído por uma resistência elétrica de valor R e um capacitor de capacidade elétrica C, colocados em série. Em todos os casos, considera-se que o circuito é colocado nos terminais de um gerador de tensão ideal fornecendo uma tensão (geralmente) variável u ( t ) apenas no instante escolhido como a origem das datas, e que o capacitor é inicialmente descarregado.

Temos, portanto, para a carga q ( t ) do capacitor e a corrente no circuito, respectivamente, as seguintes condições iniciais: eu(t)≡dqdt{\ displaystyle i \ left (t \ right) \ equiv {\ frac {{\ rm {d}} q} {{\ rm {d}} t}}}

q(0-)=0,eu(0-)=0{\ displaystyle q \ left (0 ^ {-} \ right) = 0, i \ left (0 ^ {-} \ right) = 0}

Carregar um capacitor por uma etapa de tensão

Aplicamos a seguinte tensão u ( t ):

você(t)={0, E se t<0você0=vste, E se t≥0,{\ displaystyle u (t) = {\ begin {cases} 0, {\ text {si}} t <0 \\\ mathrm {U} _ {0} = cte, {\ text {si}} t \ geq 0 \ end {casos}},}

e a equação diferencial que relaciona a resposta q ( t ) à entrada u ( t ) é aplicando as leis usuais da eletricidade:

você0Υ(t)=Rdqdt+q(t)VS,{\ displaystyle \ mathrm {U} _ {0} \ Upsilon (t) = \ mathrm {R} {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {q ( t)} {\ mathrm {C}}},}

ou novamente definindo τ ≡ RC (esta quantidade tem a dimensão de uma duração) e dividindo por R:

VSvocê0τΥ(t)=q(t)τ+dqdt.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0}} {\ tau}} \ Upsilon (t) = {\ frac {q (t)} {\ tau}} + {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}}.}

Tomamos a transformada de Laplace membro a membro desta última equação, denotando Q ( p ) a transformada de q ( t ), ela vem, levando em consideração o fato de que q (0 - ) = 0:

Q(p)=VSvocê01τp((1τ)+p),{\ displaystyle \ mathrm {Q} (p) = \ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0} {\ frac {\ frac {1} {\ tau}} {p \ left (({\ frac { 1} {\ tau}}) + p \ direita)}},}

que também pode ser escrito na forma:

Q(p)=H(p)você(p), com H(p)≡(1/τ)[(1/τ)+p],{\ displaystyle \ mathrm {Q} (p) = \ mathrm {H} (p) \ mathrm {U} (p) {\ text {, com}} \ mathrm {H} (p) \ equiv {\ frac { \ left (1 / \ tau \ right)} {\ left [(1 / \ tau) + p \ right]}},}

você(p)=VSvocê0/p,{\ displaystyle \ mathrm {U} (p) = \ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0} / p,}

Podemos inverter imediatamente esta equação por (usamos a entrada número 3 da tabela acima com α = 1 / τ ):

q(t)=você0VS[1-e-t/τ]Υ(t).{\ displaystyle q (t) = \ mathrm {U} _ {0} \ mathrm {C} \ left [1 - {\ rm {e}} ^ {- t / \ tau} \ right] \ Upsilon (t) .}

A interpretação física desta solução é muito simples: há uma superposição de um regime transitório

qtrnonãos(t)=-você0VSe-t/τ,{\ displaystyle q _ {\ mathrm {trans}} \ left (t \ right) = - \ mathrm {U} _ {0} \ mathrm {C} {\ rm {e}} ^ {- t / \ tau} ,}

que descreve a carga progressiva do capacitor, a quantidade τ ≡ RC dando a escala de tempo (este é um exemplo de uma constante de tempo de um sistema), em um estado estacionário

Qperm=VSvocê0≡Qm{\ displaystyle \ mathrm {Q_ {perm}} = \ mathrm {C} \ mathrm {U} _ {0} \ equiv \ mathrm {Q_ {m}}}

que corresponde ao estado do capacitor totalmente carregado sob a tensão direta U 0 . É facilmente mostrado que o capacitor está 90% carregado ( q = 0,90 Q m ) no final do período T = τ ln (10) ≈ 2,3025 τ .

O termo (1 - e - t / τ ) é a função de transferência do sistema no domínio do tempo.

Podemos perceber a facilidade de uso da transformação de Laplace, que permite abstrair completamente da resolução da equação diferencial no espaço do tempo por uma passagem no "espaço p  ". Além disso, as condições iniciais são levadas em consideração durante a transformação.

Notas e referências

Notas

1. Bourles 2010 (§12.3.4), Bourles e Marinescu 2011 , § 7.3.4.1.
2. Denis-Papin e Kaufmann 1967 .
3. J.-É. Rombaldi, Exercícios corrigidos e problemas para a agregação da matemática , De Boeck Supérieur ,2018( leia online ) , p.  193.
4. Bourlès 2010 , p.  356.
5. (em) Milton Abramowitz e Irene Stegun , Manual de funções matemáticas com fórmulas, gráficos e tabelas matemáticas [ detalhes de publicação ] ( ler online ), indivíduo. 29 (“Transformadas de Laplace”), p. 1020: 29.2.4. e 29.2.5
6. (em) Milton Abramowitz e Irene Stegun , Manual de funções matemáticas com fórmulas, gráficos e tabelas matemáticas [ detalhes de publicação ] ( ler online ), indivíduo. 29 (“Transformadas de Laplace”), p. 1020: 29.1.1.
7. Schwartz 1965 , VI, 2; 2.
8. André Desbiens, “  Sistemas lineares e controle GEL-2005. Capítulo 3: Transformação de Laplace  ” , na Université Laval , p.  33
9. Bracewell 2000 , Tabela 14.1, p. 385.
10. Em carga unitária de multiplicação por C.

Referências

• Henri Bourlès , Linear Systems , John Wiley & Sons ,2010, 544  p. ( ISBN  978-1-84821-162-9 e 1-84821-162-7 , leia online )
• Henri Bourlès e Bogdan Marinescu , Linear Time-Varying Systems: Algebraic-Analytic Approach , Springer,2011, 638  p. ( ISBN  3642197264 )
• (pt) Ronald N. Bracewell , The Fourier Transform and Its Applications , Boston, McGraw-Hill,2000, 3 e  ed. ( ISBN  0-07-116043-4 ).
• M. Denis-Papin e A. Kaufmann , curso de cálculo operacional aplicado , Albin Michel ,1967( ASIN  B003WR50TY )
• Laurent Schwartz , Métodos matemáticos para as ciências físicas , Hermann ,1965( ISBN  2-7056-5213-2 )
• (pt) DV Widder , The Laplace Transform , Dover Publications ,2011, 406  p. ( ISBN  978-0-486-47755-8 e 0-486-47755-X )

Veja também

Artigos relacionados

• Transformada de Laplace bilateral
• Transformado em Z
• Cálculo operacional
• Transformação de Mellin
• Função de transferência
• Teorema de Bernstein sobre funções totalmente monotônicas