A distribuição de Dirac , também chamado por abuso de linguagem do Dirac δ função , introduzida por Paul Dirac , pode ser informalmente considerada como uma função que leva um "valor" infinita em 0 e o valor zero em qualquer outro lugar, e cuja integrante em ℝ é igual a 1. A representação gráfica da “função” δ pode ser assimilada a todo o eixo xe ao meio eixo das coordenadas y positivas. Por outro lado, δ é igual à derivada (no sentido das distribuições ) da função de Heaviside . Esta “função” de Dirac δ não é uma função, mas sim uma medida de Borel , portanto uma distribuição .
A função de Dirac δ é muito útil como uma aproximação de funções cuja representação gráfica tem a forma de um grande ponto estreito. É o mesmo tipo de abstração que representa uma carga pontual, uma massa pontual ou um elétron pontual. Por exemplo, para calcular a velocidade de uma bola de tênis atingida por uma raquete, podemos igualar a força da raquete que bate na bola a uma função δ . Dessa forma, não apenas simplificamos as equações, mas também podemos calcular o movimento da bola considerando apenas o momento inteiro da raquete contra a bola, em vez de exigir o conhecimento dos detalhes de como a raquete transferiu energia para a bola .
Por extensão, a expressão “um Dirac” (ou “um pico de Dirac”) é, portanto, freqüentemente usada por físicos para designar uma função ou uma curva “apontada” em um determinado valor.
Nós nos colocamos em ℝ n . A “função de Dirac δ” é a medida boreliana de suporte do singleton {0} e de massa 1, ou seja, a medida de probabilidade δ tal que δ ({0}) = 1 . Mais explicitamente, para qualquer Boreliano A de ℝ n :
Por abuso de linguagem, diz-se que a “função” δ de Dirac é nula em todo lugar exceto em 0, onde seu valor infinito corresponde a uma “massa” de 1.
A medida δ é claramente do Radon , o que permite identificá-la com a forma linear contínua da norma 1, também observada δ :
,onde denota o espaço de funções contínuas com suporte compacto , dotado da norma de convergência uniforme .
A restrição desta forma linear ao subespaço das funções de teste (as funções C ∞ com suporte compacto ) é, portanto, uma distribuição de ordem 0 . Como essa distribuição δ tem um suporte compacto, ela é temperada .
Outras apresentações (em ℝ):
A qualquer função localmente integrável f sobre ℝ n está associada uma distribuição regular T f :
A distribuição δ é igual à derivada da distribuição T H associada à função de Heaviside (localmente integrável):
.É também ( veja abaixo ) o limite de várias sequências ou famílias de funções integráveis localmente.
O “ impulso de Dirac ” δ é o elemento neutro da convolução :
,onde: .
Esta propriedade é amplamente utilizada no processamento de sinais . Dizemos que um sinal correspondente a uma distribuição de Dirac tem um espectro branco . Ou seja, cada frequência está presente com intensidade idêntica. Esta propriedade permite analisar a resposta em frequência de um sistema sem ter que varrer todas as frequências.
A transformada de Fourier como uma distribuição temperada da medida limitada δ é a função constante 1:
.Mais exatamente, é a distribuição regular T 1 associada a esta função:
e (por inversão de Fourier ) a transformada de Fourier de T 1 é δ :
.O cálculo da derivada δ ' da distribuição δ dá:
.Mais geralmente, aquele da n- ésima derivada de δ , δ ( n ) , dá:
.As derivadas de δ aparecem na transformação de Fourier dos polinômios .
Uma identidade útil é
onde x i são as raízes (simples assumidas) da função g ( x ) . É equivalente à forma integral:
.A “função” δ é o limite de várias famílias ( η a ) de funções ( em um sentido fraco a ser especificado: ou ou ...):
Alguns chamam essas famílias ( η a ) de “funções nascentes” de δ .
Eles podem ser úteis em aplicações específicas.
Mas se o limite for usado de maneira muito imprecisa, o resultado pode ser absurdo, como de fato em qualquer ramo da análise .
A noção de aproximação de unidades tem um significado particular na análise harmônica, em relação ao limite de uma família tendo como limite um elemento neutro para a operação de convolução. Aqui, presume-se que o limite é o de uma família de funções positivas.
Em certos casos, usa-se uma função descentralizada de Dirac, e é observado:
.Veja por exemplo: produto da convolução .
Pode-se interpretar de forma mais acessível a definição da distribuição de Dirac δ como derivada daquela de Heaviside ( ver supra ), introduzindo o segundo exemplo dado no parágrafo seguinte.
Para isso, consideramos a família de funções ( H a ) a > 0 definida por
A derivada H ' a é a função de porta (ou impulso) Π a que vale 1 ⁄ 2 a entre - a e + a e é zero em outro lugar (sua integral vale 1).
Para qualquer função contínua f , temos, portanto:
.De acordo com o teorema fundamental da análise , esta expressão tende para f (0) como a tende para 0, o que mostra que Π a tende para a distribuição de Dirac:
.De forma mais geral, para qualquer família ( H a ) a > 0 de funções com variação limitada (portanto, diferenciáveis em quase todos os lugares e de derivadas localmente integráveis ), temos:
Algumas famílias de funções limite δ quando a → 0 são tais que :, com η definido por
Existem, portanto, sequências de funções , chamadas “ sequências de Dirac ”, convergindo para a função δ : as sequências ( φ n ) definidas por .
Outro exemplo, dado por Edmund Landau em 1908, é:
Um resultado geral da convergência para a medida de Dirac pode ser encontrado na seção "Medidas equinormais" do artigo Medidas secundárias .
A distribuição de Dirac é usada em física para descrever eventos pontuais. Para as necessidades do formalismo quântico, Dirac introduziu um objeto singular, que hoje chamamos de “impulso de Dirac”, notado δ ( t ) . Além disso, esse pulso representa um sinal de duração teoricamente zero e energia finita.
Uma densidade de probabilidade, por exemplo a da distribuição normal, é representada por uma curva que engloba uma área igual a 1. Se chegarmos a sua variância a 0, é obtida no delta de contorno que representa a densidade de probabilidade de uma certa variável com probabilidade 1. É uma curiosidade de interesse prático limitado, mas que se generaliza de maneira interessante.
A maneira mais simples de descrever uma variável discreta que assume valores pertencentes a um conjunto contável é usar sua função de probabilidade, que associa uma probabilidade a cada um dos valores. Também podemos considerar uma pseudodensidade de probabilidade constituída por uma soma de funções de Dirac associadas a cada um dos valores com peso igual às suas probabilidades. Nessas condições, as fórmulas integrais que calculam as expectativas das variáveis contínuas aplicam-se às variáveis discretas, levando em consideração a equação lembrada acima.
Para determinar o conteúdo do registro de um fenômeno físico em função do tempo, geralmente é usada a transformação de Fourier. A transformada de Fourier da “função” de Dirac é a função constante 1 ( veja acima ).
Hoje em dia, as gravações analógicas contínuas de fenômenos físicos deram lugar a gravações digitais amostradas com um determinado intervalo de tempo. Neste campo, é utilizada a transformada discreta de Fourier , que é uma aproximação ao longo de um determinado tempo de amostragem.
A multiplicação de uma função contínua por um “ pente de Dirac ”, soma de deltas equidistantes, tem uma transformada de Fourier igual à aproximação daquela da função original pelo método dos retângulos. Usando uma expansão em série de Fourier do pente, mostramos que o resultado dá a soma da transformada verdadeira e toda a sua traduzida pela frequência de amostragem. Se estes se sobrepõem à verdadeira transformada, ou seja, se o sinal contém frequências maiores que a metade da frequência de amostragem, o espectro é dobrado. Este é o fenômeno do aliasing . Caso contrário, é possível reconstruir o sinal exatamente usando a fórmula de Shannon .
(en) Eric W. Weisstein , “ Delta Function ” , no MathWorld
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