Transformação Z

A transformar ção Z é uma ferramenta matemática para o automático e de processamento de sinal , que é o equivalente discreta da transformada de Laplace . Ele transforma um sinal de domínio tempo real em um sinal representado por uma série complexa e chamou transformar ed Z .

É usado, entre outras coisas, para o cálculo de filtros digitais com resposta ao impulso infinita e em modo automático para modelar sistemas dinâmicos de forma discreta.

Definição

Sua definição matemática é a seguinte: a transformação em Z é um aplicativo que transforma uma sequência s (definida em inteiros) em uma função S de uma variável complexa chamada z , de modo que

S(z)=Z{s(não)}=∑não=-∞+∞s(não)z-não,z∈{z∈VS|∑não=-∞+∞s(não)z-nãovsonãoverge}{\ displaystyle S (z) = {\ mathcal {Z}} \ {s (n) \} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} s (n) z ^ {- n} , \ quad z \ in \ left \ lbrace z \ in \ mathbb {C} {\ Big |} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} s (n) z ^ {- n} \ quad \ mathrm {converge} \ right \ rbrace}

A variável n geralmente representa o tempo discretizado, a variável complexa z é apenas um ser matemático. Quando trabalhamos em s ( n ) dizemos que estamos no domínio do tempo , quando trabalhamos em S ( z ) o domínio é chamado de frequência por analogia com a transformada de Fourier.

Sim , estamos falando de um sinal causal. Por outro lado, sim , estamos falando de um sinal anti-causal. ∀não<0, s(não)=0{\ displaystyle \ forall n <0, \ s (n) = 0}∀não>0, s(não)=0{\ displaystyle \ forall n> 0, \ s (n) = 0}

Para sinais causais, também podemos usar a transformada Z monolateral  :

Z+{s(não)}=∑não=0+∞s(não)z-não{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {+} \ left \ {s \ left (n \ right) \ right \} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} s \ left (n \ direita) z ^ {- n}}

Existência da transformada em Z

O domínio de convergência é o subconjunto para o qual a série converge. Em outras palavras, o domínio de convergência da transformação na sequência é o conjunto: VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
z{\ displaystyle z}(x(não))não∈Z{\ displaystyle (x (n)) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}

{z∈VS|∑não=-∞∞x(não)z-nãoexeuste}{\ displaystyle \ left \ {z \ in \ mathbb {C} {\ Big |} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \ quad \ mathrm { existe} \ right \}}

O subconjunto para o qual essa série converge absolutamente é chamado de coroa de convergência . Ao posar , ele vem:VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}z=ρeeuθ {\ displaystyle z = \ rho e ^ {i \ theta} ~}

|S(z)|=|∑não=-∞∞x(não)z-não|⩽∑não=-∞∞|x(não)|ρ-não=limNÃO,M→∞SNÃO,M(ρ),{\ displaystyle | S (z) | = \ left | \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \ right | \ leqslant \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | x (n) \ right | \ rho ^ {- n} = \ lim _ {N, M \ rightarrow \ infty} S_ {N, M} \ left (\ rho \ direito),} com SNÃO,M(ρ)=∑não=-NÃOM|x(não)|ρ-não.{\ displaystyle S_ {N, M} \ left (\ rho \ right) = \ sum _ {n = -N} ^ {M} \ left \ vert x (n) \ right \ vert \ rho ^ {- n} .}

O domínio de convergência absoluta de é, portanto, uma coroa S(z){\ displaystyle S (z)}

VSvs={z∈VS:ρ1≺|z|≺ρ2}{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c} = \ left \ {z \ in \ mathbb {C}: \ rho _ {1} \ prec \ left \ vert z \ right \ vert \ prec \ rho _ {2} \ right \}}

onde significa cada vez ou e onde a desigualdade (ampla ou estrita) (resp. ) é a condição necessária e suficiente para que tenha um limite finito quando (resp. ) tende para . Explicitamente, ≺{\ displaystyle \ prec}<{\ displaystyle <}≤{\ displaystyle \ leq}|z|≻ρ1{\ displaystyle \ left \ vert z \ right \ vert \ succ \ rho _ {1}}|z|≺ρ2{\ displaystyle \ left \ vert z \ right \ vert \ prec \ rho _ {2}}SNÃO,M(ρ){\ displaystyle S_ {N, M} \ left (\ rho \ right)}M{\ displaystyle M}NÃO{\ displaystyle N}+∞{\ displaystyle + \ infty}

ρ1=lim supnão→+∞|x(não)|não,ρ2=lim infnão→+∞1|x(-não)|não.{\ displaystyle \ rho _ {1} = \ limsup _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ sqrt [{n}] {\ left \ vert x (n) \ right \ vert}}, \ quad \ rho _ {2} = \ liminf _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ frac {1} {\ sqrt [{n}] {\ left \ vert x (-n) \ right \ vert}}}.}

No restante do artigo, a coroa de convergência é assumida como não vazia e as transformadas em Z são válidas apenas para . VSvs{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}z∈VSvs{\ displaystyle z \ in {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}

Propriedades de transformação Z

Mostramos as propriedades listadas abaixo:

Linearidade

A transformada Z de uma combinação linear de dois sinais é a combinação linear das transformadas Z de cada sinal.

Z{no1x1(não)+no2x2(não)}=no1Z{x1(não)}+no2Z{x2(não)} {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {a_ {1} x_ {1} (n) + a_ {2} x_ {2} (n) \} = a_ {1} {\ mathcal {Z}} \ {x_ {1} (n) \} + a_ {2} {\ mathcal {Z}} \ {x_ {2} (n) \} \}Mudança de horário

O deslocamento de tempo de k amostras de um sinal resulta na multiplicação da transformada Z do sinal por z −k .

Z{x(não-k)}=z-kZ{x(não)}. {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {x (nk) \} = z ^ {- k} {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \}. ~}Avançado

Quando usamos a transformada Z monolateral (veja acima), obtemos

Z+{x(não+k)}=zk[Z+{x(não)}-∑j=0k-1x(j)z-j]{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {+} \ left \ {x \ left (n + k \ right) \ right \} = z ^ {k} \ left [{\ mathcal {Z}} _ { +} \ left \ {x \ left (n \ right) \ right \} - \ sum _ {j = 0} ^ {k-1} x \ left (j \ right) z ^ {- j} \ right] }Convolução

A transformada Z de um produto de convolução é o produto das transformadas Z

Z{x∗y}=Z{x}Z{y} {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {x * y \} = {\ mathcal {Z}} \ {x \} {\ mathcal {Z}} \ {y \} \}

onde . (x∗y)(não)=∑k=-∞+∞x(não-k)y(k){\ displaystyle \ left (x * y \ right) \ left (n \ right) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ left (nk \ right) y \ left (k \ direito)}

De fato,

Z({x∗y})(z)=∑não=-∞+∞{x⋆y}(não)z-não=∑não=-∞+∞∑k=-∞+∞x(não-k)y(k)z-(não-k)z-k=∑m=-∞+∞∑k=-∞+∞x(m)y(k)z-mz-k=(∑m=-∞+∞x(m)z-m)(∑k=-∞+∞y(k)z-k){\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} Z \ left (\ left \ {x * y \ right \} \ right) \ left (z \ right) & = & \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ left \ {x \ star y \ right \} \ left (n \ right) z ^ {- n} \\ & = & \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ sum \ limits _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ left (nk \ right) y \ left (k \ right) z ^ {- (nk)} z ^ {-k} \\ & = & \ sum \ limits _ {m = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ sum \ limits _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ left (m \ right) y \ left (k \ right) z ^ {- m} z ^ {- k} \\ & = & = & \ left (\ sum \ limits _ {m = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ left (m \ right) z ^ {- m} \ right) \ left (\ sum \ limits _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} y \ left (k \ right) z ^ {- k } \ right) \ end {array}}}Multiplicação por um exponencial Z{nonãox(não)}=X(zno){\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {a ^ {n} x (n) \} = X \ left ({\ frac {z} {a}} \ right)}com transformada em Z a partir do seguinteX(z){\ displaystyle X (z)}x(não){\ displaystyle x (n)} Multiplicação pela variável de evolução

Em geral:

Z{nãokx(não)}=(-zddz)kZ{x(não)} {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {n ^ {k} x (n) \} = \ left (-z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ right ) ^ {k} {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \} \}

onde significa que aplicamos k vezes ao operador(-zddz)kZ{x(não)}{\ displaystyle \ textstyle \ left (-z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ right) ^ {k} {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \ }}Z{x(não)}{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \}}-zddz{\ displaystyle \ textstyle -z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}}}

Se escrevermos esta fórmula no posto k = 1, obteremos a fórmula de derivação  :

Z{nãox(não)}=-zddzX(z) {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {nx (n) \} = - z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} X (z) \}

Teorema do valor inicial

Seja um sinal causal e sua transformação em Z. Então: x(não){\ displaystyle x (n) \,}X(z){\ displaystyle X (z) \,}

x(0)=limnão→0x(não)=limz→+∞X(z){\ displaystyle x (0) = \ lim _ {n \ to 0} x (n) = \ lim _ {z \ to + \ infty} X (z)}

Teorema do valor final

Considere um sinal causal e sua transformação em Z. Então, quando o limite esquerdo existe, podemos escrever: x(não){\ displaystyle x (n) \,}X(z){\ displaystyle X (z) \,}

limnão→+∞x(não)=limz→1,|z|>1(z-1)X(z){\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} x (n) = \ lim _ {z \ rightarrow 1, \ left \ vert z \ right \ vert> 1} (z-1) X (z)} Demonstração

O teorema do valor inicial tem uma prova óbvia: basta definir e substituir y por 0 na expressão para . y=z-1{\ displaystyle y = z ^ {- 1}}X(y-1){\ displaystyle X (y ^ {- 1})}

Para o teorema do valor final, observe que o fato de existir implica que a sequência é limitada e, portanto, que o raio de convergência de é menor ou igual a 1. Temos limnão→+∞x(não){\ displaystyle \ lim \ nolimits _ {n \ rightarrow + \ infty} x (n)}(x(não)){\ displaystyle (x (n))}ρ1{\ displaystyle \ rho _ {1}}X(z){\ displaystyle X (z)}

(z-1)X(z)=limnão→∞Snão(z){\ displaystyle (z-1) X \ left (z \ right) = \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} S_ {n} \ left (z \ right)}

com

Snão(z)=x(0)z+∑eu=1não(x(eu)-x(eu-1))z-eu{\ displaystyle S_ {n} \ left (z \ right) = x (0) z + \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} \ left (x (i) -x (i-1) \ direita) z ^ {- i}}

e essa sequência de funções é uniformemente convergente a céu aberto . O ponto 1 pertence à adesão de U e para , converge para . De acordo com o "teorema do limite duplo", portanto, temos você={z∈VS:|z|>1}{\ displaystyle U = \ left \ {z \ in \ mathbb {C}: \ left \ vert z \ right \ vert> 1 \ right \}}z→1{\ displaystyle z \ rightarrow 1}Snão(z){\ displaystyle S_ {n} \ left (z \ right)}x(não){\ displaystyle x (n)}

limz→1,|z|>1limnão→∞Snão(z)=limnão→∞(limz→1,|z|>1Snão(z))=limnão→∞x(não).{\ displaystyle \ lim \ limits _ {z \ rightarrow 1, \ left \ vert z \ right \ vert> 1} \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} S_ {n} \ left (z \ right) = \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ lim \ limits _ {z \ rightarrow 1, \ left \ vert z \ right \ vert> 1} S_ {n} \ left (z \ right) \ direita) = \ lim \ limits _ {n \ rightarrow \ infty} x \ left (n \ right).}

Transformação Z inversa

A transformação Z inversa é dada por:

x(não)=Z-1{X(z)}=12πeu∮VSX(z)znão-1dz {\ displaystyle x (n) = {\ mathcal {Z}} ^ {- 1} \ {X (z) \} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ anint _ {C} X ( z) z ^ {n-1} \ mathrm {d} z \}

onde é um caminho fechado percorrido no sentido anti-horário e pertencente inteiramente ao domínio da convergência. VS{\ displaystyle C}

Na prática, este cálculo é frequentemente realizado usando o teorema do resíduo e a fórmula torna-se, no caso de um sinal causal:

x(não)=∑zk=po^euesdeznão-1X(z)Res⁡{znão-1X(z)}z=zk{\ displaystyle x (n) = \ sum _ {z_ {k} = {\ rm {p {\ hat {o}} les \; de \;}} z ^ {n-1} X (z)} \ operatorname {Res} \ {z ^ {n-1} X (z) \} _ {z = z_ {k}} \,}

Outros métodos de reversão Outros métodos de inversão para ir de para são: leitura retroativa da tabela de transformações usuais; a aplicação das regras de deslocamento, de combinações lineares, de produto de convolução. Em desespero, pode-se sempre tentar proceder pela identificação, dando z k + 1 valores numéricos e procurando os coeficientes x (0) a x (k) que são soluções de um sistema de k + 1 equações lineares para k + 1 incógnitas. Ou tente encontrar uma expansão de Taylor ou Maclaurin da função a ser revertida. Um caso favorável especial surge quando a função é uma fração racional . De fato, quando: P e Q são dois polinômios em 1 / z, a divisão pode ser realizada até o grau de precisão desejado, e os valores numéricos dos coeficientes são obtidos diretamente , n variando de 0 a m. Neste caso, a notação é mais adotada neste caso . A razão é que, para sistemas discretos ou amostrados, a função de transferência é escrita h (n) e sua transformação em Z é freqüentemente apresentada nesta forma de quociente entre uma saída (em z) e uma entrada (em z) . Um exemplo concreto para ilustrar essa abordagem:X(z){\ displaystyle X (z)}x(não){\ displaystyle x (n)} X(z){\ displaystyle X (z)}X(z)=P(z)Q(z){\ displaystyle X (z) = {\ frac {P (z)} {Q (z)}}}x(não){\ displaystyle x (n)}H(z)=NÃOvocêM(z)/DENÃOOM(z) {\ displaystyle H (z) = {NUM (z)} / {DENOM (z)} \}H(z)=NÃOvocêM(z)/DENÃOOM(z) {\ displaystyle H (z) = {NUM (z)} / {DENOM (z)} \}   Quociente de polinômios em z, aproximação numérica.

Atenção, este método é puramente numérico, ele não fornece a expressão analítica da série inversa. Neste exemplo, H (z) é a razão de dois polinômios em 1 / z. O numerador parece estar multiplicando por 2, o denominador alterado por 1 ponto, mas escolhemos valores numéricos um tanto imprecisos para evitar um quociente perfeito igual a 2 / z.

• O numerador, à potência de 11, é uma expressão da forma: NÃOvocêM(z)=nãovocêm0+nãovocêm1(1/z)1+nãovocêm2(1/z)2+⋯+nãovocêm11(1/z)11{\ displaystyle \ textstyle \ scriptstyle NUM (z) = num_ {0} + num_ {1} (1 / z) ^ {1} + num_ {2} (1 / z) ^ {2} + \ cdots + num_ { 11} (1 / z) ^ {11}} NÃOvocêM(z)=0+0(1/z)1+2,3⋅(1/z)2+4,22⋅(1/z)3+6,2⋅(1/z)4+8,21⋅(1/z)5+10,2⋅(1/z)6+12,2⋅(1/z)7+12,22⋅(1/z)8+12,4⋅(1/z)9+12,4⋅(1/z)10+12,4⋅(1/z)11.{\ displaystyle NUM (z) = 0 + 0 (1 / z) ^ {1} +2,3 \ cdot (1 / z) ^ {2} +4,22 \ cdot (1 / z) ^ {3} +6,2 \ cdot (1 / z) ^ {4} +8,21 \ cdot (1 / z) ^ {5} +10,2 \ cdot (1 / z) ^ {6} +12,2 \ cdot (1 / z) ^ {7} +12,22 \ cdot (1 / z) ^ {8} +12,4 \ cdot (1 / z) ^ {9} +12,4 \ cdot (1 / z) ^ {10} +12,4 \ cdot (1 / z) ^ {11} .}
• O denominador, à potência de 10, é: DENÃOOM(z)=0+1,1⋅(1/z)1+2,1⋅(1/z)2+3,1⋅(1/z)3+4,1⋅(1/z)4+5,1⋅(1/z)5+6,1⋅(1/z)6+6,1⋅(1/z)7+6,2⋅(1/z)8+6,2⋅(1/z)9+6,2⋅(1/z)10.{\ displaystyle DENOM (z) = 0 + 1,1 \ cdot (1 / z) ^ {1} +2,1 \ cdot (1 / z) ^ {2} +3,1 \ cdot (1 / z) ^ {3} +4 , 1 \ cdot (1 / z) ^ {4} +5,1 \ cdot (1 / z) ^ {5} +6,1 \ cdot (1 / z) ^ {6} + 6,1 \ cdot (1 / z) ^ {7} +6,2 \ cdot (1 / z) ^ {8} +6,2 \ cdot (1 / z) ^ {9} +6,2 \ cdot (1 / z) ^ {10}.}
• Aqui a divisão dos polinômios não "cai bem", estamos satisfeitos com uma aproximação do quociente Q (z), da forma até a potência de 10:
  ∑não≥0qnão(1/z)não{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} q_ {n} (1 / z) ^ {n}}
  

Q(z)=0+2,090909⋅(1/z)1-0,155372⋅(1/z)2+0,040421⋅(1/z)3+0,0309047⋅(1/z)4-0,015368⋅(1/z)5+0,007694⋅(1/z)6+0,101526⋅(1/z)7-0,176646⋅(1/z)8+0,061258⋅(1/z)9+0,015904⋅(1/z)10.{\ displaystyle {\ begin {matrix} Q (z) & = 0 + 2.090909 \ cdot (1 / z) ^ {1} -0,155372 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0,040421 \ cdot (1 / z) ^ {3} +0,0309047 \ cdot (1 / z) ^ {4} -0,015368 \ cdot (1 / z) ^ {5} \\ & + 0,007694 \ cdot (1 / z) ^ {6} +0,101526 \ cdot (1 / z) ^ {7} -0,176646 \ cdot (1 / z) ^ {8} +0,061258 \ cdot (1 / z) ^ {9} +0,015904 \ cdot (1 / z ) ^ {10}. \ End {matriz}}}

• O restante R (z) desta divisão incompleta é:

R(z)=0+0⋅(1/z)1+0⋅(1/z)2+0⋅(1/z)3+0⋅(1/z)4+0⋅(1/z)5+0⋅(1/z)6+0⋅(1/z)7+0⋅(1/z)8+0⋅(1/z)9+0⋅(1/z)10+0⋅(1/z)11+0,550806⋅(1/z)12-0,413006⋅(1/z)13-0,063683⋅(1/z)14+0,040876⋅(1/z)15-0,052647⋅(1/z)16-0,011071⋅(1/z)17+0,616793⋅(1/z)18-0,478404⋅(1/z)19-0,098602(1/z)20.{\ displaystyle {\ begin {matrix} R (z) & = 0 + 0 \ cdot (1 / z) ^ {1} +0 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0 \ cdot (1 / z) ) ^ {3} +0 \ cdot (1 / z) ^ {4} +0 \ cdot (1 / z) ^ {5} +0 \ cdot (1 / z) ^ {6} \\ & + 0 \ cdot (1 / z) ^ {7} +0 \ cdot (1 / z) ^ {8} +0 \ cdot (1 / z) ^ {9} +0 \ cdot (1 / z) ^ {10} + 0 \ cdot (1 / z) ^ {11} +0,550806 \ cdot (1 / z) ^ {12} \\ & - 0,413006 \ cdot (1 / z) ^ {13} -0,063683 \ cdot (1 / z) ^ {14} +0,040876 \ cdot (1 / z) ^ {15} -0,052647 \ cdot (1 / z) ^ {16} \\ & - 0,011071 \ cdot (1 / z) ^ {17} +0,616793 \ cdot (1 / z) ^ {18} -0,478404 \ cdot (1 / z) ^ {19} -0,098602 (1 / z) ^ {20}. \ End {matriz}}}

Podemos verificar em uma planilha ou manualmente se esses polinômios atendem à definição de divisão euclidiana : H (z) = NUM ​​(z) / DENOM (z) = Q (z) + R (z) / DENOM (z) . Assumimos que o resto é desprezível em comparação com os coeficientes do quociente. Os diagramas desses vários polinômios podem ser visualizados em uma planilha da seguinte maneira.

Por curiosidade, podemos exibir a resposta ao impulso da aproximação Q (z) de H (z). Da mesma forma, podemos exibir a resposta do índice de Q (z) a uma etapa de Heaviside.

Se estivéssemos satisfeitos com uma aproximação menos precisa de H (z) pelo quociente Q (z), da forma

∑não≥0qnão(1/z)não{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} q_ {n} (1 / z) ^ {n}} até a potência de 5, por exemplo: Q(z)=0+2,090909⋅(1/z)1-0,155372⋅(1/z)2+0,040421⋅(1/z)3+0,0309047⋅(1/z)4-0,015368⋅(1/z)5+0,{\ displaystyle \ textstyle \ scriptstyle Q (z) = 0 + 2.090909 \ cdot (1 / z) ^ {1} -0,155372 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0,040421 \ cdot ( 1 / z) ^ {3} +0,0309047 \ cdot (1 / z) ^ {4} -0,015368 \ cdot (1 / z) ^ {5} +0,} obteríamos curvas de resposta ligeiramente diferentes, muito menos precisas (imprecisão 6 vezes maior aproximadamente). A escolha do grau de aproximação, ou seja, do melhor compromisso entre a precisão e o peso dos cálculos, é ditada pelo exame concreto do problema específico de que estamos tratando.   Processo por identificação aproximada dos coeficientes de X (z). Para ir de para , se nenhum método parece conduzir, no desespero, podemos sempre tentar prosseguir pela identificação, dando z k + 1 valores numéricos e procurando os coeficientes x (0) a x (k) que são soluções de um sistema de k + 1 equações lineares com k + 1 incógnitas. Exemplo:X(z){\ displaystyle X (z)}x(não){\ displaystyle x (n)}   Uso de frações racionais, exemplo da função de transferência da sequência de Fibonacci.

A série geradora da sequência de Fibonacci é ∑não∈NÃOFnãoXnão=X1-X-X2{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ mathcal {F}} _ {n} X ^ {n} = {\ frac {X} {1-XX ^ {2}}}} então sua transformação em Z é

F(z)=zz2-z-1{\ displaystyle F (z) = {\ frac {z} {z ^ {2} -z-1}}}

Para encontrar a fórmula de Binet , vamos fazer a transformação reversa. O método das frações racionais pode ser tentado. O denominador tem dois pólos, e que são o número de ouro  : e o oposto de seu oposto: . Para os cálculos encontrados abaixo, usaremos as seguintes propriedades de e  :, e z0{\ displaystyle z_ {0}}z1{\ displaystyle z_ {1}}z0=φ=1+52{\ displaystyle z_ {0} = \ varphi = {1 + {\ sqrt {5}} \ over 2}}z1=1-φ=1-52{\ displaystyle z_ {1} = 1- \ varphi = {1 - {\ sqrt {5}} \ over 2}}z0{\ displaystyle z_ {0}}z1{\ displaystyle z_ {1}}z0-z1=(2⋅z0-1)=5{\ displaystyle z_ {0} -z_ {1} = (2 \ cdot z_ {0} -1) = {\ sqrt {5}}}

(z-z0)⋅(z-z1)=z2-z-1{\ displaystyle (z-z_ {0}) \ cdot (z-z_ {1}) = z ^ {2} -z-1}.

A função se divide em frações racionais elementares que reescrevemos um pouco:

F(z)=zz2-z-1=15⋅(z0z-z0-z1z-z1)=15⋅(z0⋅1z-z0-z1⋅1z-z1){\ displaystyle F (z) = {\ frac {z} {z ^ {2} -z-1}} = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ cdot \ left ({\ frac { z_ {0}} {z-z_ {0}}} - {\ frac {z_ {1}} {z-z_ {1}}} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {5}} } \ cdot \ left (z_ {0} \ cdot {\ frac {1} {z-z_ {0}}} - z_ {1} \ cdot {\ frac {1} {z-z_ {1}}} \ direito)}.

Uma fração do tipo pode ser trabalhada da seguinte forma: 1/(z-z0){\ displaystyle 1 / (z-z_ {0})}

1(z-z0)=z(z-z0)⋅1z{\ displaystyle {\ frac {1} {(z-z_ {0})}} = {\ frac {z} {(z-z_ {0})}} \ cdot {\ frac {1} {z}} }

A primeira parte sendo a transformação da fórmula exponencial usual, a segunda parte 1 / z sendo o atraso puro de um entalhe. Para que a transformada inversa desta fração elementar seja , aplicando as regras de combinações lineares calculamos a sequência procurada: z0não{\ displaystyle z_ {0} ^ {n}}z0não-1{\ displaystyle z_ {0} ^ {n-1}}

Fnão=15(z0⋅z0não-1-z1⋅z1não-1)=15(z0não-z1não).{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ left (z_ {0} \ cdot z_ {0} ^ {n-1} -z_ {1} \ cdot z_ {1} ^ {n-1} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ left (z_ {0} ^ {n} -z_ {1} ^ {n} \ certo).}  

Relacionamento com outras transformações

Transformada de Laplace

Teorema  -  Seja x um sinal, assumido como uma função indefinidamente diferenciável, e (com substituição, denotando uma distribuição como uma função)

Δ(t)=∑não=-∞∞δ(t-nãoT){\ displaystyle \ Delta \ left (t \ right) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (t-nT \ right)}

o favo de Dirac (que pertence ao espaço das distribuições temperadas ). O sinal amostrado , definido por , é uma distribuição que pode ser escrita como S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}xe=xΔ{\ displaystyle x_ {e} = x \ Delta}

xe(t)=∑não=-∞∞x(nãoT)δ(t-nãoT)=∑não=-∞∞x[não]δ(t-nãoT){\ displaystyle x_ {e} \ left (t \ right) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) \ delta \ left (t-nT \ right ) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left [n \ right] \ delta \ left (t-nT \ right)}.

A correspondência é uma sobreposição da banda de convergência da transformada de Laplace do sinal amostrado (assumindo esta banda de convergência não vazia) na coroa de convergência da transformada Z da sequência de termo geral , e temos p↦z=epT{\ displaystyle p \ mapsto z = e ^ {pT}} Xe(p){\ displaystyle X_ {e} (p)}xe{\ displaystyle x_ {e}}X(z){\ displaystyle X (z)}x[não]{\ displaystyle x [n]}

Xe(p)=X(z)|z=epT{\ displaystyle X_ {e} \ left (p \ right) = X \ left (z \ right) \ left \ vert _ {z = e ^ {pT}} \ right.}. Demonstração

Qualquer um pertencente à banda de convergência de . Então (com um novo abuso da escrita) pertence e, por definição , onde denota a transformada de Fourier . Deixe onde está o espaço de Schwartz de funções decrescentes (das quais é o dual). Temos (ainda em escrita inadequada) p=α+euω{\ displaystyle p = \ alpha + i \ omega}Xe(p){\ displaystyle X_ {e} (p)}e-αtxe(t){\ displaystyle e ^ {- \ alpha t} x_ {e} (t)}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}Xe(p)=F(e-αtxe(t))(ω){\ displaystyle X_ {e} \ left (p \ right) = {\ mathcal {F}} \ left (e ^ {- \ alpha t} x_ {e} \ left (t \ right) \ right) \ left ( \ omega \ right)}F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}ϕ∈S{\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {S}}}S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}

⟨Xe(α+euω),φ(ω)⟩=⟨xe(t)e-αt,(Fφ)(t)⟩=⟨∑não=-∞∞δ(t-nãoT)x(t)e-αt,(Fφ)(t)⟩=⟨∑não=-∞∞x(nãoT)e-nãoαTδ(t-nãoT),(Fφ)(t)⟩=⟨∑não=-∞∞x(nãoT)e-nãoαT(Fδ(t-nãoT)),φ(ω)⟩=⟨∑não=-∞∞x(nãoT)e-nãoαTe-euωnãoT,φ(ω)⟩=⟨∑não=-∞∞x(nãoT)e-não(α+euω)T,φ(ω)⟩{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ left \ langle X_ {e} \ left (\ alpha + i \ omega \ right), \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle & = \ left \ langle x_ {e} \ left (t \ right) e ^ {- \ alpha t}, ({\ mathcal {F}} \ varphi) \ left (t \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (t-nT \ right) x \ left (t \ right) e ^ {- \ alpha t}, ({\ mathcal { F}} \ varphi) \ left (t \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n \ alpha T} \ delta \ left (t-nT \ right), ({\ mathcal {F}} \ varphi) \ left (t \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n \ alpha T} ({\ mathcal {F}} \ delta \ left (t- nT \ right)), \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n \ alpha T} e ^ {- i \ omega nT}, \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limits _ { n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n (\ alpha + i \ omega) T}, \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle \ fim {alinhado}}}

Consequentemente

Xe(p)=X(z)|z=epT{\ displaystyle X_ {e} (p) = X \ left (z \ right) \ left \ vert _ {z = e ^ {pT}} \ right.}.

As igualdades acima são válidas porque em cada gancho de dualidade, temos à esquerda uma distribuição temperada e à direita uma função decrescente; portanto, a substituição envia a banda de convergência de do sinal amostrado para o anel de convergência de . p↦z=epT{\ displaystyle p \ mapsto z = e ^ {pT}}Bvs{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {c}}Xe(p){\ displaystyle X_ {e} (p)}xe{\ displaystyle x_ {e}}VSvs{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}X(z){\ displaystyle X (z)}

Reciprocamente, seja a seqüência de termos gerais  ; vamos definir e . O número complexo pertence a se, e somente se a sequência de termos gerais pertencer ao espaço de "sequências de crescimento lento" (ou seja, de sequências a para as quais existe um inteiro como para . A transformada de Fourier de tal continuação é - distribuição periódica x[não]{\ displaystyle x \ left [n \ right]}xα[não]=x[não]e-αnãoT{\ displaystyle x _ {\ alpha} \ left [n \ right] = x \ left [n \ right] e ^ {- \ alpha nT}}p=α+euω{\ displaystyle p = \ alpha + i \ omega}z=epT{\ displaystyle z = e ^ {pT}}VSvs{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}xα[não]{\ displaystyle x _ {\ alpha} \ left [n \ right]}s′{\ displaystyle \ mathbf {s} ^ {\ prime}}k>0{\ displaystyle k> 0}no[não]=O(nãok){\ displaystyle a \ left [n \ right] = O (n ^ {k})}não→∞{\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}2π/T{\ displaystyle 2 \ pi / T}

(Fno)(ω)=∑não=-∞∞no[não]e-eunãoωT{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} a) \ left (\ omega \ right) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a \ left [n \ right] e ^ { -em \ omega T}}.

Vamos associar a sequência com a distribuição definida (em notação abusiva) por no_{\ displaystyle {\ underline {a}}}

no_(t)=∑não=-∞∞no[não]δ(t-nãoT){\ displaystyle {\ underline {a}} \ left (t \ right) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a \ left [n \ right] \ delta \ left (t- nT \ right)}.

O mapa é um monomorfismo de no espaço de distribuições temperadas e a transformada de Fourier é um automorfismo de . Em seguida, obtemos (ainda em notação abusiva) no↦no_{\ displaystyle a \ mapsto {\ underline {a}}}s′{\ displaystyle \ mathbf {s} ^ {\ prime}}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}

(Fno)(ω)=no_(t)e-euωt{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} a) \ left (\ omega \ right) = {\ underline {a}} \ left (t \ right) e ^ {- i \ omega t}}.

O acima mostra que

⟨Xe(α+euω),φ(ω)⟩=⟨(Fxα_)(ω),φ(ω)⟩.{\ displaystyle \ left \ langle X_ {e} \ left (\ alpha + i \ omega \ right), \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle = \ left \ langle ({\ mathcal {F} } {\ underline {x _ {\ alpha}}}) \ left (\ omega \ right), \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle.}

Vamos recapitular: se , então , portanto , portanto , portanto (notação abusiva) , portanto . Mostramos, portanto, que a correspondência é uma abandono de on . z∈VSvs{\ displaystyle z \ in {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}(xα[não])∈s′{\ displaystyle \ left (x _ {\ alpha} \ left [n \ right] \ right) \ in \ mathbf {s} ^ {\ prime}}xα_∈S′{\ displaystyle {\ underline {x _ {\ alpha}}} \ in {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}Fxα_∈S′{\ displaystyle {\ mathcal {F}} {\ underline {x _ {\ alpha}}} \ in {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}Xe(α+euω)∈S′{\ displaystyle X_ {e} \ left (\ alpha + i \ omega \ right) \ in {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}p∈Bvs{\ displaystyle p \ in {\ mathcal {B}} _ {c}}p↦z=epT{\ displaystyle p \ mapsto z = e ^ {pT}}Bvs{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {c}}VSvs{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}

Transformada de Fourier e transformada discreta de Fourier

Se o círculo unitário pertence à coroa de convergência , a transformada de Fourier da seqüência é obtida levando-se a restrição da transformada Z desta seqüência ao círculo unitário, ou seja, colocando . A transformada de Fourier é de fato a função -periódica (é -periódica se definirmos e tomarmos a pulsação como uma variável ). Se for uma sequência de números reais, podemos , portanto, supor que variam no intervalo . VSvs{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}(x[não]) {\ displaystyle (x [n]) \}z=eeuθ{\ displaystyle z = e ^ {i \ theta}}2π{\ displaystyle 2 \ pi}θ↦X(eeuθ){\ displaystyle \ theta \ mapsto X \ left (e ^ {i \ theta} \ right)}2π/T{\ displaystyle 2 \ pi / T}θ=ωT{\ displaystyle \ theta = \ omega T}ω{\ displaystyle \ omega}(x[não]) {\ displaystyle (x [n]) \}X(e-euθ)=X(eeuθ)¯{\ displaystyle X \ left (e ^ {- i \ theta} \ right) = {\ overline {X \ left (e ^ {i \ theta} \ right)}}}θ{\ displaystyle \ theta}[0,π[{\ displaystyle \ left [0, \ pi \ right [}

A transformada de Fourier pode ser definida para sequências de crescimento lento (é então uma distribuição -periódica) e a transformada Z desta transformada de Fourier mais geral (veja a demonstração acima). 2π{\ displaystyle 2 \ pi}

Também existe uma relação entre a transformada Z e a transformada discreta de Fourier (DFT). O TFD de um sinal de suporte é obtido avaliando em (com ). {xnão}{\ displaystyle \ left \ {x_ {n} \ right \}}{0,1,...,NÃO-1}{\ displaystyle \ left \ {0,1, ..., N-1 \ right \}}X(z){\ displaystyle X (z)}z=eeu2πkNÃO{\ displaystyle z = e ^ {i {\ frac {2 \ pi k} {N}}}}k=0,1,...,NÃO-1{\ displaystyle \ qquad k = 0,1, ..., N-1}

Transformações Z usuais

Abaixo, representa o impulso unitário ou “seqüência Kronecker  ” (igual a 1 para e 0 caso contrário; também pode ser escrito , onde está o símbolo Kronecker ); por outro lado, designa o degrau unitário (igual a 1 para e a 0 caso contrário). δ[não]{\ displaystyle \ delta [n] \,}não=0{\ displaystyle n = 0}δ0não{\ displaystyle \ delta _ {0} ^ {n}}δeuj{\ displaystyle \ delta _ {i} ^ {j}}você[não]{\ displaystyle u [n] \,}não≥0{\ displaystyle n \ geq 0}

Transformações Z

	Sinal x(não){\ displaystyle x (n)}	Transformado em Z X(z){\ displaystyle X (z)}	Área de convergência
1	δ[não]{\ displaystyle \ delta [n] \,}	1{\ displaystyle 1 \,}	VS {\ displaystyle \ mathbb {C} \}
2	você[não]{\ displaystyle u [n] \,}	11-z-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-z ^ {- 1}}}}	|z|>1{\ displaystyle | z |> 1 \,}
3	nãovocê[não]{\ displaystyle nu [n] \,}	z-1(1-z-1)2{\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1}} {(1-z ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|>1{\ displaystyle | z |> 1 \,}
4	nonãovocê[não]{\ displaystyle a ^ {n} u [n] \,}	11-noz-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}	|z|>|no|{\ displaystyle | z |> | a | \,}
5	nãononãovocê[não]{\ displaystyle na ^ {n} u [n] \,}	noz-1(1-noz-1)2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1}} {(1-az ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|>|no|{\ displaystyle | z |> | a | \,}
6	-nonãovocê[-não-1]{\ displaystyle -a ^ {n} u [-n-1] \,}	11-noz-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}	|z|<|no|{\ displaystyle | z | <| a | \,}
7	-nãononãovocê[-não-1]{\ displaystyle -na ^ {n} u [-n-1] \,}	noz-1(1-noz-1)2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1}} {(1-az ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|<|no|{\ displaystyle | z | <| a | \,}
8	cos⁡(ω0não)você[não]{\ displaystyle \ cos (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	1-z-1cos⁡(ω0)1-2z-1cos⁡(ω0)+z-2{\ displaystyle {\ frac {1-z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0})} {1-2z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + z ^ {- 2}}}}	|z|>1{\ displaystyle | z |> 1 \,}
9	pecado⁡(ω0não)você[não]{\ displaystyle \ sin (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	z-1pecado⁡(ω0)1-2z-1cos⁡(ω0)+z-2{\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1} \ sin (\ omega _ {0})} {1-2z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + z ^ {- 2} }}}	|z|>1{\ displaystyle | z |> 1 \,}
10	nonãocos⁡(ω0não)você[não]{\ displaystyle a ^ {n} \ cos (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	1-noz-1cos⁡(ω0)1-2noz-1cos⁡(ω0)+no2z-2{\ displaystyle {\ frac {1-az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0})} {1-2az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + a ^ {2 } z ^ {- 2}}}}	|z|>|no|{\ displaystyle | z |> | a | \,}
11	nonãopecado⁡(ω0não)você[não]{\ displaystyle a ^ {n} \ sin (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	noz-1pecado⁡(ω0)1-2noz-1cos⁡(ω0)+no2z-2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1} \ sin (\ omega _ {0})} {1-2az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + a ^ {2} z ^ {- 2}}}}	|z|>|no|{\ displaystyle | z |> | a | \,}

Notas e referências

Notas

1. Bourlès 2010 , §12.3.5
2. De acordo com Lang 1993 , §II.2
3. Bourlès 2010 , §§12.3.5, 12.4.4; Pallu de la Barrière 1966 , cap. II
4. Bourlès 2010 , §10.2.3
5. Invertemos em uma etapa do cálculo e , o que podemos justificar ( Schwartz 1965 , §V.5)F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}∑{\ displaystyle \ sum}
6. Bourlès 2010 , §12.3.2
7. Pallu de la Barrière 1966 , cap. 10, §4, Lema 9.
8. Bourlès 2010 , §§12.3.3, 12.3.5

Referências

• Henri Bourlès , Linear Systems , John Wiley & Sons ,2010, 544  p. ( ISBN  978-1-84821-162-9 e 1-84821-162-7 )
• (en) Serge Lang , Complex Analysis (3ª ed.) , New York / Berlin / Paris etc., Springer,1993, 458  p. ( ISBN  0-387-97886-0 )
• Robert Pallu de la Barrière , curso teórico de automáticas , Dunod,1966
• Laurent Schwartz , Métodos matemáticos para as ciências físicas , Hermann,1965

Veja também

• Filtro digital
• Transformação de Laplace # Valor final
• Função de transferência

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