Espaço Schwartz

Em matemática , o espaço de Schwartz é o espaço das funções decrescentes (isto é, das funções indefinidamente diferenciáveis com decréscimo rápido, bem como suas derivadas de todas as ordens). O dual desse espaço é o espaço das distribuições temperadas . Espaços e desempenham um papel essencial na teoria da transformada de Fourier . ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}}$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}} ^ {{\ prime}}$

Definição

Uma função $f$ faz parte do espaço quando é indefinidamente diferenciável, e se $f$ e todas as suas derivadas estão diminuindo rapidamente , ou seja, seu produto por qualquer função polinomial é limitado ao infinito. As funções pertencentes a estão em declínio . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}$

Para dois multi-índices , definimos as normas por ${\ displaystyle \ alpha, \ beta}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ alpha, \ beta}}$

{\ displaystyle \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} = \ | x ^ {\ alpha} D ^ {\ beta} f \ | _ {\ infty}}

onde é a derivada da ordem de $f$ . Então, o espaço de Schwartz pode ser descrito como ${\ displaystyle D ^ {\ beta} f}$ $\beta$

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}) = \ {f \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ mid \ forall (\ alpha, \ beta) \ \ | f \ | _ {\ alpha, \ beta} <+ \ infty \}}

Se não houver ambigüidade, o espaço pode ser simplesmente representado pela letra . ${\ mathcal {S}}$

Propriedades

Topologia

O espaço de Schwartz pode ser fornecido com uma topologia, a topologia inicial associada à família de semi-normas , equivalente àquela associada à família de filtragem de semi-normas definidas por: $(\ |. \ | _ {{\ alpha, \ beta}}) _ {{\ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} ^ {N}}}$ $({\ mathcal {N}} _ {p}) _ {{p \ in \ mathbb {N}}}$

{\ mathcal {N}} _ {p} (.) = \ sum _ {{| \ alpha |, | \ beta | \ leq p}} \ |. \ | _ {{\ alpha, \ beta}}, \, p \ in \ mathbb {N}.

O espaço de Schwartz é, munido desta topologia, um espaço de Fréchet . Sendo definido por uma família de semitrorma de filtragem contável , é de fato um espaço localmente convexo , separado e metrizável , e mostramos posteriormente que ele é completo .

A convergência de uma sequência de é, portanto, definida como segue. Uma sequência de funções converge em que um se e se a função ${\ mathcal {S}}$ ${\ displaystyle (\ phi _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi$ $\ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$

\ forall p \ in \ mathbb {N} \ quad \ lim _ {{n \ to \ infty}} {\ mathcal {N}} _ {p} (\ phi _ {n} - \ phi) = 0.

Seu dual topológico é o espaço das distribuições temperadas ${\ mathcal {S}} '$ .

Exemplos

O espaço contém o espaço das funções C ∞ com suporte compacto . Este espaço, também notado , é denso no sentido da (forte) convergência definida acima. ${\ mathcal {S}}$ $\ mathcal {D}$ $C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$
Ele também contém outros elementos, como as funções da forma do produto de um polinômio e um gaussiano:

x \ mapsto x ^ {\ alpha} e ^ {{- a \ | x \ | ^ {2}}} \ in {\ mathcal {S}}

para qualquer α multi-índice e qualquer real .

a> 0

O espaço é um subespaço vetorial dos diferentes espaços $L$ $p$ para $1 \leq$ $p$ $\leq + \infty$ . Além disso, é denso em cada um desses conjuntos, exceto $L$ $\infty$ . ${\ mathcal {S}}$

Operações espaciais de Schwartz

O espaço é estável por adição interna e por derivação, e essas operações definem operadores contínuos. ${\ mathcal {S}}$
O espaço é estável por multiplicação interna, ou mesmo por multiplicação por qualquer função de. Em particular, é estável por multiplicação por uma função polinomial. Para qualquer função de , o operador definido por é contínuo em si mesmo. ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N}).$ $f$ ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi \ mapsto f \ phi$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$

Multiplicadores de :

{\ mathcal {S}}

Definimos o espaço de multiplicadores de como o subconjunto das funções de cujas todas as derivadas estão com crescimento polinomial, ou seja, ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {N})$

\ forall \ alpha \ in (\ mathbb {N} ^ {N}) \ quad \ existe C _ {\ alpha}> 0, \ existe N _ {\ alpha} \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {N} \ quad | (\ partial ^ {\ alpha} f) (x) | \ leq C _ {\ alpha} (1+ | x |) ^ {{N _ {\ alfa}}}.

Chamamos o espaço de crescimento lento de funções diferenciáveis indefinidamente. ${\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})$

A transformação de Fourier induz um automorfismo topológico de . Este automorfismo é dado por ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {F}}$ $\ left ({\ mathcal {F}} f \ right) \ left (\ xi \ right) = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {N}}} f (x) {{\ rm {e} }} ^ {{- 2 {{\ rm {i}}} \ pi \ xi x}} {{\ rm {d}}} x$ onde o automorfismo inverso é dado por $\ xi x = \ sum _ {{k = 1}} ^ {N} \ xi _ {k} x_ {k}.$ ${\ mathcal {{\ bar {F}}}},$ $\ left ({\ mathcal {{\ bar {F}}}} f \ right) \ left (\ xi \ right) = \ int _ {{\ mathbb {R} ^ {N}}} f (x) { {\ rm {e}}} ^ {{2 {{\ rm {i}}} \ pi \ xi x}} {{\ rm {d}}} x.$ O teorema de Plancherel-Parseval diz que se dotamos a estrutura pré - hilbertiana induzida pela transformação de Fourier é um operador unitário de si mesmo. ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ $L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ supset {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$
A classe Schwartz é absorvente para o produto de convolução com ${\ mathcal {E}} '$ : para qualquer distribuição com suporte compacto e função Schwartz temos $T \ in {\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ $\ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$

T \ ast \ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}).

Em termos mais gerais, que representam o conjunto de convolors de que é para dizer que o conjunto de distribuição tal como foi enviado continuamente em Este conjunto é um subespaço vector de (isto é, do espaço de distribuições temperadas ) que contém as distribuições com suporte compacto e as funções de decaimento rápido integráveis localmente . É por isso que chamamos o espaço de distribuições em declínio rápido. Equipado com o produto de convolução, é além disso uma álgebra associativa , comutativa e unificada na qual e são módulos unitários. ${\ mathcal {O}} _ {c} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),$ $T \ in {\ mathcal {D}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ $g \ mapsto g \ ast T$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}).$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {O}} _ {c} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {O}} _ {{c}} ^ {{\ prime}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})$ ${\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})$

Notas e referências

Observação

Referências

(pt) Harish-Chandra , “ Discrete series for semisimple Lie groups. II. Determinação explícita dos personagens ” , Acta Math. , vol. 116,1966, p. 1-111
L. Schwartz , " Teoria das distribuições e transformação de Fourier ", Annales de l ' Université de Grenoble , vol. 23, 1947-1948, pág. 7-24 ( ler online )
Laurent Schwartz , Teoria das Distribuições , Paris, Hermann,1966, 418 p. ( ISBN 2-7056-5551-4 )
[PDF] F. Golse , Distribuições, análise de Fourier, equações diferenciais parciais , École polytechnique, 2012, folheto do curso