Resposta de impulso

No processamento de sinais , a resposta ao impulso de um processo é o sinal de saída que é obtido quando a entrada é um pulso, ou seja, uma mudança repentina e breve no sinal. De fato, quando um pulso é fornecido para a entrada de um sistema linear , a saída geralmente não é mais um pulso, mas um sinal com uma certa duração (às vezes infinito como no caso de um impulso infinito de filtro de resposta (RII)). A resposta ao impulso permite a representação de um sistema com base apenas em sua entrada e saída, ao contrário de uma representação de estado .

Definição matemática de impulso

Para um sistema de tempo contínuo , o modelo matemático de um pulso é uma distribuição de Dirac .

Para um sistema de tempo discreto (e não o próprio sistema), um pulso é definido abaixo:

{\ displaystyle \ delta [n] = \ left \ {{\ begin {array} {cl} 1 & \ mathrm {si} \ n = 0 \\ 0 & \ mathrm {caso contrário} \ \ end {array}} \ certo.}

Em ambos os casos, a resposta ao impulso é a saída do sistema em resposta a esse impulso.

Resposta ao impulso de um sistema invariante linear (SLI)

Caracterização de um SLI por sua resposta ao impulso

Seja $T$ a representação matemática de um sistema de tempo discreto; a uma entrada $u$ corresponde a uma saída $y$ satisfazendo a relação:

{\ displaystyle \ {y (n) \} = T [\ {u (n) \}].}

$T$ é, portanto, uma aplicação do espaço das sequências em si.

Suponha ainda que $T$ seja linear e invariante por translação temporal. Neste caso, a resposta ao impulso

{\ displaystyle \ {h (n) \} = T [\ {\ delta (n) \}]}

caracteriza completamente o sistema, a saída $y$ podendo ser calculada a partir de qualquer entrada $u$ aplicando a seguinte relação no caso discreto:

{\ displaystyle y (n) = \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} h (nk) u (k) = \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} h (k) u (nk ) \}

No caso contínuo, esta relação é escrita, da mesma forma:

{\ displaystyle y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t- \ tau) u (\ tau) d \ tau = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) u (t- \ tau) d \ tau.}

Essas operações correspondem a um produto da convolução entre a entrada $u$ e a resposta ao impulso $h$ , que denotamos por $u * h$ . Portanto, temos a relação $y = u * h$ .

Prova (caso discreto)

O pulso unitário $δ$ possui a seguinte propriedade: Esta propriedade permite extrair o valor do sinal $u$ em $n$ $= 0$ simplesmente multiplicando-o por . Da mesma forma, para recuperar o valor do sinal em um instante $n = k$ , basta multiplicá-lo pelo pulso de deslocamento . ${\ displaystyle u (\ cdot) \ delta (\ cdot) = u (0) \ delta (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ delta (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ delta (\ cdot -k)}$

Observa-se, portanto, que uma entrada $u$ é uma série de pulsos discretos deslocados no tempo. Como o sistema é invariável, o deslocamento dos pulsos simplesmente produz uma saída que também é deslocada (ver sistema invariável ). A linearidade do sistema permite, então, expressar a saída $y$ pela soma das respostas específicas a cada um de seus pulsos.

Vamos então considerar a contribuição no tempo $n$ do pulso deslocado por $k 0$ : para uma entrada , a saída no tempo $n$ vale $h$ $($ $n -k$ $0$ $)$ $u$ $($ $k$ $0$ $)$ . ${\ displaystyle u (k_ {0}) \ delta (\ cdot -k_ {0})}$

A resposta total é assim obtida somando as contribuições de todos os impulsos deslocados, a saber:

{\ displaystyle y (n) = \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} h (nk) u (k),}

um produto de convolução que, por comutatividade, leva a:

{\ displaystyle y (n) = \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} h (k) u (nk).}

Um raciocínio semelhante permite que esse resultado seja generalizado para o caso contínuo. As somas serão substituídas por integrais.

Relação com a função de transferência de um SLI

A transformada de Laplace (respectivamente a transformada Z ) da resposta ao impulso $h$ de um sistema invariante linear em tempo contínuo (SLI) (respectivamente discreto) é igual à função de transferência $H ( p )$ (respectivamente $H ( z )$ ) desse sistema.

Para demonstrar isso, basta aplicar as transformadas à relação usando o fato de que um produto de convolução se torna um produto no domínio da frequência. ${\ displaystyle y (n) = \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} h (k) u (nk)}$

Aplicações físicas

Um pulso corresponde a um pico na intensidade de um fenômeno.

Em mecânica , um pico de aceleração corresponde a um choque . Um pico de solavanco (derivado da aceleração) corresponde a um solavanco, um solavanco. No modelo do sólido indeformável , esses picos são caracterizados por uma descontinuidade ( função de Heaviside ) da grandeza da qual derivam: descontinuidade da velocidade para o choque, descontinuidade da aceleração para a sacada.

Tempo de resposta de um SLI

O tempo de resposta de um SLI está vinculado à duração de sua resposta ao impulso $h$ . Esta é uma consequência direta da representação convolucional.

De fato, consideremos um sinal de entrada $u$ de duração $T u$ . A resposta do sistema a tal entrada é dada pelo produto da convolução entre essa entrada e a resposta ao impulso $h$ . A resposta ao impulso também tem uma duração, denotada por $T h$ .

O tempo de resposta será, portanto, dado por $T u + T h$ .

Esse tempo de resposta é um indicador da rapidez com que o sistema reage a uma determinada entrada. Se o sistema tiver uma constante $T h$ muito grande, ele não será capaz de reagir a uma entrada de variação rápida.

Sistemas com grandes constantes de tempo são ideais para modelar filtros de passagem baixa . Esses sistemas são realmente capazes de reagir a sinais de variação lenta (baixas frequências), mas serão muito pouco influenciados por sinais rápidos (altas frequências).

Deve-se notar que a constante de tempo $T h$ da resposta ao impulso nem sempre é bem definida. Em muitos casos, a resposta ao impulso tem uma taxa exponencial decrescente . Sua duração é, portanto, infinita. Claro, essa resposta eventualmente se torna muito pequena, o que significa que a resposta do sistema após um tempo finito será insignificante.

Existem convenções para determinar o tempo $T h a$ partir do qual a resposta é desprezível.

Uma dessas convenções é:

{\ displaystyle T_ {h} = {\ frac {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t) \, \ mathrm {d} t} {\ max {\ mbox {h}}}} }

onde $max h$ indica o máximo atingido pela resposta ao impulso.

Veja também