Problema de Basel
Em matemática , o problema de Basel (às vezes também conhecido como o problema de Mengoli ) é um problema bem conhecido na teoria dos números , que envolve perguntar o valor da soma das séries convergentes :
112+122+132+142+⋯{\ displaystyle {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots}
O problema foi resolvido por Leonhard Euler , que estabelece que essa soma vale:
∑não=1∞1não2{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}
π26{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}e deu a primeira demonstração rigorosa em 1741.
Apresentado pela primeira vez por Pietro Mengoli em 1644, estudado 40 anos depois por Jacques Bernoulli, nascido em Basel , o problema resistiu aos ataques de eminentes matemáticos da época.
O valor solicitado é aproximadamente igual a 1,64493406684822640. Por causa da convergência lenta da série, tal valor aproximado só poderia ser encontrado implementando métodos de aceleração de convergência , o que foi feito principalmente por Stirling em 1730 e Euler em 1731.
Euler, da qual Basileia também é o local de nascimento, anuncia em 1735 a descoberta da soma exata. Mas seus argumentos na época envolviam produtos infinitos de uma forma não rigorosa. Euler obtém notoriedade imediata. Ele generalizou o problema consideravelmente e suas idéias foram retomadas pelo matemático alemão Bernhard Riemann em seu artigo de 1859 , no qual ele definiu a função ζ , demonstrou suas propriedades básicas e afirmou sua famosa hipótese .
Seis anos depois, em 1741, Euler produziu uma demonstração correta .
Euler ataca o problema
O valor de Euler dedução pi 2 /6 utilizações observações principalmente em polinómios , assumindo que estas propriedades são sempre verdade para série infinita. O raciocínio original de Euler requer justificativa, mas mesmo sem ela, ao obter o valor correto, ele consegue verificá-lo numericamente em relação às somas parciais da série. A concordância que ele observa inspira confiança suficiente para anunciar seu resultado para a comunidade matemática.
Para seguir o argumento de Euler, vamos lembrar a expansão da série de Taylor da função seno na vizinhança de 0:
∀x∈R, pecadox=∑não=0∞(-1)não(2não+1)!x2não+1=x-x33!+x55!-x77!+⋯{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ sin x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1 )!}} x ^ {2n + 1} = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac { x ^ {7}} {7!}} + \ cdots}Assumindo que x não é zero e dividindo por este real, temos
pecadoxx=1-x23!+x45!-x67!+⋯{\ displaystyle {\ frac {\ sin x} {x}} = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {3!}} + {\ frac {x ^ {4}} {5!}} - {\ frac {x ^ {6}} {7!}} + \ cdots}Agora, as raízes de (sin x ) / x (interseção com o eixo x ) aparecem precisamente para x = ± n π , onde n = 1, 2, 3… . Vamos supor com ousadia que podemos expressar essa série infinita como um produto de fatores lineares dados por suas raízes:
pecadoxx=(1-xπ)(1+xπ)(1-x2π)(1+x2π)(1-x3π)(1+x3π)⋯=(1-x2π2)(1-x24π2)(1-x29π2)⋯{\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {\ sin x} {x}} & = \ left (1 - {\ frac {x} {\ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} {\ pi}} \ right) \ left (1 - {\ frac {x} {2 \ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} {2 \ pi}} \ right ) \ left (1 - {\ frac {x} {3 \ pi}} \ right) \ left (1 + {\ frac {x} {3 \ pi}} \ right) \ cdots \\ & = \ left ( 1 - {\ frac {x ^ {2}} {\ pi ^ {2}}} \ right) \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {4 \ pi ^ {2}}} \ direita) \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {9 \ pi ^ {2}}} \ right) \ cdots \ end {alinhado}}}Se realizarmos formalmente este produto e agruparmos todos os termos x 2 , veremos que o coeficiente de x 2 em sin ( x ) / x é
-(1π2+14π2+19π2+⋯)=-1π2∑não=1∞1não2{\ displaystyle - \ left ({\ frac {1} {\ pi ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 \ pi ^ {2}}} + {\ frac {1} {9 \ pi ^ {2}}} + \ cdots \ right) = - {\ frac {1} {\ pi ^ {2}}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}Mas, a partir da expansão da série infinita original de sin ( x ) / x , o coeficiente de x 2 é:
-13!=-16{\ displaystyle - {\ frac {1} {3!}} = - {\ frac {1} {6}}}Esses dois coeficientes devem ser iguais; tão,
-16=-1π2∑não=1∞1não2{\ displaystyle - {\ frac {1} {6}} = - {\ frac {1} {\ pi ^ {2}}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}Multiplicando ambos os lados desta equação por –π 2 , obtemos a soma dos inversos dos quadrados de inteiros positivos.
Função zeta de Riemann
A função zeta de Riemann ζ ( s ) é uma das funções mais importantes da teoria dos números , por causa de sua relação com a distribuição de números primos . A função é definida para qualquer número complexo s da parte real estritamente maior que 1 pela seguinte fórmula:
ζ(s)=∑não=1∞1nãos{\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}}}Ao tomar s = 2, vemos que ζ (2) é igual à soma dos inversos dos quadrados de inteiros positivos:
ζ(2)=∑não=1∞1não2=112+122+132+142+⋯≈1.644934{\ displaystyle \ zeta (2) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}} } + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots \ aproximadamente 1 {,} 644934}É facilmente demonstrado, aumentando esta série de termos positivos por uma série telescópica , que converge e ζ (2) <5/3 = 1,66 ... , mas o valor exacto ζ (2) = π 2 /6 é desconhecido permaneceu para um longo período de tempo, até que Euler calculado numericamente em 1735, (re) inventar de fazer isso a fórmula agora conhecida como a fórmula da soma de Euler-Maclaurin , e da verificação da sua igualdade (até a casa decimal XX) com π 2 /6 , e em seguida, construa a demonstração. Ele provou muito mais tarde que ζ (2 n ) tem uma boa expressão em números de Bernoulli para qualquer inteiro n > 0.
Uma demonstração
O argumento seguinte prova a identidade ζ (2) = π 2 /6 , onde ζ é a função Riemann zeta . Esta é a demonstração mais básica disponível; porque a maioria das provas usa resultados de matemática avançada, como séries de Fourier , análise complexa e cálculo multivariado ; o seguinte nem mesmo requer o cálculo univariado (embora um limite seja considerado no final).
Esta demonstração remonta ao Cours d'Analyse (en) de Cauchy (1821). Aparece no livro de 1954 de Akiva e Isaak Yaglom (en) Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii , então no jornal Eureka em 1982, atribuído a John Scholes, mas Scholes disse que soube da demonstração por Peter Swinnerton-Dyer , e em qualquer Mesmo assim, ele afirma que a demonstração era "bem conhecida em Cambridge no final dos anos 1960 ".
Lembretes trigonométricos
Usamos as seguintes propriedades nas funções cotangentes cot = cos / sin e cossecante csc = 1 / sin , para qualquer real x ∈] 0, π / 2 [ :
A demonstração
A ideia principal por trás da demonstração é enquadrar as somas parciais
∑k=1m1k2=112+122+⋯+1m2{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {1} {k ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1 } {2 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {m ^ {2}}}}entre duas expressões, cada uma tendendo a π 2/6quando m tende ao infinito.
Seja m um número inteiro positivo. Aplicar a identidade
pecado((2m+1)x)pecado2m+1x=∑k=0m(-1)k(2m+12k+1)custo2(m-k)x{\ displaystyle {\ frac {\ sin ((2m + 1) x)} {\ sin ^ {2m + 1} x}} = \ sum _ {k = 0} ^ {m} (- 1) ^ {k } {2m + 1 \ escolha 2k + 1} \ cot ^ {2 (mk)} x}em cada x r =r π/2 m + 1∈] 0, π / 2 [ para r ∈ {1,…, m } :
∑k=0m(-1)k(2m+12k+1)custo2(m-k)xr=pecado(rπ)pecado2m+1xr=0portantoP(custo2xr)=0{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {m} (- 1) ^ {k} {2m + 1 \ escolher 2k + 1} \ cot ^ {2 (mk)} x_ {r} = {\ frac {\ sin (r \ pi)} {\ sin ^ {2m + 1} x_ {r}}} = 0 \ quad {\ text {portanto}} \ quad P (\ cot ^ {2} x_ {r}) = 0}onde P é o polinômio
P(t): =∑k=0m(-1)k(2m+12k+1)tm-k{\ displaystyle P (t): = \ sum _ {k = 0} ^ {m} (- 1) ^ {k} {2m + 1 \ escolha 2k + 1} t ^ {mk}}.
Uma vez que este é polinomial de grau m e os m números cot 2 ( x r ) são exactamente as raízes de P . Podemos, portanto, calcular sua soma em função dos coeficientes de P :
custo2x1>custo2x2>⋯>custo2xm{\ displaystyle \ cot ^ {2} x_ {1}> \ cot ^ {2} x_ {2}> \ dots> \ cot ^ {2} x_ {m}}
custo2(π2m+1)+custo2(2π2m+1)+⋯+custo2(mπ2m+1)=(2m+13)(2m+11)=2m(2m-1)6.{\ displaystyle \ cot ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {2m + 1}} \ right) + \ cot ^ {2} \ left ({\ frac {2 \ pi} {2m + 1 }} \ right) + \ cdots + \ cot ^ {2} \ left ({\ frac {m \ pi} {2m + 1}} \ right) = {\ frac {{2m + 1} \ escolha 3} { {2m + 1} \ escolha 1}} = {\ frac {2m (2m-1)} {6}}.}Ao substituir a identidade csc 2 ( x ) = 1 + cot 2 ( x ) , temos
csc2(π2m+1)+csc2(2π2m+1)+⋯+csc2(mπ2m+1)=2m(2m-1)6+m=2m(2m+2)6.{\ displaystyle \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {2m + 1}} \ right) + \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {2 \ pi} {2m + 1 }} \ right) + \ cdots + \ csc ^ {2} \ left ({\ frac {m \ pi} {2m + 1}} \ right) = {\ frac {2m (2m-1)} {6} } + m = {\ frac {2m (2m + 2)} {6}}.}Agora considere o berço de enquadramento 2 ( x ) <1/x 2<csc 2 ( x ) . Adicionando todas essas caixas para cada número x r =r π/2 m + 1 e usando as duas identidades acima, obtemos
2m(2m-1)6<(2m+1π)2+(2m+12π)2+⋯+(2m+1mπ)2<2m(2m+2)6.{\ displaystyle {\ frac {2m (2m-1)} {6}} <\ left ({\ frac {2m + 1} {\ pi}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac { 2m + 1} {2 \ pi}} \ right) ^ {2} + \ cdots + \ left ({\ frac {2m + 1} {m \ pi}} \ right) ^ {2} <{\ frac { 2m (2m + 2)} {6}}.}Multiplicando-os por [ π / (2 m + 1) ] 2 , isso se torna
π26(2m2m+1)(2m-12m+1)<112+122+⋯+1m2<π26(2m2m+1)(2m+22m+1).{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ left ({\ frac {2m} {2m + 1}} \ right) \ left ({\ frac {2m-1} {2m + 1}} \ right) <{\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {m ^ { 2}}} <{\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \ left ({\ frac {2m} {2m + 1}} \ right) \ left ({\ frac {2m + 2} { 2m + 1}} \ direita).}Quando m tende para o infinito, as porções esquerda e direita tendem para cada π 2 /6 , por conseguinte, pelo teorema do confronto ,
ζ(2)=∑k=1∞1k2=limm→∞(112+122+⋯+1m2)=π26.{\ displaystyle \ zeta (2) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {2}}} = \ lim _ {m \ to \ infty} \ left ( {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {m ^ {2}}} \ right) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}.}
Demonstração de Euler
O truque de Euler consiste em avaliar de uma segunda forma a integral
∫01arcsinx1-x2dx=[(arcsinx)22]01=π28{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ arcsin x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \, {\ rm {d}} x = \ left [{ \ frac {(\ arcsin x) ^ {2}} {2}} \ right] _ {0} ^ {1} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {8}}}.
De acordo com a fórmula binomial generalizada ,
∀x∈]-1,1[arcsin′x=11-x2=∑k=0∞1⋅3⋅5⋯(2k-1)2⋅4⋯(2k)x2k{\ displaystyle \ forall x \ in \ left] -1,1 \ right [\ quad \ arcsin 'x = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} = \ sum _ { k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2k-1)} {2 \ cdot 4 \ cdots (2k)}} x ^ {2k}}.
Por termo-a-termo “ integração ” , deduzimos o desenvolvimento série inteira do arco seno função :
arcsinx=∑k=0∞1⋅3⋅5⋯(2k-1)2⋅4⋯(2k)x2k+12k+1{\ displaystyle \ arcsin x = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2k-1)} {2 \ cdot 4 \ cdots (2k)} } {\ frac {x ^ {2k + 1}} {2k + 1}}}.
Ouro
∀k∈NÃO∫01x2k+11-x2dx=2⋅4⋯(2k)3⋅5⋯(2k+1){\ displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {N} \ quad \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2k + 1}} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} } \, {\ rm {d}} x = {\ frac {2 \ cdot 4 \ cdots (2k)} {3 \ cdot 5 \ cdots (2k + 1)}}}(
por indução, usando integração por partes , ou mudando a variável dando uma
integral de Wallis ).
Por inversão integral de série , Euler encontra assim a soma dos inversos dos quadrados de inteiros ímpares:
π28=∫01arcsinx1-x2dx=∑k=0∞1(2k+1)2{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {2}} {8}} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ arcsin x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} } \, {\ rm {d}} x = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2k + 1) ^ {2}}}}em seguida, conclui multiplicando por uma
série geométrica :
∑não=1∞1não2=∑k,j∈NÃO1((2k+1)2j)2=π28∑j=0∞14j=π28×43=π26{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = \ sum _ {k, j \ in \ mathbb {N}} {\ frac { 1} {\ left ((2k + 1) 2 ^ {j} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {8}} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {4 ^ {j}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {8}} \ times {\ frac {4} {3}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}.
Essa segunda prova de Euler parecia mais rigorosa do que a primeira. Tudo o que faltava era uma justificativa para a inversão integral de série. Isso pode ser remediado invocando, por exemplo, o teorema da convergência monotônica , demonstrado por Beppo Levi em 1906.
O cálculo é obtido de forma muito simples com a ajuda de ferramentas de análise de harmônicas . É suficiente aplicar a igualdade de Parseval à série de Fourier da função periódica com período 2π igual à identidade em [–π, π [.
Notas e referências
(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em
inglês intitulado
" Basel problem " ( ver lista de autores ) .
Notas
-
Para obter 4 decimais corretos, você deve adicionar mais de 15.000 termos da soma.
-
É de fato possível definir ζ para qualquer complexo diferente de 1 por diferentes métodos de extensão: ver função zeta de Riemann, § Extensão para ℂ- {1} .
-
O exemplo fornece uma análise complexa um desenvolvimento π 2 / sin 2 (π x ) que, quando aplicado a x = 1/2 , dá a soma dos quadrados dos recíprocos de inteiros impares: π 2 /8 , que Euler tinha deduzida ζ (2) = π 2 /6 .
Referências
-
(La) Jacobo Stirling, sive Tractatus de Summatione de Methodus Differentialis e Serierum Infinitarum de Interpolatione , 1730, suporte. XI , exemplo 1 , p. 55-56 ; ele começa o relacionamento , o que permite um cálculo do montante com boa precisão, mas não reconhece o valor exato π 2 /6 .∑não=1∞1não2=∑não=1∞3não2(2nãonão){\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {3} {n ^ {2} {2n \ escolha n}}}}
-
Euler, Opera Omnia , Series 1 , vol. 14, pág. 39-41 ( E20: De summatione innumerabilium progressionum ).
-
Euler, Opera Omnia , Series 1 , vol. 14, pág. 73-86 ( E41: De summis serierum reciprocarum ).
-
L. Euler , “ Prova da soma desta sequência 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + etc. , O jornal lê. da Alemanha, Suíça e do Norte , vol. 2,1743, p. 115-127 ( ler online )(E63, Opera Omnia , I. 14 , p. 177-186 ), escrito em 1741. Ver também sua carta de abril de 1742 (OO396) a Clairaut .
-
El Jj , " Dois (dois?) Minutos para ... a hipótese de Riemann " ,4 de abril de 2016(acessado em 14 de março de 2019 )
-
Nota VIII .
-
(em) Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions , Vol. 2, visualização no Google Books , Problema 145a , p. 24 e 131 .
-
(em) Ed Sandifer, How did it Euler - Basel Problem with Integrals [PDF] , março de 2004.
-
Veja, por exemplo, este exercício corrigido na Wikiversidade .
Veja também
Artigos relacionados
links externos
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