Arco sinusal
Função arco seno
Representação gráfica da função do arco seno.
| Avaliação |
arcsin(x){\ displaystyle \ arcsin (x)}
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| Recíproca |
pecado(x){\ displaystyle \ sin (x)} certo [-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}![{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54381f086ac9ffe8306d413f813abcb616e95dee)
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| Derivado |
11-x2{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
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| Primitivas |
xarcsin(x)+1-x2+VS{\ displaystyle x \ arcsin (x) + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}
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Em matemática , o arco seno de um número real incluído (no sentido amplo) entre -1 e 1 é a única medida do ângulo em radianos cujo seno é igual a esse número, e entre e .
-π2{\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}
π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}
A função que associa a qualquer número real incluído no sentido amplo entre -1 e 1 o valor de seu arco seno é notada arcsin (Arcsin ou Asin na notação francesa, sen −1 , asin ou asn na notação anglo-saxônica). É então a bijeção recíproca da restrição do seno da função trigonométrica ao intervalo .
[-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortonormal ao plano, a curva representativa da função arco seno é obtida a partir da curva representativa da restrição da função seno ao intervalo pela reflexão do eixo da linha da equação y = x .
[-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}
Derivado
Como um derivado de uma bijeção recíproca , arcsin é diferenciável em ] -1, 1 [ e satisfaz
arcsin′x=11-x2{\ displaystyle \ arcsin 'x = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
.
Esta fórmula é obtida graças ao teorema da derivada de uma bijeção recíproca e à relação
porque(arcsinx)=1-x2{\ displaystyle \ cos (\ arcsin x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}
.
Se ,
|z|≤1{\ displaystyle | z | \ leq 1}
arcsinz=z+12⋅z33+1⋅32⋅4⋅z55+1⋅3⋅52⋅4⋅6⋅z77+...=∑não=0∞(2não-1)!!(2não)!!⋅z2não+12não+1=∑não=0∞(2nãonão)z2não+14não(2não+1).{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ arcsin z & = z + {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ cdot {\ frac {z ^ {5}} {5}} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ cdot {\ frac {z ^ {7}} {7}} + \ dots \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}} \ cdot {\ frac {z ^ {2n + 1}} {2n + 1}} \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ binom {2n } {n}} z ^ {2n + 1}} {4 ^ {n} (2n + 1)}}. \ end {alinhado}}}
(Veja também Função Hipergeométrica # Casos Especiais .)
Demonstração
O desenvolvimento da derivada é:
arcsin′(z)=(1-z2)-12=1+(-12)(-z2)+(-12)(-32)2(-z2)2+(-12)(-32)(-52)2⋅3(-z2)3+⋯=1+12z2+1⋅32⋅4z4+1⋅3⋅52⋅4⋅6z6+...,{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ arcsin '(z) & = (1-z ^ {2}) ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = 1+ \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) (- z ^ {2}) + {\ frac {\ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) \ left (- {\ frac {3} {2}} \ right)} {2}} (- z ^ {2}) ^ {2} + {\ frac {\ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) \ esquerda (- {\ frac {3} {2}} \ direita) \ esquerda (- {\ frac {5} {2}} \ direita)} {2 \ cdot 3}} (- z ^ {2}) ^ {3} + \ cdots \\ & = 1 + {\ frac {1} {2}} z ^ {2} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} z ^ {4} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} z ^ {6} + \ pontos, \ end {alinhado}}}
daí o resultado, “ integrando ” termo por termo .
Forma integral indefinida
Esta função pode ser escrita na forma de uma integral indefinida :
arcsinx=∫0x11-t2dt{\ displaystyle \ arcsin x = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} t}
.
Primitivas
As primitivas do arco senoidal são obtidas por integração por partes :
∫arcsinxdx=xarcsinx+1-x2+VS{\ displaystyle \ int \ arcsin x \, \ mathrm {d} x = x \ arcsin x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}
.
Relação entre arco seno e arco cosseno
Para qualquer x real entre -1 e 1 :
arccosx+arcsinx=π2{\ displaystyle \ arccos x + \ arcsin x = {\ frac {\ pi} {2}}}
.
Forma logarítmica
Podemos expressar a função do arco seno com um logaritmo complexo :
arcsinx=-euem(eux+1-x2){\ displaystyle \ arcsin x = - {\ rm {i}} \ ln \ left ({\ rm {i}} x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right)}
.
Referência
-
Notação do programa de matemática no CPGE , p. 10 .
Veja também
Artigos relacionados
links externos
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