Classe seguindo um subgrupo

Em teoria grupo , as classes de para a esquerda de um grupo G de acordo com um sub-grupo H são partes de G da forma gH com g elemento de L , onde gH indica o conjunto de elementos gh quando h viaja H . Eles são a classe de relação de equivalência em L , assim, formar uma partição de L . Eles podem ser vistos também como as órbitas dos ações à direita do H em G por traduções por simétrica de itens H .

O conjunto de classes para a esquerda de um grupo G de acordo com um subgrupo H é designado por G / H . É naturalmente fornecido com uma ação à esquerda de G , que é transitiva.

Todas as classes direito de um grupo G de acordo com um subgrupo H é denotado H \ L . É definido de forma análoga e satisfaz propriedades semelhantes.

Se o subgrupo H é o normal , então G / H e H \ L coincidem e formam o grupo quociente de G por H .

Esses dois conjuntos servem de modelo para espaços homogêneos , pois qualquer órbita de uma ação de G é naturalmente identificada com tal conjunto.

O uso de classes intervém em particular no estudo de grupos finitos , por exemplo através do teorema de Lagrange e dos teoremas de Sylow .

Definições

São H um subgrupo de um grupo L e g um elemento L .

Chamamos classe à esquerda de g seguindo H o conjunto gH definido por:

{\ displaystyle gH = \ {gh ~ | ~ h \ in H \}.}

Chamamos classe à direita de g seguindo H o conjunto Hg definido por:

{\ displaystyle Hg = \ {hg ~ | ~ h \ in H \}.}

Todas as seguintes classes deixou H de todos os elementos G é denotado G / H , e o direito classe, H \ G .

Exemplos

Módulo e classes inteiras

Dado um número inteiro fixo n , o conjunto n ℤ de números inteiros relativos múltiplos de n forma um subgrupo do grupo (ℤ, +).

A lei sendo observada aqui aditivamente, a classe à direita de qualquer inteiro r , de acordo com este subgrupo, é o conjunto:

{\ displaystyle n \ mathbb {Z} + r = \ {nq + r ~ | ~ q \ in \ mathbb {Z} \}.}

É, portanto, o conjunto de inteiros congruentes a r módulo n , ou seja, inteiros k tais que k - r pertence ao subgrupo n ℤ.

A classe à esquerda de r é igual a sua classe à direita, pois a adição é comutativa . O conjunto de todas essas classes é o grupo ℤ / n ℤ .

Aulas no grupo S 3

No grupo simétrico S 3 das seis permutações do conjunto {1,2,3}, considere o subgrupo alternado A 3 , formado pelas três permutações pares.
A classe à direita de uma permutação σ, de acordo com este subgrupo, é o conjunto de compostos à direita de σ de qualquer uma das três permutações pares. É, portanto, o conjunto das três permutações que têm a mesma paridade que σ.
A classe da esquerda é a mesma novamente, embora aqui a lei de grupo não seja comutativa.
O conjunto S 3 / A 3 = A 3 \ S 3 é composto de duas classes: as três permutações pares e as três permutações ímpares.
No mesmo grupo S 3 , consideremos agora o subgrupo H = {id, τ}, onde τ é a transposição (1 2).
- S 3 / H é um conjunto de três elementos, as três classes à esquerda seguindo H , que são os três pares a seguir:
  - ${\ displaystyle \ tau H = H = {\ rm {id}} H,}$
  - ${\ displaystyle (123) H = \ {(123), (13) \} = (13) H,}$
  - ${\ displaystyle (132) H = \ {(132), (23) \} = (23) H.}$
- H \ S 3 é o conjunto das três classes à direita:
  - ${\ displaystyle H \ tau = H = H {\ rm {id}},}$
  - ${\ displaystyle H (123) = \ {(123), (23) \} = H (23),}$
  - ${\ displaystyle H (132) = \ {(132), (13) \} = H (13).}$
- Desta vez, as classes que seguem H à esquerda e à direita de uma permutação σ diferente de id e τ são distintas (mas não disjuntas : ambas contêm σ), e mesmo, os conjuntos S 3 / H e H \ S 3 são distintos (mas não disjuntos: eles têm H como um elemento comum).

Propriedades

${\ displaystyle x \ in yH \ Leftrightarrow y ^ {- 1} x \ in H \ quad {\ text {et}} \ quad x \ in Hy \ Leftrightarrow xy ^ {- 1} \ in H}$
(em particular, qualquer elemento pertence à sua classe à esquerda e à sua classe à direita).
${\ displaystyle x \ in yH \ Leftrightarrow xH = yH}$
(a implicação é que se x for escrito YH para um elemento h de H , então xH = yH = Y HH , e o recíproco é deduzido do ponto anterior), e da mesma forma . Em particular,
${\ displaystyle x \ in Hy \ Leftrightarrow Hx = Hy}$
${\ displaystyle xH = H \ Leftrightarrow x \ in H \ Leftrightarrow Hx = H.}$
Duas classes distintas do lado esquerdo são disjuntos (que pode ver melhor por contraposed : se duas classes xH e yH tem um elemento comum z , deduz-se a partir do ponto anterior que xH = zH = yH ), e o mesmo para as classes sobre o certo.
Todas as classes no lado direito e no seguinte deixou H têm a mesma cardinalidade como H (por exemplo, a classe à esquerda gH é equipotente a H , através da bijeç~ao H → gH , h ↦ GH ).
Os dois conjuntos G / H e H \ G têm a mesma cardinalidade, via bijeção ${\ displaystyle G / H \ em H \ barra invertida G, \ quad X \ mapsto X ^ {- 1} = \ {x ^ {- 1} ~ | ~ x \ em X \}}$ (esta bijeção envia a classe à esquerda de g para a classe à direita de g -1 ). Este cardinal comum é chamado o índice de H em L . Se G é um grupo finito , esse índice é igual ao quociente da ordem de G pelo de H , de modo que esse quociente é um inteiro: é o teorema de Lagrange , que generaliza em uma fórmula de índices .
O subgrupo H é normal se e somente se a classe esquerda gH de qualquer elemento g de G for igual a sua classe direita Hg . Nesse caso, G / H é estável pela operação produzida nas partes de G (porque xHyH = x ( yHy −1 ) yH = xy ( Hy −1 yH ) = xy ( HH ) = xyH ). Esta lei interna sobre G / H é até uma lei de grupo. O grupo resultante é chamado o grupo quociente de G por H .

Relação de equivalência

De acordo com as três primeiras propriedades anteriores, as classes à esquerda após H formam uma partição de G e a relação de equivalência associada (cujas classes de equivalência são as classes à esquerda após H ) tem as seguintes descrições equivalentes: ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {R}} _ {\ rm {left}}}$

{\ displaystyle x ~ {\ mathcal {R}} _ {\ rm {left}} ~ y \ Leftrightarrow xH = yH \ Leftrightarrow x \ in yH \ Leftrightarrow y ^ {- 1} x \ in H.}

Da mesma forma, as classes à direita após H são as classes da relação de equivalência descrita por: ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {R}} _ {\ rm {right}}}$

{\ displaystyle x ~ {\ mathcal {R}} _ {\ rm {right}} ~ y \ Leftrightarrow Hx = Hy \ Leftrightarrow x \ in Hy \ Leftrightarrow xy ^ {- 1} \ in H.}

Observação

(em) Marshall Hall, Jr. , The Theory of Groups [ edições de varejo ], p. 10 inverte esses termos “esquerda” e “direita” nomeando “ cosets esquerdos ” como Hg e “ cosets direitos ” como gH .

Referência bibliográfica

Serge Lang , Algebra [ detalhe das edições ]