Grupo alternativo

Em matemática , e mais precisamente na teoria dos grupos , o grupo alternado de grau n , freqüentemente denotado por A n , é um subgrupo distinto do grupo simétrico de permutações de um conjunto finito com n elementos. Este subgrupo é formado por permutações produzidas por um número par de transposições . Uma transposição é uma permutação que troca dois elementos e fixa todos os outros.

Há um grupo alternado para cada número inteiro n maior ou igual a 2; geralmente é escrito A n (ou às vezes na escrita Fraktur ) e tem n ! / 2 elementos. O menor grupo alternado, A 2 , é trivial  ; Um 3 é cíclico de ordem 3; o próximo, A 4 , é solucionável e, mais precisamente, é um produto semidireto de um grupo de Klein pelo grupo cíclico de ordem 3. Do grupo A 5 , os grupos alternados são simples e não abelianos , portanto insolúveis. Esta não resolubilidade de n = 5 resulta no teorema de Abel , que afirma que não pode haver expressão genérica por radicais de soluções de uma equação algébrica de grau maior ou igual a 5. NOnão{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {n}}

O grupo alternado é a estrutura de origem para alguns quebra-cabeças matemáticos, como o jogo teaser ou o Cubo de Rubik . Os movimentos possíveis nos dois jogos mencionados são elementos de um grupo alternado. Esta propriedade permite mostrar que não é possível trocar duas caixas do teaser sem modificar o resto do jogo.

Os grupos alternados de grau 4 e 5 são representados como o grupo de rotações que deixa invariante um poliedro regular , o tetraedro para A 4 e o dodecaedro regular ou mesmo o icosaedro para A 5 .

Construção de grupo

Definição

Um resultado, que é a base da definição da assinatura , afirma que o número de transposições necessárias para decompor uma dada permutação é sempre a mesma paridade. Assim, o ciclo ( abc ), que transforma a em b , b em c e c em a pode ser dividido em duas transposições ( bc ), depois ( ab ) ou novamente em ( ac ) depois ( bc ), mas nunca em a produto um número ímpar de transposições.

Definição  -  Uma permutação é dita par quando se decompõe em um número par de transposições. No caso oposto, a permutação é considerada ímpar .

Esta definição está na origem da de um grupo alternado.

Definição  -  O grupo alternado de grau n , denotado A n , é o subgrupo de permutações pares de grau n .

Nota: Também encontramos a expressão grupo alternado de índice n , em vez de grupo alternado de grau n . Esta escolha é um pouco ambígua, o índice de A n em S n designa, para outros autores, o cardeal do grupo quociente S n / A n . Ainda encontramos o termo ordem para descrever o grau. Essa convenção é mais raramente usada, porque o termo de ordem sendo usado na teoria do grupo para descrever o cardeal de um grupo, essa escolha introduz uma confusão às vezes lamentável.

Propriedades elementares

No restante do artigo, n denota um número inteiro maior ou igual a 2. A definição anterior é baseada em uma propriedade fundamental compartilhada por todas as permutações:

Propriedade 1  -  A paridade do número de transposições necessárias para decompor uma dada permutação é independente da decomposição escolhida.

Esta propriedade é demonstrada usando o conceito de assinatura de uma permutação, tratado no parágrafo seguinte. Uma vez estabelecida, uma segunda propriedade é simplesmente demonstrada:

Propriedade 2  -  O conjunto A n de permutações pares de S n forma um subgrupo distinto .

Na verdade, A n não está vazio porque contém a identidade de mapeamento , que se divide em transposição zero, ou mesmo na mesma transposição duas vezes. Se φ 1 e φ 2 são duas permutações pares, respectivamente produtos de 2 transposições p e 2 q , então seu produto também é uma permutação par (como produto de 2 ( p + q ) transposições). Finalmente, o inverso de uma permutação σ tem a mesma paridade que σ (portanto é mesmo se σ for), porque se σ é um produto τ 1 … τ r de r transposições, seu inverso é igual a τ r … τ 1 , o produto das mesmas transposições tomadas em ordem inversa.

Dizer que A n é distinto equivale a dizer que se φ é um elemento do subgrupo e se σ é qualquer permutação de S n , então a permutação σφσ −1 é par. Na verdade, φ é o produto de um número par de transposições, e o parágrafo anterior mostra que σ −1 se decompõe em tantas transposições quanto σ. O número de todas essas transposições é, portanto, igual por causa da forma r + 2 p + r .

Propriedade 3  -  A ordem de A n é a metade da de S n , ou seja, n ! / 2.

De fato, fixemos em S n uma transposição σ e consideremos a aplicação f de S n em S n que, para uma permutação φ, associa φσ. Esse aplicativo é, em um grupo, denominado tradução correta. A função f , como qualquer tradução, é uma bijeção. Além disso, φ é par se e somente se φσ for ímpar, então f se restringe a uma bijeção de A n no conjunto de permutações ímpares, ou seja, S n \ A n . Esses dois conjuntos, portanto, têm o mesmo cardeal. No entanto, eles formam uma partição de S n , uma vez que são disjuntos e sua união é igual a S n , o que encerra a prova .

Propriedade 4  -  Seja m um número inteiro menor ou igual a n . Um ciclo de S n e de comprimento m é um elemento do grupo alternado se, e somente se, m for ímpar.

Uma prova por indução é fornecida no artigo "  Permutação circular  ".

Assinatura

A assinatura de uma permutação é a paridade do número de inversões contidas em uma permutação. Provamos que este mapa é um morfismo de grupos de S n em {-1, 1} e que a assinatura de uma transposição é sempre igual a -1. Deduzimos que o número de transposições necessárias para decompor uma permutação não pode ser às vezes par e às vezes ímpar. De fato, se φ é uma permutação que se divide em transposições p ou q , a assinatura de φ, de acordo com a propriedade do morfismo, é igual a (-1) p e (-1) q , o que mostra que p e q tem a mesma paridade. Deduzimos uma nova definição de grupo alternado, equivalente à anterior:

Definição alternativa  -  O grupo alternado A n é o núcleo do morfismo de assinatura do grupo simétrico S n .

Esta abordagem oferece provas alternativas para as proposições do parágrafo anterior numerados 2 e 3. O núcleo de um morfismo é sempre um subgrupo distinto, o que mostra que A n é um subgrupo distinto. A ordem do núcleo multiplicada pela ordem da imagem de um morfismo de grupos é igual à ordem do grupo inicial, o que permite determinar a ordem do grupo alternado.

Exemplos

O grupo alternado de grau 2 contém apenas o elemento neutro.

O grupo simétrico de grau 3 é de ordem 6 e contém: identidade, três transposições e dois ciclos de ordem 3. O grupo alternado de grau 3 compreende apenas identidade e ciclos de ordem 3:

NO3={eu,(123),(132)}{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {3} = \ {{\ text {I}}, \, (123), \, (132) \}}

Como qualquer grupo contendo 3 elementos, é cíclico .

O grupo simétrico de grau 4 é de ordem 24, o grupo alternado associado é de ordem 12. Ele contém os ciclos de ordem 3 e os produtos de dois ciclos de ordem 2 de suportes disjuntos:

NO4={eu,(234),(243),(134),(143),(124),(142),(123),(132),(12)(34),(13)(42),(14)(23)}{\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {4} = \ {{\ text {I}}, \, (234), \, (243), \, (134), \, (143), \ , (124), \, (142), \, (123), \, (132), \, (12) (34), \, (13) (42), \, (14) (23) \ }}

O grupo alternativo de grau 4 não é abeliano . Na verdade, os ciclos ( 1 2 3 ) e ( 2 3 4 ) não mudam. Nenhum grupo alternativo de grau maior ou igual a 4 é abeliano, pelo mesmo motivo. O grupo alternado de grau 4 é, no entanto , solúvel , contém um distinto subgrupo abeliano K , composto dos produtos de duas transposições com suporte disjunto e do elemento neutro. Este subgrupo K é abeliano porque isomórfico ao grupo Klein e o quociente A 4 / K também é abeliano, e até cíclico, por causa da ordem 3.

O grupo alternado de grau 5 é da ordem 60. É estudado mais adiante neste artigo.

Jogo de provocação

O jogo de provocação, é um jogo solitário que vem na forma de uma grade composta por 15 caixas e 16 th faltando. Sua teorização matemática data de 1879 e é baseada nas propriedades do grupo alternado. Uma das perguntas feitas por Sam Loyd é sobre como resolver o teaser da foto à direita. Corresponde à resolução de um estado do jogo em que todas as caixas estão na posição correta, exceto as numeradas 14 e 15, que estão invertidas. É impossível se forçarmos a caixa vazia a ficar no canto inferior direito. É se admitirmos que a caixa vazia está no canto superior esquerdo e que a primeira linha contém apenas as caixas 1 , 2 e 3 .

Se considerarmos um movimento como uma permutação dos quadrados numerados de 1 a 15 , então o grupo de permutações de grau 15 opera no jogo teaser. Para ser mais preciso, o grupo operacional é um subgrupo gerado pelas diferentes permutações possíveis . É relativamente simples verificar que as permutações que geram o subgrupo são todas ciclos de ordem 3 ou 5. Essas permutações estão todas no grupo alternado A 15 . O grupo que atua no teaser game é um subgrupo do grupo alternado A 15 , que não contém nenhuma transposição. Esta é uma maneira simples de demonstrar que a configuração à direita não tem solução.

Outros solitários, como o Burro Vermelho ou o Cubo de Rubik, usam o grupo alternativo de maneira semelhante.

Detalhe da demonstração

Uma posição é numerada conforme mostrado na figura à direita. O buraco não é contado. Assim, a posição inicial mostrada na figura é ( 123456789… ). O movimento correspondente à seta azul dá a posição ( 134562789… ), corresponde à permutação ( 23456 ), um ciclo de ordem 5 e, portanto, uma permutação par. O que corresponde à seta vermelha dá ( 123456978… ), corresponde à permutação ( 798 ) um ciclo de ordem 3 e, portanto, novamente uma permutação par. Se a caixa vazia estiver em uma aresta, obtém-se a permutação constante ou um ciclo de ordem 7, portanto, sempre uma permutação par. Assim, todas as permutações que geram o subgrupo operando no teaser são pares e, portanto, pertencem ao grupo alternado.

A permutação necessária para a resolução do caso intitulado Unresolvable teaser game é uma transposição, com uma assinatura ímpar, portanto não é possível porque o grupo alternativo não contém qualquer transposição.

Com as notações utilizadas, o caso intitulado Unresolvable teaser game corresponde à posição 1,2,3,4,8,7,6,5,9,10,11,12,14,15,13. Aquele correspondente ao teaser reconstituído em ordem com a caixa vazia na primeira posição em 1,2,3,7,6,5,4,8,9,10,11,15,14,13,12. Ir de uma posição para a outra requer a permutação ( 47586 ) ( 12 15 13 ), produto de duas permutações de assinatura par, portanto, mesmo. Assim, é possível resolver a pergunta feita por Sam Loyd se permitirmos que a caixa vazia fique no canto superior esquerdo.

A referência no teaser mostra que o grupo alternado A 15 é de fato aquele que opera no jogo.

 

Geradores e relações

Os 3 ciclos geram o grupo alternado.

Na verdade, qualquer produto de duas transposições é um produto de 3 ciclos, uma vez que para a , b , c , d distinto, ( ab ) ( ab ) = id, ( ab ) ( bc ) = ( abc ) e ( ab ) ( cd ) = ( abc ) ( bcd ).

Na verdade, 3 ciclos ( i , n - 1, n ) são suficientes para 1 ≤ i ≤ n - 2 - ou então (1, i + 1, n ). Obtemos assim uma apresentação do grupo A n em n - 2 geradores V i e ( n - 1) ( n - 2) / 2 relações: V i 3 = 1 e, para i < j , ( V i V j ) 2 = 1.

Se n > 3, também podemos tomar como geradores t = (1, 2, 3) e s igual a (3, 4, ..., n ) se n for ímpar, ou a (1, 2) (3 , 4,…, N ) se n for par. Ainda temos uma apresentação, com apenas 2 geradores e relações E (n / 2) + 2:

se n for ímpar: s n –2 = t 3 = ( st ) n = 1 e, para 1 ≤ k ≤ ( n - 3) / 2, ( ts –k ts k ) 2 = 1; se n for par: s n –2 = t 3 = ( st ) n –1 = 1 e, para 1 ≤ k ≤ ( n - 2) / 2, ( t (–1) k s –k ts k ) 2 = 1.

Aulas de conjugação

Estrutura

A estrutura das classes de conjugação é um dos primeiros elementos a estudar no contexto de uma análise de um grupo não abeliano. Eles são usados ​​no restante do artigo para estabelecer que se n for estritamente maior que 4, o grupo é simples, ou mesmo que qualquer grupo simples de ordem 60 é isomorfo a A 5 .

Num grupo simétrico, as classes de conjugação são compostas por produtos de anéis suportados disjuntos da mesma estrutura, ou seja, do mesmo número e dos mesmos comprimentos. Consequentemente, as classes de conjugação do grupo alternado também são compostas por produtos de anéis suportados disjuntos da mesma estrutura; mais precisamente :

Uma classe de conjugação em A n consiste em elementos com a mesma estrutura. As permutações com esta estrutura constituem:

• uma classe se a estrutura compreende um ciclo de comprimento par ou dois ciclos de mesmo comprimento (possivelmente igual a 1);
• duas classes caso contrário.

Demonstração

• Uma classe de conjugação em A n consiste em elementos com a mesma estrutura. As permutações com esta estrutura constituem uma classe se a estrutura compreende um ciclo de comprimento par ou dois ciclos do mesmo comprimento (possivelmente igual a 1), duas classes de outra forma: O
  estabelecimento da natureza das classes de conjugação de é simplificado pelo trabalho equivalente para o grupo simétrico: já sabemos que duas permutações são conjugadas por um elemento de se e somente se têm a mesma estrutura. Deixe … ser uma permutação uniforme decomposta em um produto de ciclos disjuntos. De acordo com a fórmula de classe , o número de seus conjugados (também pares) em é igual ao índice , em , de seu centralizador neste grupo, e o número de seus conjugados em é igual ao índice, em , de seu centralizador em esse grupo. NOnão{\ displaystyle A_ {n}}Snão{\ displaystyle S_ {n}}
  σ=vs1{\ displaystyle \ sigma = c_ {1}}vsm{\ displaystyle c_ {m}}Snão{\ displaystyle S_ {n}}Snão{\ displaystyle S_ {n}} Sσ{\ displaystyle S _ {\ sigma}}NOnão{\ displaystyle A_ {n}}NOnão{\ displaystyle A_ {n}}NOσ=Sσ∩NOnão{\ displaystyle \ scriptstyle A _ {\ sigma} = S _ {\ sigma} \ cap A_ {n}}
  • Vamos começar estabelecendo o caso em que a classe de conjugação de in é a mesma que em  : σ{\ displaystyle \ sigma}NOnão{\ displaystyle A_ {n}}Snão{\ displaystyle S_ {n}}
    • Se um de for de ordem par, então contém uma permutação ímpar (este ciclo), de modo que é do índice 2 em , assim como é do índice 2 em . Deduzimos isso , isto é , não há mais conjugados em que em .vseu{\ displaystyle c_ {i}}Sσ{\ displaystyle S _ {\ sigma}}NOσ{\ displaystyle A _ {\ sigma}}Sσ{\ displaystyle S _ {\ sigma}}NOnão{\ displaystyle A_ {n}}Snão{\ displaystyle S_ {n}}[NOnão:NOσ]=[Snão:Sσ]{\ displaystyle [A_ {n}: A _ {\ sigma}] = [S_ {n}: S _ {\ sigma}]}σ{\ displaystyle \ sigma}Snão{\ displaystyle S_ {n}}NOnão{\ displaystyle A_ {n}}
    • Se dois dos são da mesma ordem ímpar, sejam (
  a 1 a 2 ... a k ) e ( b 1 b 2 ... b k ) esses dois ciclos, então o produto das k transposições ( a 1 b 1 ) ( a 2 b 2 )… ( A k b k ) é uma permutação ímpar que pertence a , e concluímos como antes.vseu{\ displaystyle c_ {i}}k{\ displaystyle k}Sσ{\ displaystyle S _ {\ sigma}}

Vamos estabelecer o caso em que a classe de conjugação de in é dividida em duas: Se os comprimentos de (de soma ) são distintos, então (a partir do estudo das classes de conjugação em ) é simplesmente o subgrupo gerado por … . Se, além disso, todos esses comprimentos forem ímpares, então eles pertencem . Assim, está incluído em portanto , de modo que , ou seja, o número de conjugados de in é o dobro de seus conjugados em .σ{\ displaystyle \ sigma}Snão{\ displaystyle S_ {n}}
vseu{\ displaystyle c_ {i}}não{\ displaystyle n}Snão{\ displaystyle S_ {n}}Sσ{\ displaystyle S _ {\ sigma}}vs1,{\ displaystyle c_ {1},},vsm{\ displaystyle, c_ {m}}vseu{\ displaystyle c_ {i}}NOnão{\ displaystyle A_ {n}}Sσ{\ displaystyle S _ {\ sigma}}NOnão{\ displaystyle A_ {n}}NOσ=Sσ{\ displaystyle A _ {\ sigma} = S _ {\ sigma}}[Snão:Sσ]=[Snão:NOσ]=[Snão:NOnão][NOnão:NOσ]=2[NOnão:NOσ]{\ displaystyle [S_ {n}: S _ {\ sigma}] = [S_ {n}: A _ {\ sigma}] = [S_ {n}: A_ {n}] [A_ {n}: A _ {\ sigma}] = 2 [A_ {n}: A _ {\ sigma}]}σ{\ displaystyle \ sigma}Snão{\ displaystyle S_ {n}}NOnão{\ displaystyle A_ {n}}

Exemplos

A única classe de conjugação de S 4 que é dividida em dois em A 4 é a dos ciclos de ordem 3. Tal elemento é de fato composto por dois ciclos de comprimentos ímpares e diferentes: 1 e 3. Os ciclos de ordem 1 são de fato contado. A classe de elemento neutro contém apenas um elemento e nunca é dividida. Aquela de permutações compostas por duas transposições com suportes disjuntos não é dividida em duas, porque tal permutação contém ciclos de comprimentos pares ou porque contém dois ciclos do mesmo comprimento. Obtemos 4 classes de conjugação: identidade, os produtos de dois ciclos disjuntos de ordem 2 e duas classes de ciclos de ordem 3:

VSeu={eu},VS2,2={(12)(34), (13)(24), (14)(23)},{\ displaystyle C_ {I} = \ {I \}, \ quad C_ {2,2} = \ {(12) (34), ~ (13) (24), ~ (14) (23) \}, } VS3no={(123), (142), (134), (243)}eVS3b={(132), (124), (143), (234)}.{\ displaystyle C_ {3a} = \ {(123), ~ (142), ~ (134), ~ (243) \} \ quad {\ text {and}} \ quad C_ {3b} = \ {(132 ), ~ (124), ~ (143), ~ (234) \}.}

No caso de A 5 , leva mais tempo para escrever todas as classes em extensão, existem de fato 60 elementos. Existem 5 classes de conjugação. Um contém a identidade, outras 15 permutações formadas a partir de dois mapeamentos com suportes separados. Esta classe não é dividida porque contém um ciclo de comprimento par. Os 20 ciclos de ordem 3 não formam mais do que uma classe de conjugação porque cada um agora é completado por dois ciclos do mesmo comprimento (de ordem 1). Finalmente, os ciclos de ordem 5 são divididos em 2 classes de conjugações contendo 12 permutações cada.

Grupo único

Simplicidade e grupo alternado

Uma propriedade possível e importante de um grupo é que ele é simples, o que significa que não contém seu próprio subgrupo normal .

• Se n for um número inteiro maior ou igual a 5, o grupo alternado de grau n é simples.

Os grupos alternados formam uma segunda série infinita de grupos simples, depois desses, abelianos e de ordem um número primo. Esta série contém o menor grupo simples não comutativo:

• O grupo alternado de grau 5 é o menor grupo simples não abeliano e qualquer grupo simples de ordem 60 é isomórfico a A 5 .

Se n ≥ 5, o grupo A n é simples e não abeliano, portanto não trivial e perfeito (ou seja, igual ao seu subgrupo derivado ), portanto insolúvel . Uma vez que é igual ao subgrupo derivado do grupo S n , o último também não é resolvível. Esta propriedade intervém, por exemplo, na resolução de uma equação algébrica por radicais . Pode ser especificado da seguinte forma:

• Se n for um número inteiro maior ou igual a 5, o único subgrupo normal adequado de S n é A n , portanto, S n não tem solução.

Manifestações

• Se n for um número inteiro maior ou igual a 5, o grupo alternado de grau n é simples:

O método proposto aqui não é muito técnico. Há outros.

Seja H um subgrupo normal do grupo alternado A n , e contendo um elemento σ distinto do neutro. Não é, por conseguinte, um tal modo que . Então deixe e . Então, o composto pertence a H e tem uma das seguintes formas (com a , b , ... distinto): b: =σ(no)≠no{\ displaystyle b: = \ sigma (a) \ neq a}vs∉{no,b,σ(b),σ-1(no)}{\ displaystyle c \ notin \ {a, b, \ sigma (b), \ sigma ^ {- 1} (a) \}}τ=(nobvs){\ displaystyle \ tau = (abc)}τ(σ(vs)σ(b)b)=τ(σ(vs)σ(b)σ(no))=τ(στ-1σ-1)=(τστ-1)σ-1{\ displaystyle \ tau (\ sigma (c) \ sigma (b) b) = \ tau (\ sigma (c) \ sigma (b) \ sigma (a)) = \ tau (\ sigma \ tau ^ {- 1 } \ sigma ^ {- 1}) = (\ tau \ sigma \ tau ^ {- 1}) \ sigma ^ {- 1}}

1. (nobvs)(vsnob)=(novsb){\ displaystyle (abc) (cab) = (acb)} ;
2. (nobvs)(vsdb)=(nob)(vsd){\ displaystyle (abc) (cdb) = (ab) (cd)}, nesse caso H também contém (por conjugação em A n para n ≥ 5 ) uma permutação da forma ( cd ) ( ser ) e, portanto, também o composto ( ab ) ( cd ) ( cd ) ( ser ) = ( ab ) ( ser ) = ( abe )  ;
3. (nobvs)(dnob)=(novs)(bd){\ displaystyle (abc) (dab) = (ac) (bd)}, caso análogo ao anterior;
4. (nobvs)(deb)=(nobdevs){\ displaystyle (abc) (deb) = (abdec)}, caso em que H também contém o conjugado ( eba ) ( abdec ) ( abe ) = ( adbce ), assim também o composto ( abdec ) ( adbce ) = ( eba ) .

Em conclusão: em todos os casos, H contém um anel 3, portanto (por conjugação em A n para n ≥ 5) contém todos eles, de forma que H = A n .

(Nota: mesmo que n não deva ser pelo menos igual a 5, ainda é verdade que o único subgrupo distinto de A n que inclui um ciclo de ordem 3 é o próprio A n . De fato, podemos facilmente provar que se γ 1 e γ 2 são ciclos de ordem 3 em A n , pelo menos um dos dois ciclos γ 2 e γ 2 −1 é conjugado de γ 1 em A n e não apenas em S n .)

• O grupo alternado de grau 5 é o menor grupo não abeliano simples:

Primeiro, vamos usar um teorema de Burnside afirmando que um grupo não abeliano simples tem uma ordem cuja decomposição em fatores primos contém pelo menos 3 números primos. Os únicos números inteiros menores que 60 verificando essa propriedade são 30 e 42.

Um grupo de 30 elementos nunca é simples; os teoremas de Sylow permitem demonstrar. Eles garantem que o número de subgrupos de ordem 5 de tal grupo seja um divisor de 6 e seja congruente a 1 módulo 5 (portanto, é igual a 1 ou 6) e que o número de subgrupos de ordem 3 seja um divisor de 10 e é congruente a 1 módulo 3 (portanto, é igual a 1 ou 10). Se houver 6 subgrupos de ordem 5, então, como esses subgrupos se cruzam dois a dois com o elemento neutro (porque qualquer elemento não neutro de um grupo de primeira ordem gera o grupo inteiro), o grupo inteiro contém 24 elementos de ordem 5. Da mesma forma , se houver 10 subgrupos de ordem 3, então o grupo contém 20 elementos de ordem 3. Mas essas duas possibilidades não podem ser simultâneas (24 + 20> 30). Portanto, há um único subgrupo de ordem 5 ou um único subgrupo de ordem 3. A exclusividade garante que tal subgrupo seja normal.

• Se n for um número inteiro maior ou igual a 5, o único subgrupo normal adequado de S n é A n, portanto, S n não é solucionável:

Seja H um subgrupo normal de S n . A interseção de H e o grupo alternado A n é um subgrupo normal do grupo simples A n  ; é, portanto, o grupo alternado ou o grupo trivial.

Se H contém o grupo alternado, então seu índice em S n é um divisor de 2 (o índice do grupo alternado). H é, portanto, o grupo alternado ou o grupo simétrico.

Se H não contém o grupo alternado, ele é reduzido a neutro. De fato, para qualquer elemento σ de H e qualquer permutação τ , a permutação ( τστ −1 ) σ −1 é um elemento par de H, portanto, é igual a neutro, em outras palavras: todo elemento σ de H é central em S n , portanto, neutro.

O único subgrupo normal adequado de S n é, portanto, A n . Este subgrupo é simples e não abeliano; portanto, S n não tem solução.

Resultado

Se o grupo de Galois de um polinômio irredutível sobre um campo perfeito como ℚ, o dos números racionais, não é solucionável , então as raízes do polinômio não são expressas usando radicais. Esse é o conteúdo da versão formulada por Évariste Galois e em linguagem moderna, do teorema de Abel. Os exemplos mais simples ( ver artigos detalhados) são obtidos usando uma equação de grau n ≥ 5 cujo grupo de Galois é o grupo simétrico S n , que não é solucionável de acordo com os resultados anteriores. O teorema de Abel mostra que a equação P (X) = 0 não pode ser resolvida por radicais em ℚ.

Observação. Os grupos não abelianos simples que intervêm nos grupos de Galois não são necessariamente grupos alternados. Por outro lado, se um polinômio de grau 5 não é solucionável, isso necessariamente significa que o grupo de Galois contém como um subgrupo distinto o grupo alternado de grau 5.

Representação

Personagem

Uma maneira de estudar um grupo finito G é representá-lo usando um subgrupo de um grupo linear .

Seja ρ uma representação de G , em um espaço vetorial complexo V cuja dimensão - chamada de grau de ρ - é finita. Ρ o χ carácter é a aplicação de um elemento de combina o grupo faixa do automorphism ρ ( s ) de V . O valor de χ ( s ) não depende da escolha de s em sua classe de conjugação. O caractere é considerado irredutível se a representação for irredutível , ou seja, se V for diferente de zero e não tiver outro subespaço estável por todos os ρ ( s ) do que todo o espaço e o espaço no.

• O número de caracteres irredutíveis χ i de G é igual ao número h de classes de conjugação.
• Let | G | a ordem do grupo, s e t dois elementos não conjugados de G , en ( s ) o número de conjugados de s . Então ("relações de ortogonalidade nas colunas" da tabela de caracteres  (in) ):∑eu=1hχeu(s)χeu(t)¯=0et∑eu=1h|χeu(s)|2=|G|não(s) ;{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {h} \ chi _ {i} (s) {\ overline {\ chi _ {i} (t)}} = 0 \ quad {\ rm {e}} \ quad \ sum _ {i = 1} ^ {h} | \ chi _ {i} (s) | ^ {2} = {\ frac {| G |} {n (s)}} ~;}
• em particular (para s igual a neutro ) os graus d i das representações associadas a χ i verificam:∑eu=1hdeu2=|G|.{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {h} d_ {i} ^ {2} = | G |.}
• Um caractere χ é irredutível se e somente se for "da norma 1", o que resulta em:

∑g∈G|χ(g)|2=|G|.{\ displaystyle \ sum _ {g \ in G} | \ chi (g) | ^ {2} = | G |.}

Grupo alternativo de grau 4

Existem 4 classes de conjugação (12 = 1 + 3 + 4 + 4), portanto, 4 caracteres irredutíveis.

A primeira é dada pela representação trivial, de grau 1, que associa o automorfismo de identidade a cada elemento de A 4 . Seu caráter t associa 1 a cada elemento do grupo A 4 .

Existem duas outras representações de grau 1 do grupo quociente A 4 / K  : elas associam a um gerador (de ordem 3) deste grupo, respectivamente, as raízes cúbicas da unidade j e j 2 .

Obtemos uma quarta representação por restrição a A 4 da representação padrão φ 1 (de grau 3) de S 4 . Seu caráter φ é definido por φ (1) = 3, φ ( ab ) ( cd ) = –1 e φ ( abc ) = φ ( acb ) = 0. Este caráter é da norma 1, portanto, irredutível.

Deduzimos a tabela de caracteres:

Porque. irr.	1	(ab) (cd)	(ABC)	(acb)
t	1	1	1	1
σ 1	1	1	j	d 2
σ 2	1	1	d 2	j
φ	3	-1	0	0

A representação de grau 3 é utilizada no parágrafo “  Grupo de rotações do tetraedro  ”.

Grupo alternado de grau 5

Os caracteres de A 5 podem ser determinados por uma abordagem genérica bastante complicada ou pelos seguintes cálculos elementares. Existem 5 classes de conjugação (60 = 1 + 15 + 20 + 12 + 12) então 5 caracteres irredutíveis, todos reais. A mesa deles é:

Porque. irr.	1	(ab) (cd)	(ABC)	(a B C D E)	(acebd)
t	1	1	1	1	1
σ 1	3	-1	0	(1 + √ 5 ) / 2	(1 - √ 5 ) / 2
σ 2	3	-1	0	(1 - √ 5 ) / 2	(1 + √ 5 ) / 2
φ	4	0	1	-1	-1
ψ	5	1	-1	0	0

Demonstração

Além da representação trivial t , temos, por restrição da representação padrão φ 1 (de grau 4) de S 5 , um caractere φ = (4, 0, 1, –1, –1) , da norma 1 portanto irredutível. Da mesma forma, ao restringir a representação ψ 1 de S 5 (de grau 5), encontramos o caráter irredutível ψ = (5, 1, –1, 0, 0).

Os graus das duas representações ausentes são 3 e 3, porque 3 2 + 3 2 é a única decomposição de 60 - 1 2 - 4 2 - 5 2 = 18 na soma de dois quadrados.

A tabela é facilmente preenchida graças às relações de ortogonalidade nas colunas .

Além disso, seu indicador Frobenius-Schur  (en) é igual a 1, portanto, eles vêm de representações reais  (en) . Esta observação aplica-se em particular a representações de grau 3. O parágrafo “  Grupo de rotações do dodecaedro  ” mostra que tal representação corresponde ao grupo de rotações de um sólido platônico .

Grupo de rotações de um poliedro regular

Representação e geometria

Os grupos A 4 e A 5 admitem representações reais irredutíveis de grau 3. Cada um é par, para um produto escalar ad hoc em ℝ 3 , uma representação por isometrias .

Essas isometrias são todas rotações porque seu determinante é igual a 1: para n igual a 4, isso pode ser visto na descrição explícita abaixo; para n igual a 5, isso resulta do fato de que A 5 é um grupo não abeliano simples.

As representações de grau 3, para n igual a 4 ou 5, são fiéis, ou seja, injetivas  : novamente, deduzimos para n = 4 da descrição explícita e para n = 5, do fato de A 5 ser simples.

Para n igual a 4 ou 5, o grupo A n é, portanto, isomorfo a um subgrupo G do grupo de rotações de ℝ 3 . Vai identificar cada mapeamento linear à afim associada que define um ponto de origem O . Vamos mostrar que G é o grupo de rotações de um poliedro regular .

Grupo de rotações do tetraedro

A representação de grau 3 de A 4 foi obtida restringindo a representação padrão de S 4 .

O grupo G , formado por 12 rotações, é gerado por duas delas, r 1 e r 2 , terços de uma volta tendo as seguintes matrizes em base ortonormal  :

R1=(00-11000-10)eR2=(010001100){\ displaystyle R_ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {and}} \ quad R_ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}

Let s um ponto do eixo r 2 , distinta da O e S sua órbita , que é dizer que o conjunto de pontos de g ( s ) quando g atravessa o grupo L . Por construção, a órbita S é (globalmente) estável sob a acção da L . Ele forma os vértices de um poliedro (o seu casco convexo ), que é, por conseguinte, também estável por L .

Este poliedro é um tetraedro regular e grupo de rotação é G .

Demonstração

• Este poliedro tem 4 vértices: escolha por exemplo s = (–1, –1, –1) e escreva t = (1, –1, 1), u = (–1, 1, 1) ev = (1, 1, -1). Em seguida, r 1 correções v e permuta-se circularmente ( s , t , u ), enquanto R 2 correções s e permuta-se circularmente ( t , u , v ).
• Este tetraedro é regular: de acordo com o que precede, as duas faces ( stu ) e ( tuv ) são triângulos equiláteros , isométricos por causa do lado comum ( tu ). A aresta restante ( vs ) é a imagem de ( vista ) por r 1 , portanto, tem o mesmo comprimento.
• Seu grupo de rotações é G  : contém G  ; vamos mostrar que é igual a ele, ou seja, o tetraedro tem apenas 12 rotações. A rotação do tetraedro é inteiramente determinada pela imagem ( ab ) da aresta ( st ). Existem 4 escolhas possíveis para a (entre os 4 vértices), então 3 para b (entre os 3 vértices diferentes de a ).

Grupo de rotações do dodecaedro

O grupo A 5 também é isomórfico a um grupo G com rotações de ℝ 3 .

Na caixa suspensa abaixo, mostramos - por raciocínio semelhante ao do parágrafo anterior - que G é igual ao grupo de rotações de um icosaedro regular I , ou, o que é equivalente, ao grupo de rotações de seu poliedro dupla (poliedro cujos vértices são os centros das faces I , ver figura à esquerda), que é um dodecaedro regular de D . Existem, portanto, dois poliedros regulares com um grupo de rotação isomorfo a A 5 (este fenômeno não apareceu para A 4 , porque o tetraedro é seu próprio dual).

Para provar que A 5 é isomórfico ao grupo H de rotações do dodecaedro D , um método mais direto - sem passar por G , mas assumindo que a geometria de D é conhecida - é notar que existem 5 cubos cujos vértices estão entre aqueles de D (veja a figura à direita). O Grupo H opera fielmente em todos esses 5 cubos. Portanto, é isomórfico a um subgrupo de S 5 . Também sabemos que H é da ordem de 60 (cf. “  Grupo de rotações do icosaedro  ”). Em S 5 , o único subgrupo com 60 elementos ( portanto normal ) é A 5 , que mostra o isomorfismo desejado.

Construção do icosaedro e dodecaedro

Para o icosaedro, começamos como para o tetraedro  : seja φ uma rotação de G de ordem 5, s um ponto em seu eixo, distinto de O , S a órbita de s sob a ação de G , e I l envelope convexo de S (estável por G ). O estabilizador de s é reduzido às 5 potências de φ - porque a representação é fiel ou em A 5 , o centralizador de um elemento de ordem 5 é o subgrupo gerado por este elemento - portanto S contém 12 pontos.

Esses 12 vértices de I , localizados na esfera do centro O e passando por s , são permutados por φ, portanto estão distribuídos em: o ponto s , o ponto diametralmente oposto, e (os vértices de) dois pentágonos regulares , em dois planos perpendicular ao eixo de φ. Como I tem rotações de ordem 3, esses dois planos são distintos, então as faces que contêm s são 5 triângulos isósceles (conectando s a um dos dois pentágonos que está mais próximo).

Como a ação de G sobre S é transitiva , o estabilizador de qualquer vértice t é, como o de s , gerado por uma rotação de ordem 5, de modo que a distribuição dos 12 vértices em relação a t é análoga. Deduzimos, passo a passo, que todas as arestas têm o mesmo comprimento (portanto, as faces são de fato equiláteras).

O poliedro I é, portanto, um icosaedro regular. Uma vez que o seu grupo de rotação tem ordem de 60 e contém L , é igual a G .

Seu poliedro D duplo é regular e possui o mesmo grupo de rotações. Como I tem 12 vértices, 30 arestas e 20 faces, D tem 20 vértices, 30 arestas e 12 faces: é um dodecaedro.

Notas e referências

1. Esta é, por exemplo, a definição dada em Alternate Group em bibmath.net.
2. Esta é, por exemplo, a escolha de: N. Lanchier, Grupo de permutações de um conjunto finito. Formulários. , Universidade de Rouen .
3. Esta é a escolha, por exemplo, de M. Hindry, Lista de grupos simples finitos , Universidade de Paris 7 .
4. Y. Ladegaillerie, "  Ordens vinculadas ao grupo simétrico  ", em CRAS , ser. No. 271, 1970, p.  137-140 , fala na introdução do “grupo simétrico de ordem n  ” .
5. Esta definição é usada nas teorias de Adrien Douady e Régine Douady , Álgebra e Galois ,2005[ detalhe da edição ] , p.  318
6. Citado por Édouard Lucas , em Récréations mathematiques , 1891, reed. Blanchard, 1992 ( ISBN  2853671232 ) , p.  190
7. A demonstração aqui proposta vem do jogo M. Coste Teaser e geradores do grupo alternativo University of Rennes 1 (2008)
8. (en) HSM Coxeter e WOJ Moser  (de) , Geradores e Relações para Grupos Discretos , Springer ,1972( Repr.  2013), 3 e  ed. ( 1 st  ed. 1957), 164  p. ( ISBN  978-3-662-21946-1 , leitura online ) , p.  66-67.
9. (em) WR Scott, Group Theory , Dover, 1987 ( ISBN  0486653773 ) , pp.  299, visualização no Google Livros .
10. R. Bédard , Representação de grupos , UQAM,2008( leia online ) , p.  76.
11. M. Hindry, Cours d'algèbre au Magistère de Cachan , Université Paris 7, p.  22 .
12. (em) JS Rose, A Course on Group Theory , Cambridge, 1978, repr. Dover, 1994, teor. 5,30, pág.  106 . Seja G um grupo simples de ordem 60. A essência da prova consiste em mostrar, considerando a operação de G em seus 2 subgrupos de Sylow, que G é isomorfo a um subgrupo de S 5 .
13. Bédard 2008 , p.  29
14. Bédard 2008 , p.  78
15. Diz-se que um grupo é ambivalente quando todos os seus caracteres complexos são reais, o que equivale a: cada elemento é conjugado de seu simétrico. Os únicos inteiros n ≥ 2 para os quais A n é ambivalente são 2, 5, 6, 10 e 14: (en) “  Grupo ambivalente  ” , em groupprops.subwiki.org .
16. Resumo como um exercício elementar na introdução (in) de Robert A. Wilson , "Construção de grupos de matriz finita" , em P. Draxler, CM Ringel e GO Michler, Métodos Computacionais para Representações de Grupos e Álgebras , Birkhauser ,1999( DOI  10.1007 / 978-3-0348-8716-8_3 , ler online ) , p.  61-83, e detalhado em (en) Maria Wesslén, "  As representações irredutíveis de A 5  : Atribuição para a teoria da representação MAT1196 submetida a Fiona Murnaghan  " , na Universidade de Toronto ,2005, p.  18-19 e (en) Steven H. Weintraub, Teoria da Representação de Grupos Finitos: Álgebra e Aritmética , AMS ,2003( leia online ) , p.  76-79.

Veja também

Bibliografia

• Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detalhe das edições ]
• Jean-Pierre Serre , Representações lineares de grupos finitos [ detalhe das edições ]
• (in) MJ Wenninger  (in) , Dual Models , CUP , 2003 ( 1 st ed. 1983) ( ISBN  978-0-521-54325-5 )

Artigos relacionados

• Grupo simples de ordem 360
• Grupo quase simples