Elemento neutro

Em matemática , mais precisamente em álgebra , um elemento neutro (ou elemento de identidade ) de um conjunto para uma lei de composição interna é um elemento desse conjunto que deixa todos os outros elementos inalterados quando é composto com eles por essa lei. Um magma com um elemento neutro é considerado unificado .

Definição

Ou um magma. Um elemento de é dito: $(E, \ estrela)$ $e$ $E$

neutro à esquerda se ; $\ forall x \ in E, \ e \ star x = x$
neutro à direita se ; $\ forall x \ in E, \ x \ star e = x$
neutro se for neutro à direita e à esquerda.

Exemplos

Um elemento neutro refere-se à lei considerada:

0 é o elemento neutro da adição aritmética, bem como do binário " ou ";
1 é o elemento neutro da multiplicação aritmética, bem como do " e " binário;
A matriz unitária de ordem n é o elemento neutro da multiplicação de matrizes quadradas de ordem n ;
A palavra vazia é o elemento neutro da concatenação de strings.

Propriedades

É possível que o elemento neutro à esquerda (resp. À direita) não seja único. Por exemplo, considere um conjunto E contendo pelo menos dois elementos. Podemos definir uma lei G sobre E pela fórmula G ( x , y ) = xe uma lei D pela fórmula D ( x , y ) = y . Para a lei G , qualquer elemento é neutro à direita e nenhum é neutro à esquerda. Para a lei D , qualquer elemento é neutro à esquerda e nenhum é neutro à direita.
Por outro lado, se houver um elemento neutro à esquerda e um elemento neutro à direita, o conjunto admite um único elemento neutro e, além disso, qualquer elemento neutro à esquerda (resp. À direita) é igual a isto. De fato, para todos os elementos e g neutro à esquerda e e d neutro à direita, temos: e d = e g e d = e g .
Nesta situação - especialmente quando G é um grupo - o único elemento neutro G é comumente chamado o neutro do G .
Em um grupo , o neutro é o único elemento idempotente , ou seja, o único elemento x tal que xx = x .

Notas e referências

N. Bourbaki , Algebra , cap. I, p. I-12 .
Aviva Szpirglas , Álgebra L3: Curso completo com 400 testes corrigidos e exercícios [ detalhe da edição ], Parte III: Grupos, Exemplos 6.2.
Jean-Pierre Marco e Laurent Lazzarini, Mathematics L1 , p. 119 , visualização no Google Livros .
Jean-Marie Monier, MPSI Mathematics Methods and Exercises , p. 213 , visualização no Google Livros .

Veja também