Rotação vetorial
Seja E um espaço vetorial euclidiano . Uma rotação vetorial de E é um elemento do grupo ortogonal especial SO ( E ). Se escolhermos uma base ortonormal de E , sua matriz nesta base será ortogonal direta.
Rotação de vetor plana
Escrita matricial
No plano vetorial euclidiano orientado, uma rotação vetorial é simplesmente definida por seu ângulo . Sua matriz em uma base ortonormal direta é:
φ{\ displaystyle \ varphi \,}
(porqueφ-pecadoφpecadoφporqueφ){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {pmatrix}}}
.
Em outras palavras, um vetor de componentes tem por imagem o vetor de componentes que podem ser calculados com a igualdade da matriz:
você→{\ displaystyle {\ vec {U}}}
(x,y){\ displaystyle (x, y)}
V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}
(x′,y′){\ displaystyle (x ', y')}
(x′y′)=(porqueφ-pecadoφpecadoφporqueφ)(xy){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatriz} x \\ y \ end {pmatriz}}}
,
isso quer dizer que temos:
x′=xporqueφ-ypecadoφ{\ displaystyle x '= x \ cos \ varphi -y \ sin \ varphi \,}
e
y′=xpecadoφ+yporqueφ{\ displaystyle y '= x \ sin \ varphi + y \ cos \ varphi \,}
.
Exemplo
Se, por exemplo , e , denota um dos ângulos do triângulo retângulo com lados 3, 4 e 5. Podemos multiplicar os exemplos fornecendo matrizes com coeficientes racionais usando cada vez um trio pitagórico .
porqueφ=0,8{\ displaystyle \ cos \ varphi = 0 {,} 8}
pecadoφ=0,6{\ displaystyle \ sin \ varphi = 0 {,} 6}
φ{\ displaystyle \ varphi}
Escrita complexa
Isso pode ser comparado à seguinte fórmula, escrita com números complexos :
x′+eu y′=(x+eu y)(porqueφ+eupecadoφ){\ displaystyle x '+ i \ y' = (x + i \ y) (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)}
ou :
z′=x′+eu y′=(x+eu y)⋅e euφ=z⋅e euφ{\ displaystyle z '= x' + i \ y '= (x + i \ y) \ cdot e ^ {\ i \ varphi} = z \ cdot e ^ {\ i \ varphi} \,}
.
Sentido de rotação
Quando está entre e e se o mapa está orientado da maneira usual, a rotação é no sentido anti - horário (ou "anti-horário de um relógio"). Dizemos que a rotação é sinistra. Se estiver entre e , a rotação é no sentido horário. Diz-se que é dexter.
φ{\ displaystyle \ varphi}0{\ displaystyle 0}
π{\ displaystyle \ pi}
φ{\ displaystyle \ varphi}-π{\ displaystyle - \ pi}
0{\ displaystyle 0}
Composição
O composto de duas rotações vetoriais é uma rotação vetorial cujo ângulo é a soma dos ângulos das duas rotações, o que é traduzido dizendo que o grupo de rotações vetoriais é isomórfico ao grupo .
(R/2πZ,+){\ displaystyle (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ mathbb {Z}, +)}
Rotações e ângulos
Na construção axiomática da geometria baseada na álgebra linear , é a definição das rotações planas que permite definir a noção de ângulo (ver também o artigo Ângulo ).
Rotação vetorial no espaço tridimensional
Escrita matricial
No espaço euclidiano orientado de dimensão 3, uma rotação vetorial é definida por:
- um vetor unitário , que determina seu eixo: a linha de vetores invariante por esta rotação do vetor é gerada e orientada por este vetor;NÃO→{\ displaystyle {\ vec {N}}}
- seu ângulo , o da rotação do vetor plano associado, restrição desta rotação ao plano ortogonal ao eixo.φ{\ displaystyle \ varphi \,}Π{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} \,}
A orientação deste plano é determinada pela escolha da orientação do eixo. Os pares e, portanto, representam a mesma rotação do espaço.
(NÃO→,φ){\ displaystyle ({\ vec {N}}, \ varphi)}
(-NÃO→,-φ){\ displaystyle (- {\ vec {N}}, - \ varphi)}
Notaremos as coordenadas do vetor unitário em uma base ortonormal direta fixa:
(nãox,nãoy,nãoz){\ displaystyle \ left (n_ {x}, n_ {y}, n_ {z} \ right)}
NÃO→{\ displaystyle {\ vec {N}}}(eu→,j→,k→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}}) \,}
nãox2+nãoy2+nãoz2=‖NÃO→‖2=1{\ displaystyle n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2} = \ | {\ vec {N}} \ | ^ {2} = 1}
.
Let Ser um vetor arbitrário. Denotemos sua imagem pela rotação .
você→{\ displaystyle {\ vec {U}}}V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}(NÃO→,φ){\ displaystyle ({\ vec {N}}, \ varphi)}
Caso especial simples
Comecemos com o estudo do caso particular .
NÃO→=k→{\ displaystyle {\ vec {N}} = {\ vec {k}}}
O plano é então o plano gerado pelos vetores e . O vetor decompõe-se em um vetor colinear invariante por rotação e em um vetor que sofre uma rotação angular no plano , e podemos aplicar às fórmulas estabelecidas no caso de rotações vetoriais planas. Podemos, portanto, escrever:
Π{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} \,}eu→{\ displaystyle {\ vec {i}}}
j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}
você→{\ displaystyle {\ vec {U}}}zk→{\ displaystyle z {\ vec {k}}}
NÃO→{\ displaystyle {\ vec {N}}}xeu→+yj→{\ displaystyle x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}}}
φ{\ displaystyle \ varphi}Π{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi}}
xeu→+yj→{\ displaystyle x {\ vec {i}} + y {\ vec {j}}}
z′=z{\ displaystyle z '= z \,}
e
como acima,
(x′y′)=(porqueφ-pecadoφpecadoφporqueφ)(xy){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatriz} x \\ y \ end {pmatriz}}}
que pode ser escrito na forma sintética:
|
(x′y′z′)=(porqueφ-pecadoφ0pecadoφporqueφ0001)(xyz){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ z '\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi & 0 \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}
|
Caso Geral
Se o vetor unitário não for especificado em comparação com a base ortonormal direta que é usada para expressar os componentes, o raciocínio é mais delicado.
NÃO→{\ displaystyle {\ vec {N}}}(eu→,j→,k→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}}) \,}
O vetor decompõe-se na soma de , colinear com e invariante por rotação, e de , elemento de e que sofrerá uma rotação neste plano. O vetor diretamente ortogonal ao plano e da mesma norma é , de modo que a imagem do ângulo de rotação é .
você→{\ displaystyle {\ vec {U}}}(você→⋅NÃO→)NÃO→{\ displaystyle ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}}}
NÃO→{\ displaystyle {\ vec {N}}}C→=você→-(você→⋅NÃO→)NÃO→{\ displaystyle {\ vec {W}} = {\ vec {U}} - ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}}}
Π{\ displaystyle \ mathbf {\ Pi} \,}C→{\ displaystyle {\ vec {W}}}
NÃO→∧C→{\ displaystyle {\ vec {N}} \ wedge {\ vec {W}}}
C→{\ displaystyle {\ vec {W}}}φ{\ displaystyle \ varphi}(porqueφ)C→+(pecadoφ)NÃO→∧C→{\ displaystyle (\ cos \ varphi) {\ vec {W}} + (\ sin \ varphi) {\ vec {N}} \ wedge {\ vec {W}}}
Finalmente, a imagem da rotação vale:
você→{\ displaystyle {\ vec {U}}}
V→=(você→⋅NÃO→)NÃO→+(porqueφ)C→+(pecadoφ)NÃO→∧C→{\ displaystyle {\ vec {V}} = ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}} + (\ cos \ varphi) {\ vec {W}} + (\ sin \ varphi) {\ vec {N}} \ wedge {\ vec {W}}}
e se substituirmos por seu valor , obtemos:
C→{\ displaystyle {\ vec {W}}}você→-(você→⋅NÃO→)NÃO→{\ displaystyle {\ vec {U}} - ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}}}
V→=(você→⋅NÃO→)NÃO→+(porqueφ)(você→-(você→⋅NÃO→)NÃO→)+(pecadoφ)NÃO→∧você→{\ displaystyle {\ vec {V}} = ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}} + (\ cos \ varphi) ({\ vec {U} } - ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N}}) {\ vec {N}}) + (\ sin \ varphi) {\ vec {N}} \ wedge {\ vec {U} }}
de onde finalmente a fórmula de rotação de Rodrigues :
|
V→=(porqueφ) você→+(1-porqueφ)(você→⋅NÃO→) NÃO→+(pecadoφ)(NÃO→∧você→){\ displaystyle {\ vec {V}} = (\ cos \ varphi) \ {\ vec {U}} + (1- \ cos \ varphi) ({\ vec {U}} \ cdot {\ vec {N} }) \ {\ vec {N}} + (\ sin \ varphi) \, \, \ left ({\ vec {N}} \ wedge {\ vec {U}} \ right)}
|
.
A fórmula apresentada acima fornece a expressão vetorial da imagem de qualquer vetor , por rotação .
V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}você→{\ displaystyle {\ vec {U}}}(NÃO→,φ){\ displaystyle ({\ vec {N}}, \ varphi)}
Podemos apresentar o mesmo resultado na seguinte forma de matriz equivalente:
(x′y′z′)=M(xyz){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ z '\ end {pmatrix}} = M {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}
com:
|
M=(porqueφ)(100010001)+(1-porqueφ)(nãox2nãoxnãoynãoxnãoznãoxnãoynãoy2nãoynãoznãoxnãoznãoynãoznãoz2)+ (pecadoφ)(0-nãoznãoynãoz0-nãox-nãoynãox0){\ displaystyle M = (\ cos \ varphi) {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} + (1- \ cos \ varphi ) {\ begin {pmatrix} n_ {x} ^ {2} & n_ {x} n_ {y} & n_ {x} n_ {z} \\ n_ {x} n_ {y} & n_ {y} ^ { 2} & n_ {y} n_ {z} \\ n_ {x} n_ {z} & n_ {y} n_ {z} & n_ {z} ^ {2} \ end {pmatriz}} + \ (\ sin \ varphi) {\ begin {pmatrix} 0 & -n_ {z} & n_ {y} \\ n_ {z} & 0 & -n_ {x} \\ - n_ {y} & n_ {x} & 0 \ fim de {pmatrix}}}
|
.
Observações
A matriz M é chamada de matriz de rotação . É uma matriz ortogonal direta , o que significa que suas colunas formam uma base ortonormal direta, ou que sua matriz transposta é igual a sua matriz inversa e que seu determinante é igual a 1.
Inversamente, dada qualquer matriz de rotação, encontramos facilmente o cosseno do ângulo de rotação. De fato, o traço da matriz (ou seja, a soma de seus elementos diagonais) é igual a . Além disso, notamos que:
1+2porqueφ{\ displaystyle 1 + 2 \ cos \ varphi \,}
M-tM=2(pecadoφ)(0-nãoznãoynãoz0-nãox-nãoynãox0){\ displaystyle M - {} ^ {t} M = 2 (\ sin \ varphi) {\ begin {pmatrix} 0 & -n_ {z} & n_ {y} \\ n_ {z} & 0 & -n_ { x} \\ -n_ {y} & n_ {x} & 0 \ end {pmatriz}}}
o que permite encontrar rapidamente o eixo e o seno associados à rotação. Geometricamente, e forma os dois lados de um losango cujo vetor é diagonal, ortogonal ao eixo de rotação. É o losango de Olinde Rodrigues .
Mvocê→{\ displaystyle M {\ vec {U}}}
tMvocê→{\ displaystyle {} ^ {t} M {\ vec {U}}}
(M-tM)você→=2(pecadoφ)NÃO→∧você→{\ displaystyle (M - {} ^ {t} M) {\ vec {U}} = 2 (\ sin \ varphi) {\ vec {N}} \ wedge {\ vec {U}}}
Uso de quatérnions
Também podemos usar a noção de quatérnios . Na verdade, podemos calcular a imagem do vetor usando o produto dos quatérnios da seguinte forma:
V→{\ displaystyle {\ vec {V}} \,}
você→{\ displaystyle {\ vec {U}} \,}
|
(0, V→)=(0, R(φ,NÃO→)(você→))=(porqueφ2, pecadoφ2 NÃO→)⋅(0, você→)⋅(porqueφ2, -pecadoφ2 NÃO→){\ displaystyle (0, \ {\ vec {V}}) = \ left (0, \ \ mathbf {R} _ {\ left (\ varphi, {\ vec {N}} \ right)} ({\ vec {U}}) \ right) = (\ cos {\ frac {\ varphi} {2}}, \ \ sin {\ frac {\ varphi} {2}} \ {\ vec {N}}) \ cdot ( 0, \ {\ vec {U}}) \ cdot (\ cos {\ frac {\ varphi} {2}}, \ - \ sin {\ frac {\ varphi} {2}} \ {\ vec {N} })}
|
Composição de duas rotações de vetor
O composto de duas rotações vetoriais e o espaço de dimensão 3 é uma rotação vetorial. As características deste são determinadas a partir de , onde está o produto das matrizes de rotação iniciais, ou do produto dos quatérnios definindo cada uma das rotações, ou ainda pela composição das fórmulas de Rodrigues relativas a cada rotação.
R2∘R1{\ displaystyle R_ {2} \ circ R_ {1}}
R1=(NÃO→1,φ1){\ displaystyle R_ {1} = ({\ vec {N}} _ {1}, \ varphi _ {1})}
R2=(NÃO→2,φ2){\ displaystyle R_ {2} = ({\ vec {N}} _ {2}, \ varphi _ {2})}
(NÃO→3,φ3){\ displaystyle ({\ vec {N}} _ {3}, \ varphi _ {3})}
M3-tM3{\ displaystyle M_ {3} - {} ^ {t} M_ {3}}
M3{\ displaystyle M_ {3}}
M2M1{\ displaystyle M_ {2} M_ {1}}
Nós descobrimos que:
porque(φ32)=porque(φ12)porque(φ22)-pecado(φ12)pecado(φ22)(NÃO→1⋅NÃO→2){\ displaystyle \ cos ({\ frac {\ varphi _ {3}} {2}}) = \ cos ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2}}) \ cos ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) - \ sin ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2}}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) ({\ vec {N}} _ {1} \ cdot {\ vec {N}} _ {2})}
pecado(φ32)NÃO→3=porque(φ12)pecado(φ22)NÃO→2+porque(φ22)pecado(φ12)NÃO→1+pecado(φ12)pecado(φ22)NÃO→2∧NÃO→1{\ displaystyle \ sin ({\ frac {\ varphi _ {3}} {2}}) {\ vec {N}} _ {3} = \ cos ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2 }}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) {\ vec {N}} _ {2} + \ cos ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2 }}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2}}) {\ vec {N}} _ {1} + \ sin ({\ frac {\ varphi _ {1}} {2 }}) \ sin ({\ frac {\ varphi _ {2}} {2}}) {\ vec {N}} _ {2} \ wedge {\ vec {N}} _ {1}}
Rotações na dimensão 4
As matrizes do grupo ortogonal SO (4) também podem ser colocadas na forma canônica (após a diagonalização em C ); é mostrado que existem dois planos vetoriais ortogonais tais que em uma base ortonormal composta de dois vetores de cada plano, a matriz é escrita
(porqueα-pecadoα00pecadoαporqueα0000porqueβ-pecadoβ00pecadoβporqueβ){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha & 0 & 0 \\\ sin \ alpha & \ cos \ alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ cos \ beta & - \ sin \ beta \\ 0 & 0 & \ sin \ beta & \ cos \ beta \ end {pmatrix}}}
.
Vemos, portanto, que a rotação é composta por duas rotações planas, e em particular não tem um vetor fixo (sem “eixo”) a menos que um dos ângulos α ou β seja zero (neste caso, podemos falar, por analogia com o caso tridimensional, de rotação "em torno" de um plano). Se , os dois planos são únicos e são os únicos planos globalmente invariáveis por rotação; no caso em que (as chamadas rotações isoclínicas ), todos os planos gerados por um vetor e sua imagem são globalmente invariáveis.
α≠β{\ displaystyle \ alpha \ neq \ beta}
α=±β{\ displaystyle \ alpha = \ pm \ beta}
Notas e referências
-
Jean Dieudonné , Álgebra Linear e Geometria elementar , Paris, Hermann ,1964, p.113 para o estudo matemático e ver também o prefácio: "Estou a pensar em particular nas incríveis confusões e paralogismos que uma noção tão simples como a de" ângulo "dá origem quando a tomamos do ponto de vista tradicional , então, que, do ponto de vista da álgebra linear, nada mais é do que o estudo do conjunto de rotações no plano. ", p. 13
-
Olinde Rodrigues , " Leis geométricas que regem os deslocamentos de um corpo sólido no espaço, e a variação das coordenadas resultantes desses deslocamentos consideradas independentemente das causas que podem produzi-los " , Journal of Pure and Applied mathematics ,1840, p. 380-440, mais especialmente p. 403
-
Olindes Rodrigues, op. cit., mais especialmente p. 408
Veja também
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Link externo
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