Rotação afim

Em um espaço afim euclidiano orientado, uma rotação afim é definida pelos dados de um ponto (o centro da rotação, que permanece invariante por ele) e de uma rotação vetorial associada. Se é um ponto no espaço afim, sua imagem por rotação afim é o ponto tal que . Ω{\ displaystyle \ Omega} r{\ displaystyle r}P{\ displaystyle P}Q{\ displaystyle Q}ΩQ→=r(ΩP→){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Omega Q}} = r ({\ overrightarrow {\ Omega P}})}

Se nos dermos apenas uma rotação vetorial, os mapeamentos afins associados a ela são as rotações afins ou os compostos de rotações e translações afins .

Na dimensão dois

No plano afim, uma rotação é, portanto, dada por um ponto e um ângulo , o ângulo da rotação do vetor correspondente. O composto de duas rotações afins é uma rotação se a soma dos ângulos for diferente de zero. Mas se for zero, esse composto é a identidade, se os centros das duas rotações forem idênticos, ou uma translação, se os centros forem diferentes.

Na dimensão três

No espaço afim tridimensional, a rotação é definida pelos dados de um eixo afim (eixo que passa por e na direção do eixo do vetor ) e um ângulo. Os pontos do eixo são invariantes. A qualquer rotação afim corresponde uma rotação de vetor associada. Por outro lado, um mapa afim associado a uma rotação vetorial é um aparafusamento , composto por uma rotação afim e uma translação paralela ao seu eixo. Ω{\ displaystyle \ Omega}r{\ displaystyle r}

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