Intuitivamente, a curva se opõe à direita : a curvatura de um objeto geométrico é uma medida quantitativa do caráter "mais ou menos curvo" desse objeto. Por exemplo :
Esta noção intuitiva de curvatura torna-se mais precisa e admite uma generalização para espaços de quaisquer dimensões no quadro da geometria Riemanniana .
Como Gauss mostrou para o caso das superfícies ( theorema egregium ), é muito notável que a curvatura de um objeto geométrico possa ser descrita de forma intrínseca , ou seja, sem qualquer referência a um "espaço de encaixe" no qual o considerado objeto seria localizado. Por exemplo, o fato de uma esfera comum ser uma superfície de curvatura positiva constante é completamente independente do fato de que normalmente vemos essa esfera como estando imersa em nosso espaço euclidiano tridimensional. A curvatura desta esfera poderia muito bem ser medida por seres inteligentes bidimensionais que vivem na esfera (tipos de “formigas bidimensionais”), a partir de medidas de comprimentos e ângulos feitos na esfera. Diz a lenda que Gauss questionou essas questões quando confrontado com as dificuldades de mapear a Terra.
Podemos definir a curvatura de um arco do plano euclidiano de várias maneiras equivalentes. No entanto, existem duas convenções em uso, uma tornando a curvatura uma quantidade necessariamente positiva, a outra fornecendo uma versão algébrica da curvatura. É calculado em cada ponto da curva, sujeito a certas suposições sobre as derivadas das funções usadas para defini-lo.
A quantidade positiva da curvatura pode ser vista como a norma do vetor de aceleração para um corpo em movimento que atravessa a curva a uma velocidade constante igual a 1. É também o inverso do raio do círculo osculante , o círculo vindo a seguir a curva tão próximo quanto possível nas proximidades do ponto de estudo. É por isso que o inverso da curvatura é chamado de raio de curvatura. Nesse sentido, a curvatura indica a propensão da curva a se comportar como um círculo de raio mais ou menos grande, ou seja, a formar uma curva menos ou mais fechada.
Para introduzir versões algebraizadas da curvatura, é necessário fornecer ao plano e à curva uma orientação e introduzir uma referência móvel (in) adaptada ao movimento: a referência de Frenet . O sinal da curvatura é então interpretado como a indicação da direção em que a concavidade da curva é virada . A curvatura também designa a taxa (por unidade de abcissa curvilínea) na qual os vetores do referencial de Frenet giram em relação a uma direção fixa. Nos pontos de inflexão , a curvatura muda de sinal.
A curvatura pode então ser generalizada para curvas à esquerda (curvas desenhadas no espaço tridimensional). Há novamente um círculo osculante que é uma aproximação local muito boa da curva. Este círculo está incluído no plano osculante e tem como raio o inverso da curvatura. Mas as mesmas razões que impedem orientar de maneira compatível todos os planos do espaço impedem definir uma curvatura algébrica; é, portanto, por convenção, sempre positivo. A curvatura é acompanhada por outro invariante, a torção que indica a propensão do arco a se afastar do plano osculante.
A curvatura é medida em cada ponto. A sinuosidade de um arco, por outro lado, descreve o dobramento geral do arco: é a razão entre o comprimento do arco e a distância entre suas extremidades. Em termos pictóricos, compara o comprimento da trajetória obtida ao seguir o arco com a distância em linha reta. Por exemplo, é possível medir a sinuosidade de uma figura formada por vários arcos de um círculo ligados a pontos de inflexão , que correspondem a alternâncias de curvaturas negativas e positivas.
Para ter versões algebraizadas de todos os conceitos de curvatura introduzidos, é aconselhável considerar uma superfície orientada. Em cada ponto da superfície, são definidas as curvaturas e direções principais, noções geométricas intuitivas obtidas a partir das curvas desenhadas na superfície. Mas de forma mais profunda, esses objetos podem ser obtidos como autovalores e autovetores de um endomorfismo do plano tangente, o endomorfismo de Weingarten , que permite definir outras noções de curvatura: curvatura média e curvatura gaussiana.
Em um ponto M da superfície, consideramos um plano rotativo, perpendicular em M ao plano tangente à superfície. Localmente, este plano cruza a superfície considerada em uma curva. Em cada curvas bem construídas curvatura associado em H .
Os valores mínimo e máximo da curvatura são chamados de curvaturas principais . Em geral são diferentes e, neste caso, os planos correspondentes às duas curvaturas principais são perpendiculares entre si. Sua intersecção com o plano tangente define as direções principais . Na ilustração ao lado, as curvaturas principais são de sinal oposto, pois uma das curvas gira sua concavidade na direção do vetor normal e a outra na direção oposta.
O mapa gaussiano associa o vetor normal orientado a cada ponto da superfície. Em um ponto M da superfície, podemos considerar o diferencial desse mapa, que constitui um endomorfismo do plano tangente denominado endomorfismo de Weingarten . Intuitivamente, esta mostra endomorfismo pequenas flutuações do vetor normal perto do ponto M .
Trata-se de um endomorfismo simétrico , cujas curvaturas e direções principais são os valores e vetores próprios. As direções principais são, portanto, bastante ortogonais.
A curvatura média das curvaturas principais é denominada curvatura média , ou seja .
Este é o meio-traço do endomorfismo de Weingarten .
Chama-se curvatura gaussiana o produto das curvaturas principais, isto é .
Este é o determinante do endomorfismo de Weingarten. No entanto, o Teorema egregium de Gauss mostra uma diferença de natureza entre as curvaturas principais e a curvatura média por um lado, que dependem da forma como a superfície está imersa no espaço ambiente R 3 e da curvatura gaussiana por outro lado. permanece invariante por qualquer isometria local (deformação respeitando os comprimentos). A curvatura gaussiana tem, portanto, um aspecto "intrínseco" e é este conceito que se generaliza para dimensões superiores para dar origem à noção de curvatura de uma variedade . É por isso que às vezes é chamado simplesmente de curvatura .
Além disso, certos autores designam a curvatura de Gauss por curvatura total , designação em conflito com a designação seguinte.
A curvatura total de uma superfície orientada S do espaço é a integral da curvatura gaussiana na superfície. Também pode ser interpretado como a área (algébrica) varrida pelo vetor normal unitário na esfera unitária. Seu valor é dado pela fórmula de Gauss-Bonnet : depende apenas da topologia da superfície.
Na geometria Riemanniana , a curvatura é um tensor introduzido a partir da noção de conexão . Esse objeto emergiu como o mais relevante, mas pode ser difícil de apreender devido ao formalismo necessário para sua introdução. A curvatura seccional de uma variedade Riemanniana, a princípio mais simples, transmite tanta informação quanto o tensor de curvatura, e permite fazer a ligação com a curvatura gaussiana.
Definimos uma curvatura seccional para cada um dos 2 planos incluídos em cada um dos espaços tangentes de uma variedade Riemanniana . Se P é um tal plano num ponto m , consideramos em primeiro lugar a família de geodésica da m como vectores P . Esta família constitui uma superfície parametrizada incluída na variedade, imagem do plano 2 pelo mapa exponencial .
A curvatura seccional do plano 2 é então a curvatura gaussiana desta superfície. Formalmente, a coleção de todas as curvaturas seccionais constitui uma aplicação no Grassmanniano de 2 planos, com valores reais.
Seja uma variedade afim M de dimensão , isto é, uma variedade dotada de uma conexão afim . A partir desta conexão, definimos o tensor de curvatura , ou tensor de Riemann . Este tensor é definido para os campos de vetores X, Y e Z na variedade por:
,em que [X, Y] é o gancho de Lie de X e Y. é um endomorfismo campo de fibra tangente espaço TM : para qualquer campo de vectores Z , que associa um campo novo vector denotada R (X, Y) Z .
Introdução de uma métricaAtribuímos a variedade afim M com um tensor métrico g : é então uma variedade Riemanniana , e podemos definir uma curvatura com valores reais por:
.Em componentes em uma base local , é o vetor que está escrito:
.onde são os componentes do tensor de curvatura. Então temos:
.Pegando seu traço (em relação a X e Y), obtemos o tensor de curvatura de Ricci, e ao tirar o traço dele, obtemos a curvatura escalar (que é uma função de M em ).
Pierre de la Harpe , “ Espaços curvos ” , em images.math.cnrs.fr ,2004(acessado em 6 de setembro de 2018 ) .
Johann Colombano, “ Visualizing the curvature ” , em images.math.cnrs.fr ,2017(acessado em 6 de setembro de 2018 ) .