Tensor de Riemann

Na geometria Riemanniana , o tensor de curvatura Riemann-Christoffel é a forma mais comum de expressar a curvatura das variedades Riemannianas , ou mais geralmente de uma variedade com uma conexão afim , com ou sem torção .

Ou dois geodésica espaço curva , paralela à vizinhança de um ponto P . O paralelismo não será necessariamente preservado em outros pontos do espaço. O tensor de curvatura de Riemann expressa a evolução dessas geodésicas entre si. Quanto mais o espaço é curvo, mais as geodésicas se aproximam ou se afastam rapidamente .

Definição

O tensor de curvatura é formulado usando uma conexão Levi-Civita (ou mais geralmente uma conexão afim) (ou derivada covariante ) pela seguinte fórmula: $\ nabla$

Para todos os campos de vetor u , v e w da variedade:

$R (u, v) w = \ nabla _ {u} \ nabla _ {v} w- \ nabla _ {v} \ nabla _ {u} w- \ nabla _ {{[u, v]}} w.$

onde está o gancho Lie . $[\, \]$

Aqui está uma transformação linear de acordo com cada um de seus argumentos no espaço tangente da variedade. $R (u, v)$

Nota : alguns autores definem o tensor de curvatura como sendo o sinal oposto.

Se e forem campos de vetores de coordenadas, então e podemos reescrever a fórmula: $u = {\ parcial \ sobre \ parcial x_ {i}}$ $v = {\ parcial \ sobre \ parcial x_ {j}}$ $[u, v] = 0$

R (u, v) w = \ nabla _ {u} \ nabla _ {v} w- \ nabla _ {v} \ nabla _ {u} w

O tensor de curvatura então mede a não comutatividade da derivada covariante .

A transformação linear também é chamada de transformação da curvatura ou endomorfismo . $w \ mapsto R (u, v) w$

Em termos de coordenadas, esta equação pode ser reescrita usando os símbolos de Christoffel :

{R ^ {\ sigma}} _ {{\ mu \ nu \ kappa}} = {\ parcial {\ Gamma ^ {\ sigma}} _ {{\ mu \ kappa}} \ over \ parcial x ^ {\ nu }} - {\ partial {\ Gamma ^ {\ sigma}} _ {{\ mu \ nu}} \ over \ partial x ^ {\ kappa}} + {\ Gamma ^ {\ sigma}} _ {{\ nu \ lambda}} {\ Gamma ^ {\ lambda}} _ {{\ mu \ kappa}} - {\ Gamma ^ {\ sigma}} _ {{\ kappa \ lambda}} {\ Gamma ^ {\ lambda}} _ {{\ mu \ nu}}

Simetrias e identidades

O tensor de curvatura de Riemann tem as seguintes simetrias:

R (u, v) = - R (v, u) _ {{}} ^ {{}}

\ langle R (u, v) w, z \ rangle = - \ langle R (u, v) z, w \ rangle _ {{}} ^ {{}}

R (u, v) w + R (v, w) u + R (w, u) v = 0 _ {{}} ^ {{}}

A última identidade foi descoberta por Ricci , mas é freqüentemente referida como a primeira identidade de Bianchi ou identidade algébrica de Bianchi .

Essas três identidades formam uma lista completa de simetrias de tensor de curvatura, ou seja, dado um tensor respeitando as identidades acima, podemos encontrar uma variedade de Riemann com tal tensor de curvatura em um ponto. Cálculos matemáticos simples mostram que tal tensor tem componentes independentes onde está a dimensão da superfície. $n ^ {2} (n ^ {2} -1) / 12$ $não$

É possível deduzir outra identidade útil a partir dessas três equações:

\ langle R (u, v) w, z \ rangle = \ langle R (w, z) u, v \ rangle _ {{}} ^ {{}}

A identidade Bianchi (frequentemente chamada de segunda identidade Bianchi ou identidade diferencial Bianchi ) envolve os derivados covariantes:

\ nabla _ {u} R (v, w) + \ nabla _ {v} R (w, u) + \ nabla _ {w} R (u, v) = 0

Dado um determinado quadro de referência em um ponto de uma variedade, as identidades anteriores podem ser escritas em termos dos componentes do tensor de Riemann como:

R _ {{abcd}} ^ {{}} = - R _ {{bacd}} = - R _ {{abdc}}

R _ {{abcd}} ^ {{}} = R _ {{cdab}}

R _ {{abcd}} + R _ {{acdb}} + R _ {{adbc}} = 0

também escrito (primeira identidade de Bianchi)

R _ {{a [bcd]}} ^ {{}} = 0

R _ {{abcd; e}} + R _ {{abde; c}} + R _ {{abec; d}} = 0

também escrito (segunda identidade de Bianchi)

R _ {{ab [cd; e]}} ^ {{}} = 0

onde a notação entre colchetes representa aqui a anti-simetrização do tensor de acordo com os índices, e o ponto e vírgula representa a derivada covariante .

Tensor de Riemann de uma superfície

Gauss encontrou uma fórmula para a curvatura K de uma superfície por meio de um cálculo bastante complicado, mas mais simples, nas coordenadas de Riemann, onde é igual ao tensor de Riemann, chamado de "covariante total", que é então escrito em duas dimensões $R _ {{xyxy}}$

R _ {{xyxy}} = - {\ frac 12} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} g _ {{xx}}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac { \ parcial ^ {2} g _ {{yy}}} {\ parcial x ^ {2}}} \ direita) = K

onde e são os coeficientes da métrica em coordenadas de Riemann, ou seja, coordenadas cartesianas locais. $g _ {{xx}}$ $g _ {{yy}}$

Nas coordenadas de Gauss, sendo a fórmula complicada, nos limitaremos a uma métrica diagonal:

{\ displaystyle R_ {uvuv} = - {\ frac {g_ {uu, vv} + g_ {vv, uu}} {2}} + {\ frac {g_ {uu, v} ^ {2}} {4g_ { uu}}} + {\ frac {g_ {vv, u} ^ {2}} {4g_ {vv}}} + {\ frac {g_ {uu, u} g_ {vv, u}} {4g_ {uu} }} + {\ frac {g_ {vv, v} g_ {uu, v}} {4g_ {vv}}}}

onde, para simplificar a escrita, a vírgula indica uma derivação parcial . e são os coeficientes da métrica em Gaussian coordena u e v ( "molusco" de Einstein). O uev podem ser substituídos por qualquer sistema de coordenadas, a fórmula permanecerá válida, por exemplo em coordenadas esféricas onde uev são substituídos por e . Pode ser prático usar a forma determinando a partir da fórmula anterior, chamada Brioschi : $g _ {{uu}}$ $g _ {{vv}}$ $\ theta$ $\ phi$

R _ {{uvuv}} = {\ begin {vmatrix} - {\ frac {g _ {{uu, vv}} + g _ {{vv, uu}}} {2}} + {\ frac {g _ {{uu, v}} ^ {2}} {4g _ {{uu}}}} + {\ frac {g _ {{vv, u}} ^ {2}} {4g _ {{vv}}} } & {\ frac {g_ {{uu, u}}} {2g _ {{uu}}}} & - {\ frac {g _ {{uu, v}}} {2g _ {{vv}}} } \\ - {\ frac {1} {2}} g _ {{vv, u}} & 1 & \\ {\ frac {1} {2}} g _ {{vv, v}} && 1 \ fim {vmatrix}}

Para uma métrica não diagonal, a curvatura gaussiana é:

K = {\ frac {1} {(EG-F ^ {2}) ^ {2}}} \ left [{\ begin {vmatrix} - {\ frac {1} {2}} E _ {{vv} } + F _ {{uv}} - {\ frac {1} {2}} G _ {{uu}} & {\ frac {1} {2}} E_ {u} & F_ {u} - {\ frac {1} {2}} E_ {v} \\ F_ {v} - {\ frac {1} {2}} G_ {u} & E & F \\ {\ frac {1} {2}} G_ {v} & F & G \ end {vmatrix}} - {\ begin {vmatrix} 0 & {\ frac {1} {2}} E_ {v} & {\ frac {1} {2}} G_ {u } \\ {\ frac {1} {2}} E_ {v} & E & F \\ {\ frac {1} {2}} G_ {u} & F & G \ end {vmatrix}} \ right]

onde , e . Os índices correspondem a derivações parciais, sem a vírgula usada anteriormente. $E = g _ {{uu}}$ $G = g _ {{vv}}$ $F = g _ {{uv}}$

Tensor de Riemann de um espaço quadridimensional

Uma superfície está imersa em nosso espaço tridimensional. Quando adicionamos duas dimensões, obtemos uma hipersuperfície quadridimensional (u, v, w, t) imersa em um espaço de cinco dimensões. Para obter o tensor de Riemann deste espaço, adicionamos dois termos adicionais na expressão do tensor de Riemann de uma superfície que se torna

R _ {{uvuv}} = - {\ frac {g _ {{uu, vv}} + g _ {{vv, uu}}} {2}} + {\ frac {g _ {{uu, v} } ^ {2}} {4g _ {{uu}}}} + {\ frac {g _ {{vv, u}} ^ {2}} {4g _ {{vv}}}} + {\ frac { g _ {{uu, u}} g _ {{vv, u}}} {4g _ {{uu}}}} + {\ frac {g _ {{vv, v}} g _ {{uu, v }}} {4g _ {{vv}}}} - {\ frac {g _ {{uu, w}} g _ {{vv, w}}} {4g _ {{ww}}}} - {\ frac {g _ {{uu, t}} g _ {{vv, t}}} {4g _ {{tt}}}}

O tensor de Riemann diagonal métrica tem seis componentes diferentes de zero , , , para o espaço de três dimensões mais , , , para a extensão de quatro dimensões. $R _ {{uvuv}}$ $R _ {{uwuw}}$ $R _ {{vwvw}}$ $R _ {{utut}}$ $R _ {{vtvt}}$ $R _ {{wtwt}}$

Notas e referências

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Estritamente falando, devemos usar u e v aqui em vez de x e y , porque eles são coordenadas Gauss.
(em) W. Pauli , Teoria da Relatividade , Dover, 1981.
(in) Kevin Brown, Reflexões sobre a relatividade , § 5.2, " geometria riemanniana " .

Veja também

Bibliografia

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