Torção de uma curva

Na geometria diferencial , a torção de uma curva desenhada no espaço mede como a curva se torce para fora de seu plano osculante (plano que contém o círculo osculante ). Assim, por exemplo, uma curva plana tem torção zero e uma hélice circular tem torção constante. Juntas, a curvatura e a torção de uma curva de espaço definem sua forma como a curvatura faz para uma curva plana. A torção aparece como um coeficiente nas equações diferenciais do sistema de coordenadas de Frenet .

Definição

Seja C uma curva de espaço biregular orientada (as duas primeiras derivadas são independentes) de classe maior ou igual a 3, parametrizada pelo comprimento do arco  : r:eu→E3,s↦M=r(s){\ displaystyle r: I \ to {\ mathcal {E}} _ {3}, \, s \ mapsto M = r (s)} A derivada de r fornece o vetor unitário tangente à curva e a segunda derivada de r é então um vetor ortogonal ao vetor tangente cuja norma fornece a curvatura . O vetor normal à curva e o vetor binormal são dados por: t→(s){\ displaystyle {\ vec {t}} (s)} κ(s){\ displaystyle \ kappa (s)}não→(s){\ displaystyle {\ vec {n}} (s)}b→(s){\ displaystyle {\ vec {b}} (s)}não→(s)=1κr″(s){\ displaystyle {\ vec {n}} (s) = {\ frac {1} {\ kappa}} r '' (s)} e b→(s)=t→(s)∧não→(s){\ displaystyle {\ vec {b}} (s) = {\ vec {t}} (s) \ land {\ vec {n}} (s)} onde está o produto vetorial . Este vetor é um vetor normal no plano osculante. ∧{\ displaystyle \ land}b→{\ displaystyle {\ vec {b}}}

A derivada do vetor é então um vetor colinear com e existe uma função chamada torção tal que b→{\ displaystyle {\ vec {b}}}não→{\ displaystyle {\ vec {n}}}τ{\ displaystyle \ tau}db→(s)ds=-τ(s)não→{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {b}} (s)} {\ mathrm {d} s}} = - \ tau (s) {\ vec {n}}}

rem: às vezes encontramos a definição de torção com um sinal oposto.

Se a torção for diferente de zero, o inverso da torção é chamado de raio de torção.

Se a torção da função for constantemente zero, a curva é uma curva plana.

Cálculo de torção

É possível calcular a torção para qualquer configuração ( normal ou admissível ). Se a curva biregular de classe maior ou igual a 3 é definida por f:eu→E3,t↦M=f(t){\ displaystyle f: I \ to {\ mathcal {E}} _ {3}, \, t \ mapsto M = f (t)} tão τ(t)=Det(f′(t),f″(t),f‴(t))‖f′(t)∧f″(t)‖2{\ displaystyle \ tau (t) = {\ frac {\ mathrm {Det} (f '(t), f' '(t), f' '' (t))} {\ | f '(t) \ land f '' (t) \ | ^ {2}}}} e se então f=(x,y,z){\ displaystyle f = (x, y, z)}τ=x‴(y′z″-y″z′)+y‴(x″z′-x′z″)+z‴(x′y″-x″y′)(y′z″-y″z′)2+(x″z′-x′z″)2+(x′y″-x″y′)2.{\ displaystyle \ tau = {\ frac {x '' '(y'z' '- y''z') + y '' '(x''z'-x'z' ') + z' '' (x'y '' - x''y ')} {(y'z' '- y''z') ^ {2} + (x''z'-x'z '') ^ {2} + (x'y '' - x''y ') ^ {2}}}.}

Influência no comportamento local

No ponto M 0 , correspondente ao valor s 0 do parâmetro, nota-se a curvatura da curva neste ponto e sua torção. Colocamo- nos no benchmark Frenet para estudar a curva. As coordenadas de um ponto da curva neste sistema de coordenadas verificam as seguintes igualdades: κ0{\ displaystyle \ kappa _ {0}}τ0{\ displaystyle \ tau _ {0}} (M0,t→0,não→0,b→0){\ displaystyle (M_ {0}, {\ vec {t}} _ {0}, {\ vec {n}} _ {0}, {\ vec {b}} _ {0})}(x,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}y=12κ0x2+o(x2){\ displaystyle y = {\ frac {1} {2}} \ kappa _ {0} x ^ {2} + o (x ^ {2})} z=16κ0τ0x3+o(x3){\ displaystyle z = {\ frac {1} {6}} \ kappa _ {0} \ tau _ {0} x ^ {3} + o (x ^ {3})}

onde e são insignificantes na frente de e . o(x2){\ displaystyle o (x ^ {2})}o(x3){\ displaystyle o (x ^ {3})}x2{\ displaystyle x ^ {2}}x3{\ displaystyle x ^ {3}}

A segunda igualdade indica como a curva tende a escapar de seu plano osculante, ou seja, do plano , e o papel da torção nesse fenômeno. (M0,t→0,não→0){\ displaystyle (M_ {0}, {\ vec {t}} _ {0}, {\ vec {n}} _ {0})}

Se a torção for positiva, a curva é dextral e se comporta localmente como a hélice de um saca-rolhas. Se a torção for negativa, a curva é considerada sinistra.

Hélice e esferas osculantes

Hélice Osculante

Entre as curvas à esquerda, as mais simples são as hélices circulares e pode-se buscar aproximar localmente a curva à esquerda por uma hélice circular. Se a curva for parametrizada pelo comprimento do arco tirado do ponto M 0 , o desenvolvimento limitado de ordem 3 das coordenadas da curva no sistema de coordenadas de Frenet na vizinhança de M 0 é: {x(s)=s-16κ02s3+o(s3)y(s)=12κ0s2+16κ0′s3+o(s3)z(s)=16κ0τ0s3+o(s3){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} x (s) = s - {\ frac {1} {6}} \ kappa _ {0} ^ {2} s ^ {3} + o (s ^ {3}) \\ y (s) = {\ frac {1} {2}} \ kappa _ {0} s ^ {2} + {\ frac {1} {6}} \ kappa '_ {0} s ^ {3} + o (s ^ {3}) \\ z (s) = {\ frac {1} {6}} \ kappa _ {0} \ tau _ {0} s ^ {3 } + o (s ^ {3}) \ end {array}} \ right.} onde é o valor da derivada da curvatura em . κ0′{\ displaystyle \ kappa '_ {0}}M0{\ displaystyle M_ {0}}

A hélice para a qual a distância entre as duas curvas é a menor na vizinhança de é a hélice do mesmo plano osculante, de curvatura e de torção . É chamada de hélice osculante da curva no ponto . A distância entre as duas curvas é então de ordem 3 e vale a pena . As outras hélices do mesmo círculo osculante também estão a uma distância de ordem 3 da curva, mas a uma distância maior. M0{\ displaystyle M_ {0}}κ0{\ displaystyle \ kappa _ {0}}τ0{\ displaystyle \ tau _ {0}}M0{\ displaystyle M_ {0}}|16κ0′s3+o(s3)|{\ displaystyle | {\ frac {1} {6}} \ kappa '_ {0} s ^ {3} + o (s ^ {3}) |}

Encontramos esta mesma distância , no plano entre uma curva plana e seu círculo osculante. |16κ0′s3+o(s3)|{\ displaystyle | {\ frac {1} {6}} \ kappa '_ {0} s ^ {3} + o (s ^ {3}) |}

Esferas Osculator e Supersculator

Também podemos tentar minimizar a distância da curva de uma esfera.

A distância entre a curva e a esfera será em o (s²) se e somente se a esfera interceptar o plano osculante de acordo com o círculo osculante. Existe, portanto, uma infinidade de esferas deste tipo cujo centro está localizado em um eixo que passa pelo centro do círculo de osculação e direção . Este eixo é denominado eixo de curvatura da curva. b0{\ displaystyle b_ {0}}

Se a torção for diferente de zero, entre essas esferas, há uma para a qual a distância entre a curva e a esfera é em o (s 3 ). É aquele cujo centro tem por coordenadas no sistema de coordenadas Frenet: τ0{\ displaystyle \ tau _ {0}}Ω=(0;1κ0;-κ0′κ02τ0){\ displaystyle \ Omega = \ left (0; {\ frac {1} {\ kappa _ {0}}}; - {\ frac {\ kappa '_ {0}} {\ kappa _ {0} ^ {2 } \ tau _ {0}}} \ right)} e isso vai direto ao ponto . M0{\ displaystyle M_ {0}}

Essa esfera é chamada, segundo os autores, de esfera osculante ou supersculante da curva no ponto . M0{\ displaystyle M_ {0}}

Notas e referências

1. Lelong-Ferrand e Arnaudiès 1977 , p.  348
2. Lelong-Ferrand e Arnaudiès 1977 , p.  357.
3. Curvas dextrais e sinistrais - Enciclopédia de formas matemáticas notáveis .
4. Lelong-Ferrand e Arnaudiès ( Lelong-Ferrand e Arnaudiès 1977 , p.  358) falam de uma curva disposta em um sinistrorsum .
5. Charles Ruchonnet, De l'hélice osculatrice , Nova Annals of Mathematics 2 nd  série, volume 10 (1871), p. 444-450, p 448.
6. Lelong-Ferrand e Arnaudiès 1977 , p.  360
7. Esfera osculante no site mathworld
8. Lelong-Ferand e Arnaudiès ( Lelong-Ferrand e Arnaudiès 1977 , p.  361) chamada osculador esfera qualquer esfera que intersecta o plano osculador de acordo com o círculo osculador e reserva-se o termo supersculator para que se aproxima o (s o- curva 3 )
9. Lelong-Ferrand e Arnaudiès 1977 , p.  361

Bibliografia

• Jacqueline Lelong-Ferrand e Jean-Marie Arnaudiès , curso de Matemática: Volume 3: Geometria e cinemática , Bordas, col.  "Dunod",1977( ISBN  978-2-04-003080-3 ) , p.  347-361

Veja também

• Quiralidade axial