Cálculo

O cálculo (ou cálculo ) é um ramo da matemática desenvolvido a partir da álgebra e da geometria , que envolve duas ideias principais complementares:

O cálculo diferencial , que estabelece uma relação entre variações de várias funções, bem como o conceito de derivada . A velocidade , aceleração e inclinações das curvas das funções matemáticas em um determinado ponto podem ser descritas em uma base simbólica comum, taxas de mudança, otimização e taxas relacionadas.
O cálculo , que desenvolve a ideia de integração , técnicas de integração, envolve o conceito da área subjacente ao gráfico de uma função, inclui conceitos relacionados como volume , sequências e séries.

Esses dois conceitos definem operações inversas no sentido preciso definido pelos teoremas fundamentais do cálculo . Isso significa que eles têm igual prioridade. No entanto, a abordagem educacional usual começa com o cálculo diferencial.

Histórico

O desenvolvimento do cálculo é atribuído a Arquimedes , Fermat , Leibniz e Newton . No entanto, quando o cálculo infinitesimal foi inicialmente desenvolvido, uma controvérsia surgiu entre Leibniz e Newton sobre quem era o responsável por ele, obscurecendo a contribuição de Fermat do público em geral. O algoritmo da passagem ao limite para calcular a tangente a uma curva é de fato uma invenção de Fermat (método dos máximos e mínimos) em 1636 e foi público a partir de 1667, pois relatado por Huygens à Academia de Ciências . As evoluções posteriores, de Leibniz e Newton (que estavam em conexão com Huygens), relacionam-se com as notações. A maior contribuição de Leibniz foi, sem dúvida, seu sistema de pontuação .

A controvérsia foi lamentável, no entanto, porque por muitos anos dividiu os matemáticos de língua inglesa e os do resto da Europa . Isso atrasou por muito tempo o progresso da análise (matemática baseada no cálculo) na Grã-Bretanha . A terminologia e as notações de Newton eram claramente menos flexíveis do que as de Leibniz. Eles ainda foram preservados até o início do XIX ° século, quando o trabalho da Sociedade Analítica introduzido notação de Leibniz com sucesso na Grã-Bretanha.

Barrow , Descartes , Huygens e Wallis também contribuíram em menor medida para o desenvolvimento do cálculo.

Kowa Seki , um matemático japonês contemporâneo de Leibniz e Newton, também declarou alguns princípios fundamentais do cálculo integral. No entanto, o corte de contatos com o Extremo Oriente nessa época não permitiu a divulgação de sua obra na Europa.

A principal justificativa para o desenvolvimento do cálculo diferencial era encontrar uma solução para o "problema da tangente".

Princípios

Bases

As bases conceituais do cálculo infinitesimal incluem as noções de funções , limites , sequências infinitas , séries infinitas e continuidade . Essas ferramentas incluem técnicas de manipulação simbólica associadas à álgebra elementar e indução matemática .

A versão moderna do cálculo, chamada de " análise real " , consiste em uma derivação rigorosa dos resultados do cálculo, bem como generalizações como a teoria da medição e a análise funcional .

Teorema fundamental da análise

O teorema fundamental da análise mostra que diferenciação e integração são, em certo sentido, operações inversas. É esta “descoberta” de Newton e Leibniz que está na origem da explosão dos resultados analíticos. Este link nos permite encontrar a variação total de uma função ao longo de um intervalo de sua variação instantânea, integrando a última. O teorema fundamental também nos dá um método para calcular muitas integrais definidas algebricamente, sem realmente ir ao limite, encontrando a antiderivada . Também nos permite resolver algumas equações diferenciais. Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma função a suas derivadas. As equações diferenciais são fundamentais na ciência.

Galhos

Cálculo diferencial

O cálculo diferencial consiste em encontrar as taxas instantâneas (ou derivadas ) de variação do valor de uma função em relação às variações de seu (s) parâmetro (s). Esse conceito está no cerne de muitos problemas de física . Por exemplo, a teoria básica dos circuitos elétricos é formulada em termos de equações diferenciais para descrever sistemas oscilantes.

A derivada de uma função torna possível encontrar seus extremos ( mínimos e máximos ) estudando suas variações. Outra aplicação do cálculo diferencial é o método de Newton , um algoritmo que permite encontrar os zeros de uma função aproximando-a localmente por suas tangentes . Esta é apenas uma breve visão geral das muitas aplicações do cálculo em problemas que, à primeira vista, não são formulados nesses termos.

Alguns atribuem a paternidade do cálculo diferencial a Fermat .

Cálculo integral

O cálculo integral estuda os métodos de encontrar a integral de uma função. Pode ser definido como o limite da soma dos termos em que cada um corresponde à superfície de uma tira fina subtendida pelo gráfico da função. Definida dessa forma, a integração fornece um meio eficaz de calcular a área sob uma curva, bem como a área e o volume de sólidos, como uma esfera ou um cone .

Formulários

Para tornar estas noções concreto, considera-se no plano $( xOy )$ um rectângulo de lados $x$ e $y do$ que dois pontos opostos são $S$ e $M ( x , y )$ . A sua superfície é igual a $xy$ e depende das coordenadas $x$ e $y$ do ponto $M$ . Seguindo uma abordagem intuitiva, devemos denotar por $dx$ uma variação muito pequena da variável $x$ . Quando o ponto $M$ está sujeito a um deslocamento muito pequeno, a superfície mudará e podemos escrever que $S + dS = ( x + dx ) \times ( y + dy ) = xy + x dy + y dx + dx dy$ , e nós pode facilmente deduzir que $dS = x dy + y dx + dx dy$ .

Uma aplicação numérica simples onde $x$ e $y$ são metros e $dx$ e $dy$ são centímetros ilustra que $dx dy$ é insignificante em comparação com outras quantidades.

Podemos dar um status matemático preciso às notações $dx$ e $dy$ (que são formas diferenciais ) e à quantidade $dx dy,$ que é então de segunda ordem . O cálculo anterior é de fato um cálculo de desenvolvimento limitado à ordem 1, envolvendo as primeiras derivadas da função $xy$ em relação às duas variáveis.

Portanto, escrevemos:

{\ displaystyle dS = (x + dx) \ cdot (y + dy) -x \ cdot y = y \ cdot dx + x \ cdot dy + dx \ cdot dy = (y, x) \ cdot (dx, dy) + dx \ cdot dy = {\ overrightarrow {\ nabla}} S \ cdot {\ overrightarrow {dOM}} + dx \ cdot dy}

\ overrightarrow \ nabla S \ cdot \ overrightarrow {dOM} = (y {\ vec i} + x {\ vec j}) \ cdot (dx {\ vec i} + dy {\ vec j}) = \ left ({ \ frac {\ parcial (xy)} {\ parcial x}} {\ vec i} + {\ frac {\ parcial (xy)} {\ parcial y}} {\ vec j} \ direita) \ cdot (dx { \ vec i} + dy {\ vec j})

Todas essas igualdades são maneiras diferentes de escrever um produto escalar de dois vetores:

{\ displaystyle dS = (x + dx) \ cdot (y + dy) -x \ cdot y = y \ cdot dx + x \ cdot dy + dx \ cdot dy = \ mathrm {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}} } (xy) \ cdot {\ overrightarrow {dOM}} + dx \ cdot dy = {\ overrightarrow {\ nabla}} (xy) \ cdot {\ overrightarrow {dOM}} + dx \ cdot dy}

\ overrightarrow {{\ mathrm {grad}}} (xy) = (y, x)

O interesse da introdução desses vetores para expressar a variação de uma função de vários parâmetros é visualizar o fato de que a função irá variar mais na direção do vetor gradiente e que não irá variar para nenhum parâmetro de mudança em uma direção perpendicular ao gradiente.

(y {\ vec i} + x {\ vec j}) \ cdot (dx {\ vec i} + dy {\ vec j}) = 0

para em nosso exemplo do retângulo.

ydx + xdy = 0

O desenvolvimento e uso do cálculo infinitesimal teve consequências importantes em praticamente todos os campos. É a base de muitas ciências, especialmente da física . Quase todas as técnicas e tecnologias modernas fazem uso fundamental do cálculo.

Isso se espalhou com as equações diferenciais , cálculo vetorial , cálculo de variações , análise complexa ou geometria diferencial .

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Calculus " ( ver a lista de autores ) .

Cf. Jean-Marie Duhamel , Memórias sobre o método dos máximos e mínimos de Fermat e sobre os métodos tangentes de Fermat e Descartes , Gauthier-Villars ,1864( leia online ).

Veja também

Bibliografia

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(en) Donald J. Albers, Richard D. Anderson e Don O. Loftsgaarden, Programas de Graduação em Matemática e Ciências da Computação: The 1985-1986 Survey , coll. " Notas MAA " (n ° 7), 1986
Gustave Bessière, O cálculo fácil e atraente , 3 e ed., 1931, Paris, Dunod
Jean-Marc Garnier, cálculo infinitesimal , elipses , 2015
(pt) George A. Osborne, Cálculo Diferencial e Integral com Exemplos e Aplicações , Boston, DC Heath and Co. (en) ,1906( leia online )
(pt) Clifford Pickover , Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind , John Wiley & Sons , 2003 ( ISBN 0-471-26987-5 )
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