Retângulo

Em geometria , um retângulo é um quadrilátero cujos quatro ângulos são direito .

Definição e propriedades

Um quadrilátero é um polígono (portanto uma figura plana ) formado por quatro pontos (chamados vértices ) e quatro segmentos (ou lados ) que conectam esses vértices dois a dois de forma a delimitar um contorno fechado.

Definição - Um retângulo é um quadrilátero que possui quatro ângulos retos.

Quadriláteros. Os dois no canto superior esquerdo (verde e marrom) são retângulos.
Um retângulo, suas duas diagonais e um ângulo reto codificado.

Prove que um quadrilátero é um retângulo

Diferentes propriedades características permitem afirmar que um quadrilátero é um retângulo.

Basta que um quadrilátero tenha três ângulos retos para ser um retângulo.

Qualquer quadrilátero equianulado (isto é, todos os quatro ângulos são iguais) é um retângulo.

Se um quadrilátero é um paralelogramo , então é um retângulo se alguma das seguintes propriedades for verdadeira:

tem dois lados perpendiculares consecutivos (ou seja: tem um ângulo reto);
suas duas diagonais têm o mesmo comprimento .

Propriedades

Um retângulo é um caso especial de paralelogramo, então:

seus lados opostos são paralelos e do mesmo comprimento;
suas duas diagonais se cruzam no meio;
este ponto médio é um centro de simetria do retângulo.

Possui propriedades adicionais:

suas diagonais são do mesmo comprimento;
tem dois eixos de simetria, que são os mediadores de seus lados;
sendo as diagonais do mesmo comprimento e secantes em seu O médio , os quatro vértices do retângulo são equidistantes de O , o que significa que há um círculo com centro O passando por esses quatro vértices, chamado de círculo circunscrito ao retângulo, que é ele próprio -mesmo disse inscrito neste círculo .

Qualquer retângulo pode ser usado para constituir uma tesselação do plano. Isso significa que é possível, com retângulos idênticos, cobrir todo o plano sem sobrepor dois retângulos. As linhas perpendiculares dividem o plano em áreas retangulares.

Medidas

Perímetro	2 × ( a + b )
Área	a × b
Diagonal	$\sqrt a 2 + b 2$

Os lados de um rectângulo sendo dois por dois do mesmo comprimento de um e b , é habitual para ligar estes dois números dimensões do rectângulo. Quanto maior for o comprimento do retângulo, menor será sua largura .

Um rectângulo com os lados um e b tem uma área igual a um × b , e um perímetro de 2 × ( a + b ). A soma a + b às vezes é chamada de meio perímetro do retângulo.

Aplicando o teorema de Pitágoras mostra que as diagonais do retângulo são iguais e medem ${\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.$

Essas medidas estão resumidas na tabela ao lado.

Dois retângulos que têm o mesmo comprimento a e a mesma largura b são isométricos . Isso significa que eles são sobrepostos: um dos dois pode ser transformado no outro por uma sucessão de translações , rotações ou reversões . O quociente $no / b$ é chamado de formato de retângulo. Todos os retângulos de tamanhos iguais são semelhantes : há uma ampliação (ou redução) que permite a passagem de um para o outro. Em outras palavras, eles têm "a mesma forma". Como o comprimento é maior ou igual à largura, o formato é um número maior ou igual a 1. Um formato igual a 1 é característico de um quadrado . Quanto maior o formato, mais “alongado” é o retângulo.

Retângulos notáveis

Quadrado

Um quadrado é um retângulo específico cujos quatro lados têm o mesmo comprimento .

Retângulo dourado

Um retângulo dourado é um retângulo cuja proporção entre o comprimento e a largura é igual ao número dourado .

Formato de um retângulo

Veja o tamanho A4 e vários tamanhos de tela de TV e computador .

Uma ilustração do conceito de distância de Hausdorff

Isso é o que o retângulo oferece no contexto da geometria elementar:

Seja R um retângulo de largura be comprimento a. Então a distância de Hausdorff entre R e sua borda (topologia) é igual ab / 2. É realizado para todo KL onde K é um ponto de um segmento de comprimento ab incluído na mediana em relação à largura e L a projeção ortogonal de K ao longo de um comprimento do retângulo. Essa distância é útil para calcular a distância de Hausdorff entre duas iterações sucessivas do tapete Sierpinski associado a um retângulo.

(em) Michael F.Barnsley, Fractais em todos os lugares ,1993, 531 p. ( ISBN 978-0-12-079069-2 e 0-12-079069-6 , leia online ) , exercício 6.8 p.30

Apêndices

Bibliografia: Patricia Rulence-Easter, Percepção de superfície e inferência de superfície: o caso da superfície do retângulo , EHESS, Université Paris 5, 1996 (tese de doutorado em Psicologia)
Filmografia: Rectangle et rectangles , sequência 8:29 min, 1984, do filme canadense Geometria em movimento, brincando com formas e formas / Géométrie en mouvement, jeux et forme , dirigido por Gayle Thomas, René Jodoin e Norman McLaren , National Office do Canada Film , 2006 ( DVD )