Paralelogramo
Em geometria , um paralelogramo é um quadrilátero cujos segmentos diagonais se cruzam em seus pontos médios .
Definições equivalentes
Na geometria puramente afim , um quadrilátero (ABCD) é um paralelogramo (no sentido definido na introdução) se e somente se satisfizer uma das seguintes propriedades equivalentes:
- os vetores e são iguais;NOB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}
DVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {DC}}}![{\ displaystyle {\ overrightarrow {DC}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b7bc9e947d0a628f36a4317e107de3f6f85e37f)
- os vetores e são iguais.NOD→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AD}}}
BVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {BC}}}![\ overrightarrow {BC}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80df1bc7f3bdc0a1b728b4594330e4c3fd3ebfa)
Se além disso os quatro vértices são três a três desalinhados , essas propriedades também são equivalentes ao seguinte: os lados opostos são paralelos dois a dois, ou seja: (AB) // (CD) e (AD) // ( BC).
Na geometria euclidiana , sob esta mesma suposição, essas propriedades também são equivalentes a:
- o quadrilátero não é cruzado e seus lados opostos têm o mesmo comprimento dois a dois;
- é convexo e seus ângulos opostos têm a mesma medida dois a dois;
- seus ângulos consecutivos são adicionais dois por dois;
- é um trapézio (não cruzado) cujas bases têm o mesmo comprimento.
Propriedades
Casos especiais
Área
Let Ser o comprimento de um lado do paralelogramo e o comprimento da altura associada. A área do paralelogramo é:
b{\ displaystyle b}
h{\ displaystyle h}
NO{\ displaystyle A}![NO](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
NO=b×h.{\ displaystyle A = b \ times h.}![A = b \ vezes h.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a99e2152272098e646dde14736b6cd36624d5b9)
A área de um paralelogramo também é dada por um determinante .
Antiparalelogramo
Um antiparalelograma é um quadrilátero cruzado cujos lados opostos têm o mesmo comprimento dois a dois.
Em um antiparalelogramo, os ângulos opostos têm a mesma medida em valor absoluto.
Equipolência e vetores
Agora é clássico definir a noção de paralelogramo a partir da de vetor ( ver acima ), mas podemos, inversamente, a partir da noção de meio, definir (como na introdução) a de paralelogramo, depois a de equipolência de dois bipontos e, finalmente, o do vetor:
- chamamos de biponto qualquer par de pontos (a ordem dos pontos é importante);
- dois bipontos ( A , B ) e ( C , D ) são considerados equipolentes se ABDC for um paralelogramo;
A relação de equipolência é uma
relação de equivalência .
- chamamos de vetor a classe de equivalência do biponto ( A , B ), ou seja, o conjunto de bipontos equipolentes a ( A , B ).NOB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}
![\ overrightarrow {AB}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b245e60e48c3c8f577aaf9512a1bdf3049cc6207)
Então descobrimos que um quadrilátero ( ABCD ) é um paralelogramo se e somente se .
NOB→=DVS→{\ textstyle {\ overrightarrow {AB}} = {\ overrightarrow {DC}}}![{\ textstyle \ overrightarrow {AB} = \ overrightarrow {DC}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1beba530d47e97b951dd6341897dae756225c06e)
Veja também
Notas e referências
-
M. Troyanov, curso de geometria , pPUR , 2002, p. 13 .
-
Jean Dieudonné , álgebra linear e geometria elementar , Hermann ,1964, exercício 1, p. 50.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">