Parábola

A parábola é uma curva plana , simétrica em relação a um eixo, aproximadamente em forma de U.

Ele pode ser definido matematicamente de várias maneiras equivalentes. Na maioria das vezes, a parábola é definida como uma curva plana, cada ponto localizado a uma distância igual de um ponto fixo, o foco , e de uma linha fixa, a diretriz . Mas também podemos defini-lo como a interseção de um plano com um cone de revolução quando o plano é paralelo a outro plano tangente à superfície do cone.

Seu nome, parábola (justaposição, similitude), foi dado a ela por Apolônio de Perge , observando, em sua construção, uma igualdade de área entre um retângulo e um quadrado.

Este é um tipo de curva algébrica cujas muitas propriedades geométricas interessam os matemáticos desde a Antiguidade e têm recebido várias aplicações técnicas em óptica , telecomunicações ,  etc.

Seção cônica

As parábolas pertencem à família das cônicas , ou seja, curvas obtidas pela intersecção de um cone de revolução com um plano; neste caso, a parábola é obtida quando o plano é paralelo a uma das geratrizes do cone e perpendicular ao outro plano que contém a mesma geratriz e o eixo do cone.

Diretor, foco e excentricidade

Vamos D uma recta e F um ponto que não pertencem a D , e é o plano que passa pela linha recta D e o ponto F . Chamamos de parábola com linha diretriz D e ponto focal F o conjunto de pontos do plano a uma distância igual do ponto focal F e da linha D , ou seja, verificando: P{\ displaystyle P} M{\ displaystyle M}P{\ displaystyle P}

d(M,F)=d(M,D){\ displaystyle d (M, F) = d (M, D)}

que medem a distância do ponto M ao ponto F e medem a distância do ponto M ao D direito . A parábola é uma forma cônica cuja excentricidade é 1. d(M,F){\ displaystyle d (M, F)}d(M,D){\ displaystyle d (M, D)}e{\ displaystyle e}

Contexto

Em suas cônicas , Apolônio de Perge apresenta um parâmetro que permite caracterizar os pontos da parábola a partir da igualdade de um quadrado e de um retângulo de altura fixa correspondente ao dobro do que atualmente se denomina parâmetro p da cônica. Se S é o vértice da parábola com eixo (S, x), M um ponto da parábola, N é projetado no eixo da parábola, então a área do quadrado com lado MN é igual à área de o retângulo de dimensões SN e 2p. Lembrando que, no caso da hipérbole, a área do quadrado é maior que a do retângulo e que no caso da elipse essa área é menor, é ele quem dá o nome a essas três curvas: parábola (justaposição, similitude) no caso de igualdade, hipérbole (aplicada com excesso) no caso em que o quadrado é maior que o retângulo e elipse (aplicada com padrão) no caso em que o quadrado é menor que o retângulo

Equações

Da casa e do diretor

Se a parábola é dada por seu foco F e sua diretriz , chamamos K de projeção ortogonal de F on , chamamos de p (parâmetro da parábola) a distância FK e chamamos S de ponto médio de [ FK ] . Então, no sistema de coordenadas ortonormal onde tem a mesma direção e significado que , a equação da parábola é D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}(S,eu→,j→){\ displaystyle (S, {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}KF→{\ displaystyle {\ overrightarrow {KF}}}

y=x22p{\ displaystyle y = {\ frac {x ^ {2}} {2p}}}

Da função quadrática

A curva representativa de uma função polinomial quadrática da equação

y=nox2+bx+vs{\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c}

onde a , b e c são constantes reais um diferente de zero), é uma parábola. No caso a = 1 , b = c = 0 , obtemos uma expressão simples para uma parábola

y=x2{\ displaystyle y = x ^ {2}}.

No sistema de coordenadas , o vértice S de uma parábola é o ponto de coordenada . Seu eixo de simetria é o eixo . (O,eu→,j→){\ displaystyle (O, {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}(-b2no,-b2-4novs4no){\ displaystyle \ left (- {\ tfrac {b} {2a}}, - {\ tfrac {b ^ {2} -4ac} {4a}} \ right)}(Sj→){\ displaystyle (S {\ vec {j}})}

No quadro , sua equação é(S,eu→,j→){\ displaystyle (S, {\ vec {i}}, {\ vec {j}})} Y=noX2,{\ displaystyle Y = aX ^ {2},}Seu foco é o ponto e sua diretriz é a linha da equação . F(0;14no){\ displaystyle F \ left (0; {\ tfrac {1} {4a}} \ right)}D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}Y=-14no{\ displaystyle Y = - {\ frac {1} {4a}}}

No sistema de coordenadas , o foco, portanto, tem para as coordenadas e a diretriz para a equação onde . (O,eu→,j→){\ displaystyle (O, {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}(-b2no,1-Δ4no){\ displaystyle \ left (- {\ frac {b} {2a}}, {\ frac {1- \ Delta} {4a}} \ right)}y=-1+Δ4no{\ displaystyle y = - {\ frac {1+ \ Delta} {4a}}}Δ=b2-4novs{\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac}

Demonstração

No quadro , consideramos (S,eu→,j→){\ displaystyle (S, {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}

F(0;14no){\ displaystyle F \ left (0; {\ tfrac {1} {4a}} \ right)} D:Y=-14no{\ displaystyle {\ mathcal {D}}: Y = - {\ frac {1} {4a}}}.

Seja M ( X , Y ) , calculamos diretamente a distância d do ponto M à linha  : D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}

d=|Y+14no|{\ displaystyle \ mathrm {d} = \ left | Y + {\ frac {1} {4a}} \ right |}

Em seguida, calculamos a distância d '= FM  :

d′=(Y-14no)2+X2{\ displaystyle \ mathrm {d} '= {\ sqrt {\ left (Y - {\ frac {1} {4a}} \ right) ^ {2} + X ^ {2}}}}.

Interpretamos, por equivalência, a condição d = d '

d=d′⟺d2=d′2⟺(Y+14no)2=(Y-14no)2+X2{\ displaystyle \ mathrm {d} = \ mathrm {d} '\ Longleftrightarrow \ mathrm {d} ^ {2} = \ mathrm {d}' ^ {2} \ Longleftrightarrow \ left (Y + {\ frac {1} {4a}} \ right) ^ {2} = \ left (Y - {\ frac {1} {4a}} \ right) ^ {2} + X ^ {2}} d=d′⟺Yno=X2⟺Y=noX2{\ displaystyle \ mathrm {d} = \ mathrm {d} '\ Longleftrightarrow {\ dfrac {Y} {a}} = X ^ {2} \ Longleftrightarrow Y = aX ^ {2}}

portanto

d=d′⟺M∈P:Y=noX2{\ displaystyle \ mathrm {d} = \ mathrm {d} '\ Longleftrightarrow M \ in {\ mathcal {P}}: Y = aX ^ {2}}.

Da equação geral

Seja a equação Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 , em um sistema de coordenadas ortonormal. Se B 2 - AC = 0, então essa equação é a de uma parábola ou de duas retas paralelas.

Por outro lado, se (C) é uma parábola, então ela tem, em qualquer sistema de coordenadas ortonormal, uma equação da forma anterior.

Seja a equação Ax 2 + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 , em um sistema de coordenadas ortonormal. Se AC = 0 com AE ou DC diferente de zero, então esta equação é a de uma parábola cujo eixo é paralelo a um dos eixos do referencial.

Equação polar

Se tomarmos como pólo o ponto focal F da parábola e como eixo polar o eixo focal direcionado para a diretriz, por projeção no eixo, surge r + r cos ( θ ) = p .

Deduzimos que a equação polar da parábola é que reconhecemos como um caso particular de cônica de excentricidade e = 1. r→=FP→=p1+porque⁡(θ)e→θ{\ displaystyle {\ overrightarrow {r}} = {\ overrightarrow {FP}} = {\ frac {p} {1+ \ cos (\ theta)}} {\ vec {e}} _ {\ theta}}

Parametrização

No sistema de coordenadas cartesianas onde S é o ponto localizado no meio do segmento composto pelo foco F e sua projeção K na diretriz e onde é um vetor unitário orientado de S a F , podemos considerar várias parametrizações da parábola. : (S,eu→,j→){\ displaystyle (S, {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}

1. Uma parametrização cartesiana pela abscissa :, para todosSP→(x)=xeu→+x22pj→{\ displaystyle {\ overrightarrow {SP}} (x) = x {\ vec {i}} + {\ frac {x ^ {2}} {2p}} {\ vec {j}}}x∈R{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}
2. Uma parametrização cartesiana pela ordenada :, para todosSP→(y)=(±2py)eu→+yj→{\ displaystyle {\ overrightarrow {SP}} (y) = (\ pm {\ sqrt {2py}}) {\ vec {i}} + y {\ vec {j}}}y∈R+{\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {+}}
3. Parametrizações cartesianas, cada uma dependendo de uma constante arbitrária a > 0 :, para todosSP→(t)=2pnoteu→+2pno2t2j→=2pno(teu→+not2j→){\ displaystyle {\ overrightarrow {SP}} (t) = 2pat {\ vec {i}} + 2pa ^ {2} t ^ {2} {\ vec {j}} = 2pa (t {\ vec {i} } + em ^ {2} {\ vec {j}})}t∈R{\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}

(Para a = 1 / (2 p ), encontramos a parametrização pela abcissa.) Essas parametrizações são regulares ( ou seja, o vetor derivado não desaparece). O vetor (1, 2 em ) então direciona a tangente no ponto com o parâmetro t .

Algumas propriedades geométricas da parábola

Cordas paralelas

Todas as cordas da parábola paralelas à mesma linha D ' têm seu ponto médio localizado na mesma linha D paralela ao eixo: é um diâmetro relativo à direção D' . As duas tangentes à parábola nas extremidades de tais intersectam cabo em D . A tangente à parábola paralelo em D ' tem o seu ponto de contacto em D .

Tangente e bissetriz

Se A é um ponto em uma parábola definida por um foco F e uma diretriz (d), então a tangente da parábola em A é a bissetriz interna do ângulo formado por F , A e a projeção ortogonal de A em (d) .

D

Esta propriedade explica o princípio dos espelhos parabólicos: o ângulo formado pelas linhas (AF) e (b) é igual ao ângulo formado pelas linhas (AH) e (b), portanto as linhas (AH) e (AF) são simétricas em comparação com a tangente, bem como em comparação com o normal para a tangente. Em óptica, isso significa que um raio vindo de F e atingindo A sofre reflexão especular direcional (AH), já que, de acordo com a lei de Snell-Descartes , o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Assim, todos os raios vindos de F são refletidos na mesma direção, perpendicular a (d).

Propriedade relativa à ortoptica

Sejam M e M ' os pontos de intersecção de qualquer linha reta passando pelo foco da parábola com a parábola. As duas tangentes da parábola passando por M e M 'se cruzam na diretriz, formando um ângulo reto entre elas. Além disso, se chamarmos H e H ' as respectivas projeções de M e M' na diretriz e O o ponto de intersecção das duas tangentes e a diretriz, então O é o ponto médio de [ HH ' ] .

Ao se mover ao longo de sua diretriz, a parábola é sempre vista em um ângulo reto.

Demonstração

Denotamos por O o ponto de intersecção das duas tangentes. Para notações mais simples de ângulos, denotamos

α=FMO^{\ displaystyle \ alpha = {\ widehat {FMO}}}e .β=FM′O^{\ displaystyle \ beta = {\ widehat {FM'O}}}

De acordo com a correlação mostrada acima entre tangente e bissetriz, temos:

FMH^=2α{\ displaystyle {\ widehat {FMH}} = 2 \ alpha} FM′H′^=2β{\ displaystyle {\ widehat {FM'H '}} = 2 \ beta}

Como as linhas (HM) e (H'M ') são paralelas, os dois ângulos anteriores, cortados por (MM') nessas linhas, são adicionais. Então nós temos :

2β+2α=π⇔β+α=π2{\ displaystyle 2 \ beta +2 \ alpha = \ pi \ Leftrightarrow \ beta + \ alpha = {\ frac {\ pi} {2}}}

Deduzimos diretamente da soma dos ângulos de um triângulo:

MOM′^=π-(α+β)=π2{\ displaystyle {\ widehat {MOM '}} = \ pi - \ left (\ alpha + \ beta \ right) = {\ frac {\ pi} {2}}}

Chamamos de P o ponto de intersecção da perpendicular a ( MM ' ) passando por F com a diretriz. Os triângulos FMP e HMP são iguais porque FM = HM, portanto o ponto P está na bissetriz do ângulo FMH, está, portanto, na tangente que passa por M  ; da mesma forma, o ponto P está na tangente passando por M ' . O ponto P é, portanto, também o ponto O de intersecção das duas tangentes, que está bem na diretriz.

As duas tangentes, portanto, se cruzam em um ângulo reto na diretriz.

Finalmente, as igualdades PF = HP e FP = H'P provar que P , por conseguinte, S é o ponto médio de [ HH ' ] .  

Ao tomar duas tangentes perpendiculares como eixos, a equação assume a forma notável: xno+yb-1=0{\ displaystyle {\ sqrt {{x} \ over {a}}} + {\ sqrt {y \ over b}} - 1 = 0}

onde ( a , 0) e (0, b ) são as novas coordenadas dos pontos de contato.

Sub-normal constante

De um ponto M da curva, leva-se a normal que intercepta o eixo Δ em N , ou seja, H a projeção ortogonal de M em Δ . O valor HN é chamado de subnormal. Mostramos que admite como valor constante p , o parâmetro da parábola.

Demonstração

A inclinação do ser tangente , o triângulo retângulo MHN dá . y′=bronzeado⁡θ{\ displaystyle y '= \ tan \ theta}HNÃO¯=PH×bronzeado⁡θ=yy′{\ displaystyle {\ overline {HN}} = PH \ times \ tan \ theta = yy '}

No entanto, se derivarmos em relação ax a equação da parábola y 2 - 2 px = 0 , obteremos precisamente yy '= p .

Formulários

Balístico

A parábola é a trajetória descrita por um objeto que é lançado, se pudermos desprezar a curvatura da Terra , o atrito do ar (vento, desaceleração do objeto por seu arrasto aerodinâmico) e a variação da gravidade com a altura.

Torricelli demonstrou em 1640 que o envelope dessas trajetórias é ele mesmo uma parábola: parábola de segurança .

Na prática, porém, a trajetória de um objeto lançado ao ar (bola esportiva, bala de rifle, projétil) é muito diferente de uma parábola, devido ao arrasto atmosférico, o que complica muito os cálculos dos balísticos. Um caso especial é a curva descrita por um jato de água (imagem ao lado), pois, se este jato de água for bastante regular, apenas as forças de atrito atmosférico desaceleram as paredes do jato (não há arrasto de pressão): o arrasto de atrito é de ordem de magnitude muito menor do que a resistência de pressão (esta resistência de pressão sendo, por outro lado, muito forte em projéteis como bolas esportivas).

Ondas hertzianas, acústicas e de luz

Por metonímia , uma parábola designa uma antena parabólica . É mais exatamente uma aplicação das propriedades da superfície chamada parabolóide de revolução .

Os parabolóides permitem que ondas ou raios se concentrem em um ponto, o foco da parábola. Esta propriedade é usada por antenas parabólicas para concentrar uma onda eletromagnética , pelo refletor parabólico associado a um microfone para concentrar ondas acústicas ou mesmo por certos fornos solares para concentrar a luz solar .

Por outro lado, eles também podem difundir na forma de um feixe cilíndrico a luz produzida por uma lâmpada no foco da parábola. Esta propriedade é operada pelo holofote e pelo farol .

Uma parte de um cilindro com seção parabólica também permite concentrar a luz em uma linha reta, por exemplo em concentradores solares.

Referências

1. Vitrac , Caixa 5: Cônicas de acordo com Apolônio .
2. Árpád Szabó, The Dawn of Greek Mathematics , Vrin,2000( leia online ) , p.  223.
3. Ilustração animada com GeoGebra .
4. Esta condição é facilmente respeitada uma vez que o campo gravitacional varia muito pouco com a altitude em nosso planeta (os próprios satélites orbitando em um campo gravitacional não muito diferente daquele existente na superfície da Terra).

Veja também

Artigos relacionados

• Cônico
  • Hipérbole
  • Elipse
• Semicubique parabola  (em)

links externos

• Xavier Hubaut, os teoremas "belgas" - Cônicas e teorema de Dandelin
• Xavier Hubaut, Lançamento do peso - Parábola de segurança
• Bernard Vitrac, “  Os geômetras da antiguidade 8- Apolônio de Perge e a tradição das cônicas  ” , em cultureMATH (Recursos para professores de matemática, site de especialistas das Escolas Normais Superiores e do Ministério da Educação Nacional )
• Parabola , no site MathCurve.

Bibliografia

• Jean-Denis Eiden, Classical analytical geometry , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN  978-2-91-635208-4 ) .
• Jean Fresnel, métodos modernos em geometria .
• Bruno Ingrao, Affine, Euclidean and Projective Conics , C&M ( ISBN  978-2-916352-12-1 ) .