Função com valor vetorial

Função vetorial

Em matemática , uma função com valores vetoriais ou função vetorial é uma função cujo espaço de chegada é um conjunto de vetores , podendo seu conjunto de definição ser um conjunto de escalares ou vetores.

Um exemplo: curvas parametrizadas

Um exemplo clássico de funções vetoriais é o de curvas parametrizadas , ou seja, funções de uma variável real (representando por exemplo o tempo em aplicações em mecânica de pontos ) com valores em um espaço euclidiano , por exemplo o plano usual (fala-se então de curvas planas ) ou o espaço usual (fala-se então de curvas à esquerda ). t{\ displaystyle t}

Se , em termos de coordenadas cartesianas ( e 1 , ..., e n ) , uma curva parametrizada pode ser escrita como E=Rnão{\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}} r:eu⊂R→Rnão{\ displaystyle \ mathbf {r} \ dois pontos I \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}

r(t)=f1(t)e1+⋯+fnão(t)enão{\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = f_ {1} (t) \, \ mathbf {e} _ {1} + \ cdots + f_ {n} (t) \, \ mathbf {e} _ { não}}

onde são as funções de coordenadas. fj:eu→R{\ displaystyle f_ {j} \ dois pontos I \ to \ mathbb {R}}

Por exemplo, no espaço Cartesiano , notando i = (1,0,0) , j = (0,1,0) e k = (0,0,1) os vectores unitários usuais, uma curva parametrizada s'escrito no a forma R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}r:eu⊂R→R3{\ displaystyle \ mathbf {r} \, \ dois pontos I \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}

r(t)=f(t)eu+g(t)j+h(t)k{\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = f (t) \, \ mathbf {i} + g (t) \, \ mathbf {j} + h (t) \, \ mathbf {k}}

onde estão as funções de coordenadas. f,g,h:eu→R{\ displaystyle f, g, h \, \ dois pontos I \ a \ mathbb {R}}

Definição

Uma função com valor vetorial é uma função de qualquer conjunto X no espaço vetorial E sobre um campo K (comutativo).

Alguns casos comuns são:

• X é um subconjunto de (por exemplo, um intervalo de ) e . Este quadro de tampas, incluindo o cálculo de dimensão finita (incluindo curvas paramétricos discutidos acima) e um grande número de ferramentas físicas, tais como aqueles usados no ponto mecânica em mecânica dos fluidos , em termodinâmica , etc.Rnão{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}K=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}E=Rnão{\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}}
• X é um espaço de probabilidade , e . As funções vetoriais de X a E que são mensuráveis ​​são chamadas de vetores aleatórios , generalizando a noção de variável aleatória .K=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}E=Rnão{\ displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n}}

Funções de uma variável real com valores vetoriais

Considere nesta seção uma função vetorial f de um intervalo com valores em . Observamos as funções de coordenadas associadas: eu⊂R{\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}Rnão{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}f1,...,fnão:eu→R{\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n} \ dois pontos I \ a \ mathbb {R}}

f(t)=(f1(t),...,fnão(t))=f1(t)e1+⋯+fnão(t)enão{\ displaystyle \ mathbf {f} (t) = (f_ {1} (t), \ ldots, f_ {n} (t)) = f_ {1} (t) \, \ mathbf {e} _ {1 } + \ cdots + f_ {n} (t) \, \ mathbf {e} _ {n}}

para todo t ∈ I onde os e j são os vetores da base canônica de . Rnão{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

Podemos deduzir propriedades de f daquelas de f j e vice-versa. Por exemplo :

• f ( t ) tende a um vetor a = ( a 1 , ..., a n ) quando t tende a t 0 (possivelmente t 0 = ± ∞ ) se e somente se cada f j ( t ) tende a a j quando t tende a t 0  ;
• f é contínuo sobre I se e somente se cada f j é contínuo ;
• f é diferenciável sobre I se e somente se cada f j for.

Se f é diferenciável em I , sua derivada corresponde ao componente derivado por componente:

f′(t)=(f1′(t),...,fnão′(t))=f1′(t)e1+⋯+fnão′(t)enão.{\ displaystyle \ mathbf {f} ^ {\ prime} (t) = (f_ {1} ^ {\ prime} (t), \ ldots, f_ {n} ^ {\ prime} (t)) = f_ { 1} ^ {\ prime} (t) \, \ mathbf {e} _ {1} + \ cdots + f_ {n} ^ {\ prime} (t) \, \ mathbf {e} _ {n}.}

Geometricamente, f '( t ) representa (quando não é zero) o vetor tangente à curva representativa de f no ponto f ( t ) .

Podemos deduzir várias fórmulas úteis na análise vetorial . Por exemplo, se houver duas funções vetoriais diferenciáveis, então: f,g:eu→Rnão{\ displaystyle \ mathbf {f}, \ mathbf {g} \, \ dois pontos I \ para \ mathbb {R} ^ {n}}

• O produto escalar canônico é diferenciável e temosf⋅g:eu→R{\ displaystyle \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {g} \, \ dois pontos I \ para \ mathbb {R}}

(f⋅g)′=f⋅g′+f′⋅g{\ displaystyle \ left (\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {g} \ right) ^ {\ prime} = \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {g} ^ {\ prime} + \ mathbf {f} ^ {\ prime} \ cdot \ mathbf {g}}.

• No caso de n = 3 , o produto vetorial é diferenciável e temosf∧g:eu→R3{\ displaystyle \ mathbf {f} \ wedge \ mathbf {g} \, \ dois pontos I \ para \ mathbb {R} ^ {3}}

(f∧g)′=f∧g′+f′∧g{\ displaystyle \ left (\ mathbf {f} \ wedge \ mathbf {g} \ right) ^ {\ prime} = \ mathbf {f} \ wedge \ mathbf {g} ^ {\ prime} + \ mathbf {f} ^ {\ prime} \ wedge \ mathbf {g}}.

Artigos relacionados

• Vetor aleatório
• Análise vetorial

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">