Espaço localmente compacto

Em topologia , um espaço localmente compacto é um espaço separado que admite vizinhanças compactas para todos os seus pontos. Tal espaço não é necessariamente compacto em si, mas pode-se generalizar (pelo menos parcialmente) muitos resultados em espaços compactos. Estes são também os espaços que podem ser "compactados" com um ponto, graças à compactação de Alexandrov .

Motivações

A compactação é uma fonte muito fértil de resultados na topologia, mas ainda é uma propriedade muito restritiva. Em particular, o fato de que um espaço métrico deve ser limitado para ser compacto significa que os resultados relativos a espaços compactos quase nunca são aplicáveis aos espaços métricos encontrados, que muito raramente são limitados.

No entanto, podemos aplicar esses resultados a determinados espaços métricos ilimitados (em particular a espaços vetoriais normalizados ), desde que o objeto estudado respeite certas propriedades adicionais, que possibilitem a aplicação das ferramentas desenvolvidas para espaços compactos.

Por exemplo, qualquer série de pontos de um compacto admite um valor de adesão ; o caso elementar do teorema de Bolzano-Weierstrass diz que uma sequência limitada de pontos de ℝ (ou mais geralmente de ℝ n ) admite um valor de adesão. No entanto, nem ℝ nem ℝ n são compactos, mas adicionando “limitado” pode-se concluir algo, porque ℝ e ℝ n são localmente compactos. Da mesma forma, em um espaço métrico localmente compacto, qualquer sequência limitada terá uma subsequência convergente .

Definições

Um espaço topológico X é considerado localmente compacto se for separado (esta condição de separação às vezes é omitida) e se algum ponto x elemento de X admite uma vizinhança compacta, ou seja, se x pertence a um aberto relativamente compacto (isto é, de adesão compacta, ou ainda: incluído em um compacto).

Esta definição implica a seguinte caracterização (às vezes tomada como uma definição): um espaço topológico separado X é localmente compacto se e somente se cada ponto de X admitir uma base de vizinhanças compactas.

Evidência de envolvimento

Deixe- $x$ de um ponto de $X$ , que é suposto para verificar a primeira definição: ele, então tem uma vizinhança compacta $K$ .

Primeira prova Basta para mostrar que, para cada vizinhança

U

x

, há um bairro fechado

F

contidas em

L

K

. A fronteira

\partial ( U \cap K )

é fechada e incluída em

K

; portanto, é compacto. Por separação, para cada um de seus pontos

y

, existe uma vizinhança aberta

V y

y

e uma vizinhança

W y

contida em

U \cap K

x

disjunta. No entanto, a família aberta

( V y ) y \in\partial ( U \cap K )

abrange

\partial ( U \cap K )

; assim, há uma sub-recuperação finalizada

V y 1 , ..., V y n

W são 1 \cap ... \cap W y n

é uma vizinhança de

x que

não atende a nenhum de

V y i

: a adesão está incluída em

U \cap K

. Segunda prova Em

K

, que é compacto e, portanto, regular (e até normal ), as vizinhanças compactas de

x

formam uma base de vizinhanças. Portanto, eles também formam uma base de vizinhanças de

x

X

, uma vez que

K

é uma dessas vizinhanças.

Propriedades

Qualquer espaço compacto é localmente compacto.

Em um espaço localmente compacto, tudo compacto está incluído em um aberto relativamente compacto.

Como (por definição) qualquer “propriedade topológica”, a compactação local é conservada por homeomorfismos .

Também é preservado por produtos acabados .

Um subespaço Y de um espaço localmente compacto X é ele próprio localmente compacto se, e somente se, puder ser escrito como a diferença de dois fechamentos de X : Y = F 1 \ F 2 .

Em particular, todos os espaços abertos e fechados de um espaço localmente compacto são localmente compactos.

Qualquer espaço localmente compacto é completamente regular , mas não necessariamente normal (a placa de Tychonoff romba é um contra - exemplo ).

Qualquer espaço localmente compacto é um espaço de Baire, ou seja, a conclusão do teorema de Baire se aplica a ele: uma união contável de partes densas em nenhum lugar (ou seja, cujo interior da adesão está vazio) está vazio por dentro.

Os quocientes de espaços localmente compactos são os k -espaços .

Um espaço localmente compacto é σ-compacto :

(se e) somente se for semi-compacto ;
se (e somente se) for de Lindelöf .

Demonstração

É claro que qualquer espaço semicompacto é σ-compacto e qualquer espaço σ-compacto é Lindelöf .

Pelo contrário, considere um espaço localmente compacto. $X$

Suponha que seja σ-compacto, portanto coberto por uma série de compactos. Cada um está incluído em uma abertura relativamente compacta . Em seguida, defina para todos , . Os abertos cobrem e formam uma sequência crescente pois qualquer compacto de está incluído em um deles, e a fortiori em sua adesão. Como ao mesmo tempo são compactos, é semicompacto. $X$ ${\ displaystyle (K_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $K_n$ $UMA}$ $n \ in \ N$ ${\ displaystyle V_ {n} = \ xícara _ {k = 0} ^ {n} U_ {k}}$ $V_ {n}$ $X$ $X$ ${\ displaystyle {\ overline {V_ {n}}}}$ $X$
Suponha agora que seja de Lindelöf. Qualquer ponto pertence a uma abertura relativamente compacta . Podemos então extrair de uma cobertura contável. As aderências dos elementos desta cobertura são compactas e sobrepostas , portanto σ-compactas. $X$ $x \ em X$ $U_x$ ${\ displaystyle (U_ {x}) _ {x \ in X}}$ $X$

Qualquer espaço semi-compacto com bases contáveis de vizinhanças é localmente compacto.

Exemplos

O espaço ℝ dos reais é o protótipo de um espaço localmente compacto, mas não compacto.
O produto acabado ℝ n , para qualquer inteiro n > 0, herda essas duas propriedades.
Qualquer espaço homeomórfico a tal ℝ n também: por exemplo ℂ m (para qualquer inteiro m > 0), o intervalo] 0, 1 [ou o disco aberto { z ∈ ℂ | | z | <1} do plano complexo .
Mais geralmente, qualquer variedade topológica (mesmo sem uma base contável ) é localmente compacta.
Qualquer espaço discreto é localmente compacto.
Por outro lado, os seguintes espaços não são localmente compactos:
- o produto infinito ℕ ℕ ;
- o subespaço ℚ de ℝ (uma vez que uma sequência limitada de lógicas nem sempre tem um valor de aderência racional);
- os espaços vetoriais topológicos separados da dimensão infinita (encontrados na análise funcional );
- o “ meio plano aberto mais um ponto”: {(0, 0)} ∪ {( x , y ) ∈ ℝ 2 | x > 0} ou seja, os pontos do plano de abscissa estritamente positiva mais a origem. Nesse caso, é justamente a origem que representa um problema, pois não tem vizinhança compacta.

Notas e referências

N. Bourbaki , Elementos de matemática, livro III: Topologia geral [ detalhe das edições ], TG I.64, corolário.
[PDF] Notas de aula de Philippe Caldero ( Lyon-1 ) [ ler online ] .
§ “Compacto e fechado” no artigo sobre compactação .
(in) Steven A. Gaal (in) , Point Set Topology , Academic Press ,1964, 316 p. ( ISBN 978-0-08-087328-2 , leitura online ) , p. 150, Lema 1.
(en) Lawrence Narici e Edward Beckenstein, Topological Vector Spaces , CRC Press ,2010, 2 nd ed. ( leia online ) , p. 151.
(en) KD Joshi, Introdução à Topologia Geral , New Age International,1983( leia online ) , p. 399.
(in) Charalambos D. Aliprantis e Kim C. Border Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , Springer ,2007, 3 e ed. ( 1 st ed. 1999) ( li on-line ) , p. 58.
(in) Carlos S. Kubrusly, Essentials of Measure Theory , Springer,2015( leia online ) , p. 218.