Σ-espaço compacto

Em matemática , um espaço topológico é dito ser σ-compacto (ou localmente compacto contável até o infinito ) se for a união contável de subespaços compactos .

Diz - se que um espaço é σ-localmente compacto se for σ-compacto e localmente compacto .

Propriedades e exemplos

Qualquer espaço compacto é σ-compacto e qualquer espaço σ-compacto é Lindelöf (ou seja, qualquer tampa aberta tem uma cobertura contável). Os recíprocos são falsos: por exemplo, o espaço euclidiano ( R n ) é σ-compacto, mas não compacto, e a linha de Sorgenfrey e a topologia codenumerável em um conjunto incontável são de Lindelöf, mas não σ-compacto (nem localmente compacto).
Um espaço separado que é Baire e σ-compacto é necessariamente localmente compacto em pelo menos um ponto.
Seja G um grupo topológico . Se G é localmente compacto em um ponto, então G é localmente compacto em qualquer lugar. Portanto, de acordo com a propriedade anterior, se G é ambos separados, de Baire e σ-compacto, então ele é localmente compacto.
A propriedade anterior implica, por exemplo, que o grupo topológico separado R N não é σ-compacto, pois é de Baire e não localmente compacto.
Qualquer espaço semicompacto é σ-compacto. O inverso é falso; por exemplo, o espaço de números racionais , com a topologia usual, é σ-compacto, mas não semicompacto.
Qualquer produto finito de espaços σ-compactos é σ-compacto. Esta propriedade não se estende a produtos infinitos (como R N ).
Um espaço σ-compacto X é de segunda categoria, ou seja, não magro em si mesmo (resp. de Baire) se e somente se o conjunto de pontos onde X é localmente compacto não estiver vazio (resp. denso em X ).

(en) Lynn A. Steen e J. Arthur Seebach, Jr. , Counterexamples in Topology , New York, Holt, Rinehart e Winston,1970( ISBN 978-0-03-079485-8 , leia online )
(pt) Stephen Willard, Topologia Geral , New York, Dover Publications,2004, 369 p. ( ISBN 978-0-486-43479-7 , leia online )