Em topologia , um espaço localmente compacto é um espaço separado que admite vizinhanças compactas para todos os seus pontos. Tal espaço não é necessariamente compacto em si, mas pode-se generalizar (pelo menos parcialmente) muitos resultados em espaços compactos. Estes são também os espaços que podem ser "compactados" com um ponto, graças à compactação de Alexandrov .
A compactação é uma fonte muito fértil de resultados na topologia, mas ainda é uma propriedade muito restritiva. Em particular, o fato de que um espaço métrico deve ser limitado para ser compacto significa que os resultados relativos a espaços compactos quase nunca são aplicáveis aos espaços métricos encontrados, que muito raramente são limitados.
No entanto, podemos aplicar esses resultados a determinados espaços métricos ilimitados (em particular a espaços vetoriais normalizados ), desde que o objeto estudado respeite certas propriedades adicionais, que possibilitem a aplicação das ferramentas desenvolvidas para espaços compactos.
Por exemplo, qualquer série de pontos de um compacto admite um valor de adesão ; o caso elementar do teorema de Bolzano-Weierstrass diz que uma sequência limitada de pontos de ℝ (ou mais geralmente de ℝ n ) admite um valor de adesão. No entanto, nem ℝ nem ℝ n são compactos, mas adicionando “limitado” pode-se concluir algo, porque ℝ e ℝ n são localmente compactos. Da mesma forma, em um espaço métrico localmente compacto, qualquer sequência limitada terá uma subsequência convergente .
Um espaço topológico X é considerado localmente compacto se for separado (esta condição de separação às vezes é omitida) e se algum ponto x elemento de X admite uma vizinhança compacta, ou seja, se x pertence a um aberto relativamente compacto (isto é, de adesão compacta, ou ainda: incluído em um compacto).
Esta definição implica a seguinte caracterização (às vezes tomada como uma definição): um espaço topológico separado X é localmente compacto se e somente se cada ponto de X admitir uma base de vizinhanças compactas.
Evidência de envolvimentoDeixe- x de um ponto de X , que é suposto para verificar a primeira definição: ele, então tem uma vizinhança compacta K .
Primeira prova Basta para mostrar que, para cada vizinhança U de x , há um bairro fechado F contidas em L e K . A fronteira ∂ ( U ∩ K ) é fechada e incluída em K ; portanto, é compacto. Por separação, para cada um de seus pontos y , existe uma vizinhança aberta V y de y e uma vizinhança W y contida em U ∩ K de x disjunta. No entanto, a família aberta ( V y ) y ∈∂ ( U ∩ K ) abrange ∂ ( U ∩ K ) ; assim, há uma sub-recuperação finalizada V y 1 , ..., V y n e W são 1 ∩ ... ∩ W y n é uma vizinhança de x que não atende a nenhum de V y i : a adesão está incluída em U ∩ K . Segunda prova Em K , que é compacto e, portanto, regular (e até normal ), as vizinhanças compactas de x formam uma base de vizinhanças. Portanto, eles também formam uma base de vizinhanças de x em X , uma vez que K é uma dessas vizinhanças.Qualquer espaço compacto é localmente compacto.
Em um espaço localmente compacto, tudo compacto está incluído em um aberto relativamente compacto.
Como (por definição) qualquer “propriedade topológica”, a compactação local é conservada por homeomorfismos .
Também é preservado por produtos acabados .
Um subespaço Y de um espaço localmente compacto X é ele próprio localmente compacto se, e somente se, puder ser escrito como a diferença de dois fechamentos de X : Y = F 1 \ F 2 .
Em particular, todos os espaços abertos e fechados de um espaço localmente compacto são localmente compactos.
Qualquer espaço localmente compacto é completamente regular , mas não necessariamente normal (a placa de Tychonoff romba é um contra - exemplo ).
Qualquer espaço localmente compacto é um espaço de Baire, ou seja, a conclusão do teorema de Baire se aplica a ele: uma união contável de partes densas em nenhum lugar (ou seja, cujo interior da adesão está vazio) está vazio por dentro.
Os quocientes de espaços localmente compactos são os k -espaços .
Um espaço localmente compacto é σ-compacto :
É claro que qualquer espaço semicompacto é σ-compacto e qualquer espaço σ-compacto é Lindelöf .
Pelo contrário, considere um espaço localmente compacto.
Qualquer espaço semi-compacto com bases contáveis de vizinhanças é localmente compacto.