Espaço Baire (teoria dos conjuntos)

Em matemática , especificamente em topologia geral , o espaço de Baire é o nome dado - segundo René Baire - para definir todas as suítes de inteiros , com uma determinada topologia . Este espaço é frequentemente utilizado na teoria descritiva dos conjuntos , a ponto de seus elementos serem freqüentemente chamados de "reais". Geralmente é denotado por B , N N , ω ω ou ω ω.

Definição

Chamamos de espaço de Baire , denotado N N , o produto cartesiano de um conjunto contável de cópias do conjunto N de inteiros naturais , dotado da topologia do produto , onde cada cópia de N é dotada da topologia discreta .

Por definição da topologia do produto, isso significa que uma base aberta de N N é formada por conjuntos de sequências das quais um número finito de termos é fixo, as demais tomando todos os valores possíveis; mais rigorosamente, tal abertura tem a forma:

{\ displaystyle U = \ {u \ in \ mathbf {N ^ {N}} \ mid \ forall k \ leq n, u_ {i_ {k}} = a_ {k} \}}

onde e são duas sequências de números inteiros de comprimento fixo n , e o aberto N N são reuniões tais L . $(i_ {k})$ $(a_ {k})$

Nós também pode definir a topologia do espaço de Baire usando o seguinte distância ultramétrica : se u e v são duas sequências distintas e n o menor número inteiro de tal modo que , nos deparamos com (e que representam ). Essa distância induz a topologia anterior e torna o espaço de Baire um espaço completo . $u_ {n} \ neq v_ {n}$ $d (u, v) = 2 ^ {{- n}}$ $d (u, u) = 0$

Propriedades

O conjunto N N tem o cardeal da linha real .

O espaço de Baire possui as seguintes propriedades:

É um espaço polonês , ou seja, completamente metrizável (como mostra explicitamente a distância definida acima) e separável (as sequências zero a partir de um determinado posto formam uma parte contável densa ), portanto, baseado em contável . Conseqüentemente, é um espaço Baire no sentido topológico do termo;
É perfeito (isto é, sem ponto isolado );
Como qualquer espaço ultrametrisável , é de dimensão zero e totalmente descontínuo ;
Não é localmente compacto ;
É um espaço polonês universal , no sentido de que há uma sobreposição contínua do espaço Baire em qualquer espaço polonês não vazio. Além disso, qualquer espaço polonês contém um subconjunto denso e G δ (isto é, interseção contável de aberturas) homeomórfico a um G δ do espaço de Baire;
É, além do homeomorfismo, o único espaço polonês totalmente descontínuo em que tudo compacto é interior vazio;
É homeomórfico ao produto de um número finito ou contável de cópias de si mesmo.

Relacionamento com a linha real

O espaço de Baire é homeomórfico ao conjunto de números irracionais fornecidos com a topologia usual (induzida pela dos reais); um homeomorfismo explícito do conjunto de irracionais de ] 0, 1 [ em ( N *) N * é dado pela seqüência de inteiros que aparecem na expansão do irracional na fração contínua [0; a 1 , a 2 , ...].

Do ponto de vista da teoria descritiva dos conjuntos , o fato de a linha real estar conectada acarreta dificuldades técnicas, razão pela qual muitas vezes preferimos trabalhar no espaço de Baire. Como qualquer espaço polonês é a imagem contínua do espaço Baire, muitas vezes é possível demonstrar resultados gerais sobre os espaços poloneses provando-os para o espaço Baire e provando que esses resultados são preservados pela continuidade.

N N também é de menor interesse na análise real , uma vez que é um espaço completo para a distância definida acima, que irracionais não são para métricas usuais, apesar de esses dois espaços serem homeomórficos como 'espaços topológicos.

Notas

Mas Yiannis Moschovakis o observa . ${\ mathcal {N}}$
(in) Para a definição de outras distâncias no espaço de Baire, consulte esta discussão sobre o fluxo matemático .

Referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado “ Baire space (set theory) ” ( ver a lista de autores ) .

(pt) Alexander S. Kechris , Teoria Clássica dos Conjuntos Descritivos , Springer-Verlag,1994( ISBN 0-387-94374-9 )
(en) Yiannis N. Moschovakis , Teoria dos Conjuntos Descritivos , Amsterdam / New York / Oxford, North Holland,1980, 637 p. ( ISBN 0-444-70199-0 )