Distância ultramétrica

Em matemática , e mais precisamente em topologia , uma distância ultramétrica é uma distância d sobre um conjunto E que satisfaz a desigualdade ultratriangular:

{\ displaystyle d (x, z) \ leq \ max (d (x, y), d (y, z))}

Um espaço métrico cuja distância satisfaça essa propriedade é considerado ultramétrico .

Definição e exemplos

Seja E um conjunto ; uma distância ultramétrica (em E ) é chamada de aplicativo que verifica as seguintes propriedades: ${\ displaystyle d: \ mathrm {E} \ times \ mathrm {E} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}$

Sobrenome	Propriedade
simetria	${\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathrm {E}, \ d (x, y) = d (y, x)}$
separação	${\ displaystyle \ forall x, y \ in \ mathrm {E}, \ d (x, y) = 0 \ Leftrightarrow x = y}$
desigualdade ultratriangular	${\ displaystyle \ forall x, y, z \ in \ mathrm {E}, \ d (x, z) \ leq \ max (d (x, y), d (y, z))}$

Levando em consideração a simetria, a desigualdade ultratriangular significa que, em um triângulo, o comprimento de cada lado é menor ou igual ao maior dos comprimentos dos outros dois lados (portanto à soma desses dois comprimentos, que é expressa por l ' desigualdade triangular ).

Distância trivial

Qualquer conjunto pode ser fornecido com a chamada distância trivial ou discreta definida por:

{\ displaystyle d (x, y) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} x = y \\ 1 & {\ text {si}} x \ neq y \ end {cases}}}

Desigualdade

{\ displaystyle d (x, z) \ leq \ max (d (x, y), d (y, z))}

é verdadeiro quer x seja igual a z ou não. É, portanto, uma distância ultramétrica.

P -adic distância através da ℚ conjunto

Para um número primo p , podemos definir a avaliação p -adic de qualquer número racional diferente de zero r . ${\ displaystyle v_ {p} (r)}$

Provamos facilmente que este aplicativo verifica

{\ displaystyle v_ {p} (r + r ') \ geq \ inf (v_ {p} (r), v_ {p} (r'))}

{\ displaystyle v_ {p} (- r) = v_ {p} (r).}

Em seguida, definimos a distância p -adic em ℚ por:

{\ displaystyle d (x, y) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} x = y \\ p ^ {- v_ {p} (xy)} & {\ text {si}} x \ neq y \ end {casos}}}

A propriedade anterior leva facilmente à desigualdade ultramétrica. As outras duas verificações são fáceis. $v_p$

Portanto, é de fato uma distância ultramétrica em ℚ.

Outros exemplos

Deixe X ser um conjunto arbitrário e E = X ℕ todos suites com valores em X . Fornecemos ao E uma estrutura espacial ultramétrica completa , colocando ${\ displaystyle k (x, y) = \ inf \ {n \ in \ mathbb {N} \ mid x_ {n} \ neq y_ {n} \}}$ (em outras palavras : e se , é o posto do primeiro termo que as duas sequências diferentes), então ${\ displaystyle k (x, x) = + \ infty}$ $x \ ne y$ ${\ displaystyle k (x, y)}$ ${\ displaystyle d (x, y) = {\ frac {1} {1 + k (x, y)}}}$ ou ainda, para um real arbitrário: ${\ displaystyle a> 1}$ ${\ displaystyle d_ {a} (x, y) = a ^ {- k (x, y)}}$ ,que é uma distância uniformemente equivalente a . $d$ Para X = {0, 1}, obtemos o espaço Cantor e para X = ℕ, o espaço Baire .
Em genética , a distância entre genótipos ao longo dos ramos de uma árvore filogenética pode ser medida por uma distância ultramétrica.

Propriedades

Aqui estão algumas propriedades de um espaço ultramétrico, que parecem ir contra a intuição.

Não há bolas que se cruzam , no sentido de que se duas bolas abertas (ou duas bolas fechadas ) têm um ponto em comum, então uma contém a outra: ${\ displaystyle B (a, r) \ cap B (a ', r') \ neq \ varnothing {\ text {et}} r \ leq r '\ Rightarrow B (a, r) \ subconjunto B (a ', r')}$ .
Qualquer ponta de uma bola é um centro: ${\ displaystyle \ forall x \ in B (a, r) \ quad B (x, r) = B (a, r)}$ .
Em um espaço métrico, qualquer bola aberta é aberta , qualquer bola fechada é fechada . Em um espaço ultramétrico, também temos: Qualquer bola fechada de raio diferente de zero está aberta. Qualquer bola aberta é fechada. Consequentemente, qualquer ultra- metrizáveis topológica espaço é de dimensão zero e , portanto, totalmente descontínua , que é dizer que seus componentes conectados são os únicos .
Dados três pontos, os dois mais próximos estão à mesma distância do terceiro, ou seja: "todo triângulo é isósceles e sua base é no máximo igual aos lados iguais" , o que também está escrito: ${\ displaystyle d (x, y) \ neq d (y, z) \ Rightarrow d (x, z) = \ max (d (x, y), d (y, z))}$ .
Para uma sequência ser Cauchy , basta que $(x_ {n})$ ${\ displaystyle d (x_ {n}, x_ {n + 1}) \ a 0.}$

Aplicativo

Seja X um conjunto com uma distância ultramétrica d , e seja r um número positivo. Todas as bolas de raio r definido em X é uma partição de X . Aumentando r de 0, formamos uma cadeia de finura entre essas partições, da mais fina (partição discreta para r = 0 ) à menos fina (partição universal para r máximo). Esta é uma das bases da classificação automática por agrupamento hierárquico .

Veja também

Notas e referências

Esta noção foi introduzida por Marc Krasner , “ Números semi-reais e espaços ultramétricos ”, Relatórios semanais das sessões da Academia de Ciências , vol. 219, n o 21944, p. 433-435 ( ler online ), Que relata: “Os únicos espaços ultramétricos considerados até agora parecem ser o corpo e a álgebra valorizados ” .
Modelos diádicos, Terence Tao , 27 de julho de 2007: https://terrytao.wordpress.com/2007/07/27/dyadic-models/
Jean-Luc Verley, Espaços métricos , no Dicionário de Matemática; álgebra, análise, geometria , ed. Albin Michel, pág. 652-653 .
Correção do problema 1.b por Jean Dieudonné , Elementos de análise , t. I: Fundamentos da análise moderna [ detalhe das edições ], indivíduo. III, § 14, visão geral da edição em inglês no Google Books .
Em particular . ${\ displaystyle d (x, x) = {\ frac {1} {1+ \ infty}} = 0}$
Em particular . ${\ displaystyle d (x, x) = a ^ {- \ infty} = 0}$
Para sua demonstração, veja, por exemplo, este exercício corrigido na Wikiversidade .
(in) Emil Artin , Algebraic Numbers and Algebraic Functions , AMS ,1967, 349 p. ( ISBN 978-0-8218-4075-7 , leitura online ) , p. 44.
IC Lerman, as bases da classificação automática , Gauthier-Villars , 1970.