Valor absoluto ultramétrico

Um valor absoluto ultramétrico é um mapeamento de um campo K para o conjunto ℝ + de números reais positivos que satisfazem as três propriedades a seguir:

${\ displaystyle | x | = 0 _ {\ mathbb {R}} \ iff x = 0_ {K}}$ (axioma de separação);
${\ displaystyle | xy | = | x || y |}$ ( morfismo de grupos multiplicativos de K * em ℝ + *);
${\ displaystyle | x + y | \ leq \ max (| x |, | y |)}$ (desigualdade ultramétrica)

quaisquer que sejam os elementos e K. $x$ $y$

Exemplos

Valor absoluto trivial

O valor absoluto trivial em K associa a 0 o valor 0 e a qualquer outro elemento de K o valor 1.

É o valor absoluto ultramétrico associado à avaliação trivial de K.

Valor absoluto P-ádico

Let Ser um número primo arbitrário . Podemos escrever exclusivamente qualquer número racional na forma: $p$ $r$

${\ displaystyle r = p ^ {k} {\ frac {a} {b}}}$ onde e onde e são primos entre si e são primos com . $k \ in \ mathbb {Z}$ $no$ $b$ $p$

Em seguida, definimos o aplicativo associando o valor a um número racional . Por exemplo, $r$ ${\ displaystyle | r | _ {p} = p ^ {- k}}$ ${\ displaystyle \ left | {\ frac {21} {4}} \ right | _ {2} = 4, ~ \ left | {\ frac {15} {7}} \ right | _ {2} = 1 { \ text {et}} \ left | {\ frac {60} {11}} \ right | _ {2} = {\ frac {1} {4}}.}$

Esta aplicação é um valor absoluto ultramétrico no corpo , associado à avaliação p -ádica . $\ mathbb {Q}$

Links com conceitos relacionados

Tal aplicação é um caso particular de valor absoluto em um campo .
O mapeamento $d : ( x , y ) \mapsto | y - x |$ é, portanto, uma distância sobre K, a simetria sendo devida ao fato de que para qualquer elemento de K. ${\ displaystyle | -x | = | x |}$ $x$
Essa distância é ultramétrica .
Uma aplicação é um valor absoluto ultramétrico se, e somente se, for um valor absoluto associado a uma avaliação de valor real.

Propriedades

Nota denota o elemento neutro para a multiplicação de K. $e$

${\ displaystyle | e | = | -e | = 1}$

${\ displaystyle | -x | = | x |}$ para qualquer elemento de K. $x$

Demonstração

${\ displaystyle | e | = | ee | = | e |. | e |}$ . A equação desconhecida tem apenas duas soluções em , e . O axioma da separação garante isso , então acontece . ${\ displaystyle | e | = | e |. | e |}$ $| e |$ $\ mathbb {R}$ ${\ displaystyle 0}$ $1$ ${\ displaystyle | e | \ neq 0}$ ${\ displaystyle | e | = 1}$

Da mesma forma , portanto . Além disso, o valor absoluto assume apenas valores positivos . ${\ displaystyle | e | = | -e.-e | = | -e |. | -e |}$ ${\ displaystyle | -e | ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle | -e | = 1}$

Finalmente, e portanto . ${\ displaystyle | -x | = | -ex | = | -e |. | x | = 1. | x | = | x |}$ ${\ displaystyle | -x | = | x |}$

Para qualquer par $( a , b )$ de elementos do campo K,

${\ displaystyle | a | \ neq | b | \ Rightarrow | a + b | = \ max (| a |, | b |)}$ .

Demonstração

Tipo , um dos dois é estritamente inferior ao outro. Assumir sem perda de generalidade que . ${\ displaystyle | a | \ neq | b |}$ ${\ displaystyle | a | <| b |}$

De acordo com a desigualdade ultramétrica . Ou de acordo com uma propriedade anterior. Então nós temos . ${\ displaystyle | b | = | (b + a) + (- a) | \ leq \ max (| b + a |, | -a |)}$ ${\ displaystyle | -a | = | a |}$ ${\ displaystyle | b | \ leq \ max (| b + a |, | a |)}$

Como é por hipótese estritamente menor que , essa desigualdade só pode ser percebida se . $| a |$ $| b |$ ${\ displaystyle | b | \ leq | b + a |}$

Além disso, aplicando novamente a desigualdade ultramétrica . ${\ displaystyle | b + a | \ leq \ max (| b |, | a |) = | b |}$

Ao reunir esses dois resultados, temos , o que prova isso . ${\ displaystyle | b | \ leq | b + a | \ leq | b |}$ ${\ displaystyle | a + b | = | b | = \ max (| a |, | b |)}$

Notas e referências

Martin Aigner , Günter M. Ziegler e Nicolas Puech ( traduzido do Inglês), raciocínio Divino : alguns particularmente elegantes demonstrações matemáticas , Paris / Berlin / Heidelberg etc., Springer ,2013, terceira ed. , 308 p. ( ISBN 978-2-8178-0399-9 ) , p. 150-151
N. Bourbaki , Commutative Algebra , cap. 6, § 6, n o 2 pré-visualização no Google Livros .
Essas propriedades vêm do fato de que é um caso especial de valor absoluto em um campo .
Esta afirmação é equivalente ao fato de que no espaço métrico (K, $d$ ), todo triângulo é isósceles e tem uma base menor ou igual aos dois lados iguais. Esta é uma propriedade geral dos espaços ultramétricos, demonstrada no artigo “Distância ultramétrica ” .

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