Ball (topologia)

Em topologia , uma bola é um tipo específico de vizinhança em um espaço métrico . O nome evoca acertadamente a bola sólida no espaço tridimensional usual, mas a noção é generalizada, entre outras coisas, para espaços de maior (ou menor) dimensão ou de norma não euclidiana . Nesse caso, a bola não pode ser "redonda" no sentido usual do termo.

Definição geral

No espaço normal como em qualquer espaço métrico : $(E, d)$

a bola fechada centrada em um ponto e de raio real é o conjunto de pontos cuja distância a é menor ou igual a : $P$ $r \,$ ${\ displaystyle B '(P, r)}$ $P$ $r$

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} '(P, r): = \ left \ {M \ in E \, \ mid \, d (M, P) \ leq r \ right \}}

;

a bola aberta correspondente é o conjunto de pontos cuja distância é estritamente menor que : ${\ displaystyle B (P, r) \,}$ $P$ $r$

{\ displaystyle {\ mathcal {B}} (P, r): = \ left \ {M \ in E \, \ mid \, d (M, P) <r \ right \}}

Em um espaço vetorial normalizado , a bola unitária aberta é a bola aberta centrada na origem e de raio 1 (da mesma forma, a bola unitária fechada é a bola fechada ). ${\ displaystyle B (0,1)}$ ${\ displaystyle B '(0,1)}$

As bolas de um plano euclidiano também são chamadas de discos .

Nota: a definição de bolas pode ser estendida a espaços pseudométricos que generalizam a noção de espaço métrico.

Exemplos em espaço bidimensional

No espaço bidimensional , para os três padrões a seguir, as bolas correspondentes de raio 1 têm formas diferentes. $\ mathbb {R} ^ {2}$

o padrão 1 : $\ | \ mathbf {x} \ | _ {1} = | x_ {1} | + | x_ {2} |$
a norma euclidiana : $\ | \ mathbf {x} \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + | x_ {2} | ^ {2}}}$
o padrão "infinito" : $\ | \ mathbf {x} \ | _ {\ infty} = \ max \ left (| x_ {1} |, | x_ {2} | \ right).$

Propriedades

Uma bola aberta é sempre uma bola aberta do espaço métrico em que é definida. Da mesma forma, uma bola fechada é sempre uma bola fechada .
Uma bola aberta de raio estritamente positivo tem um interior não vazio (uma vez que esse interior é a própria bola).
Todas as bolas de um espaço métrico são peças limitadas .
Em um espaço vetorial normalizado, todas as bolas abertas (respectivamente fechadas) de raios estritamente positivos são semelhantes por translação e homotetia, e qualquer bola é simétrica em relação ao seu centro.
Em um espaço vetorial normalizado real, as bolas são convexas .
Em um espaço vetorial normalizado real, o interior de uma bola fechada é a bola aberta com o mesmo centro e o mesmo raio, e a adesão de uma bola aberta não vazia é a bola fechada correspondente (daí o limite d 'a não bola vazia é a esfera correspondente). Em qualquer espaço métrico, temos apenas:

{\ overline {B (P, r)}} \ subset {\ overline {B '(P, r)}} = B' (P, r) \ qquad {\ rm {e}} \ qquad \ operatorname {Int } (B '(P, r)) \ supset \ operatorname {Int} (B (P, r)) = B (P, r).

Exemplos de bolas exóticas

No espaço tridimensional real fornecido com a norma infinita , as bolas têm uma forma cúbica com faces perpendiculares aos eixos.
Em um espaço discreto (fornecido com a distância discreta), qualquer parte (em particular qualquer bola aberta e qualquer bola fechada) é um aberto-fechado .
Em um espaço fornecido com uma distância ultramétrica (como o anel Z p de inteiros p -adicos ou o espaço N N de sequências de inteiros ), as bolas são abertas-fechadas, qualquer ponto de uma bola é um centro e se duas bolas se encontram , um está contido no outro.

usar

Uma parte de um espaço métrico é limitada se e somente se estiver contida em uma bola.
Uma parte de um espaço métrico é aberto se e somente se for o encontro das bolas abertas que ele contém.
Em um espaço métrico separável (por exemplo, um espaço euclidiano ), tudo aberto é uma união contável de bolas abertas .
As bolas (abertas ou fechadas) com o mesmo centro e raios estritamente positivos formam um sistema fundamental de vizinhanças deste centro. Ao nos limitarmos a uma série de raios arbitrariamente pequenos, obtemos até mesmo um sistema fundamental de vizinhanças contável .
O teorema da compactação de Riesz afirma que um espaço vetorial real tem dimensão finita normalizada se e somente se sua esfera unitária fechada for compacta .

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