Sub-suite

Em matemática , uma subsequência (ou uma sequência extraída ) é uma sequência obtida tomando apenas certos elementos (um infinito) de uma sequência inicial. Essa operação às vezes é chamada de extração .

Formalmente, uma sequência é um mapa definido no conjunto ℕ de números naturais . Notamos isso classicamente . A subsequência ou subsequência é composta de u por aplicar estritamente crescente . (vocênão)não∈NÃO{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} φ:NÃO→NÃO{\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}

Portanto, está escrito no formulário . Nesse contexto, o aplicativo é denominado extrator . (vocêφ(não))não∈NÃO{\ displaystyle (u _ {\ varphi (n)}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}φ{\ displaystyle \ varphi}

Propriedades

• A relação “ser uma subsequência de” é reflexiva e transitiva  : é uma pré - ordem .
• Qualquer sequência de valores em um conjunto totalmente ordenado admite uma subsequência monotônica (no sentido amplo).

Demonstração

Seja ( x n ) essa sequência.

Dizemos que um índice n é um pico se satisfaz x m <x n para todo m> n .

Existem então dois casos:

1. ou há uma infinidade de picos. Nesse caso, os correspondentes x n formam uma subsequência (estritamente) decrescente;
2. ou existe apenas um número finito de picos. Nós “escolhemos” um índice p 0 estritamente maior do que todos os picos, então um índice p 1 > p 0 tal que x p 1 ≥ x p 0 , então p 2 > p 1 tal que x p 2 ≥ x p 1 ,  etc. . Assim, construímos uma subsequência crescente (no sentido amplo).

Deduzimos que qualquer sequência limitada de reais admite uma subsequência convergente ( cf. teorema de Bolzano-Weierstrass ).

• Let Ser uma seqüência de elementos de um espaço topológico X que converge para , então qualquer seqüência extraída de converge para  ; por contraposição , quando X é separado ou, mais geralmente, com um único limite sequencial , se duas sequências extraídas têm limites diferentes, então a sequência diverge.(vocênão)não∈NÃO{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} ℓ{\ displaystyle \ ell}(vocênão)não∈NÃO{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}ℓ{\ displaystyle \ ell}(vocênão)não∈NÃO{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}(vocênão)não∈NÃO{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
• Os limites das subseqüências convergentes de uma seqüência de um espaço topológico X são valores de aderência da seqüência . Se X é metrizável , ou mais geralmente com bases contáveis ​​de vizinhanças , o inverso é verdadeiro: qualquer valor de adesão de uma sequência é limite de uma de suas subsequências.(vocênão)não∈NÃO{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}(vocênão)não∈NÃO{\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

Notas e referências

1. Jean-Marie Monier, MPSI Análise  : Course, métodos e exercícios corrigidos , Paris, Dunod ,2006, 5 th  ed. , 525  p. ( ISBN  978-2-10-049837-6 ).
2. Esta demonstração - incluindo a terminologia de "pico" ( pontos de pico ) - é apresentada no caso de sequências reais por (em) Michael Spivak , Cálculo ,1967( leia online ) , cap.  21 (“Sequências infinitas”) , p.  378( p.  451 da edição de 2006 no Google Livros ). Com referência a esta prova, alguns autores Chamam a propriedade correspondente de “Lema do Pico”. Quando não sabemos se a sequência considerada admite ou não uma infinidade de picos, esta prova não fornece um método para construir uma subsequência monotônica.
3. Uma variante seria usar, como no lema do sol nascente , a noção de “ponto visível da linha” (aqui: índice n verificando x m ≤ x n para todo m> n ). Nós então construiríamos uma subsequência decrescente no sentido amplo ou uma subsequência estritamente crescente.
4. Podemos fazer as escolhas sucessivas de p k sem recorrer ao axioma da escolha dependente , simplesmente escolhendo, a cada passo, o menor p k possível.

Artigos relacionados

• Subsequência generalizada  (en)
• Lema de Higman

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