Axioma da escolha dependente

Em matemática , o axioma da escolha dependente , denotado DC , é uma forma fraca do axioma da escolha (AC), suficiente para desenvolver uma parte importante da análise real . Foi apresentado por Bernays .

Estados

O axioma pode ser expresso da seguinte forma: para qualquer conjunto não vazio X , e para qualquer relação binária R em X , se a definição inteira de R for X inteiro (isto é, se para todo um ∈ X , existe em pelo menos um b ∈ X tal que aRb ) então existe uma sequência ( x n ) de elementos de X tal que para todo n ∈ N , x n Rx n +1 . Observe que este axioma não é necessário para formar, para cada inteiro n , a subsequência finita dos primeiros n termos. É necessário apenas formar toda a série infinita.

No caso particular em que X é o conjunto de números reais , o axioma às vezes é observado DC R .

usar

DC é a variante menos poderosa de AC necessária para mostrar a existência de uma sequência construída por uma recursão transfinita de comprimento contável e na qual uma escolha deve ser feita em cada etapa. Um exemplo de teorema é o lema de König , que diz que uma árvore infinita com ramificações possui uma ramificação infinita.

Declarações equivalentes

DC é equivalente (adicionado à teoria ZF ) à afirmação de que toda árvore podada ( não vazia) tem um galho. Também é equivalente ao teorema de Baire para espaços métricos completos .

Relações com outros axiomas

Ao contrário de AC em sua formulação completa, DC é insuficiente (em ZF) para demonstrar que existe um conjunto não mensurável de realidades , ou que existe um conjunto de realidades que não tem a propriedade de Baire ou sem a propriedade do perfeito definido (dentro) .

O axioma da escolha contável é facilmente deduzida a partir do princípio da escolha dependente (considerar, por uma sequência ( A n ) de conjuntos não vazios, a relação R mais definido por: SRT , se s é igual a T privado de seu último elemento). É muito mais difícil provar que essa implicação é estrita. ${\ displaystyle \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} \ prod _ {k <n} A_ {k}}$

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Axioma da escolha dependente " ( veja a lista de autores ) .

(em) Paul Bernays, " A system of aximatic set theory. III. Infinito e enumerabilidade. Análise. » , JSL , vol. 7,1942, p. 65-89 ( revisões de matemática 0006333 ) .
Esta declaração é equivalente àquela de (in) Thomas Jech , Set Theory: The Third Millennium Edition, revisada e expandida , Springer ,2003, 772 p. ( ISBN 978-3-540-44085-7 , apresentação online ) , p. 50, passando de uma relação para uma relação recíproca .
(in) Charles E. Blair, "O teorema da categoria de Baire Implies the Princípio das escolhas dependentes," Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Matemática. Astrônomo. Phys. , voar. 25, n o 10, 1977 p. 933-934 .
(em) Thomas J. Jech, The Axiom of Choice , Dover ,2013( 1 st ed. 1973) ( linha de leitura ) , p. 130, Th. 8.12.