Tribo Lebesgue

Um conjunto mensurável de Lebesgue (que muitas vezes é abreviado para um conjunto mensurável ) é uma parte do espaço cuja medida de Lebesgue pode ser definida, o conceito podendo ser estendido a qualquer variedade diferenciável . Chamamos a tribo Lebesgue o conjunto de partes mensuráveis de Lebesgue . $\ mathbb {R} ^ {n}$ $M$ $M$

Definição

Conforme explicado no artigo Medida de Lebesgue , esta medida em é definida sobre uma σ-álgebra de partes de , completada pela tribo Boreliana . Esta tribo é chamado a tribo Lebesgue e os conjuntos que a constituem são as partes Lebesgue mensuráveis de . $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

Caracterização dos mensuráveis do espaço n- dimensional

Do ponto de vista da finalização da tribo do Borel

As partes mensuráveis de Lebesgue são as partes A que podem ser escritas como: $\ mathbb {R} ^ {n}$

{\ displaystyle A = B \ cup N}

, com Boreliano e insignificante (para a medida Borel-Lebesgue ).

B

NÃO

A seguinte variante pode ser útil: A é mensurável se e somente se puder ser escrito como:

{\ displaystyle A = B \ bigtriangleup N}

, com boreliano e desprezível ( simbolizando a diferença simétrica ).

B

NÃO

{\ displaystyle \ bigtriangleup}

Do ponto de vista da medição externa

Nesta seção, denotamos o conjunto de “quadrados”, ou seja, os produtos cartesianos de intervalos limitados, ou seja, os conjuntos da forma , onde os denotamos por intervalos que podem ser fechados, abertos ou semiabertos. , e notamos o volume de tal bloco (no sentido de produto dos comprimentos de seus lados). ${\ mathcal {S}}$ $E = I_ {1} \ vezes I_ {2} \ vezes \ cdots \ vezes I_ {n}$ $I_ {i}$ $\ mathbb {R}$ ${\ mathrm {Vol}} \, (E)$

Por , o Lebesgue externo medida de é definida como se segue: $A \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ $\ lambda _ {n} ^ {*}$ $NO$

{\ displaystyle \ lambda _ {n} ^ {*} (A) = \ mathrm {inf} \ left \ {\ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} \ mathrm {Vol} \, (E_ { k}) \, \ mid \, E_ {k} \ in {\ mathcal {S}}, \, A \ subset \ bigcup _ {k = 1} ^ {+ \ infty} E_ {k} \ right \} .}

Teorema - qualquer um . O todo é Lebesgue mensurável se e somente se: $A \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ $NO$

para todos , .

X \ subset \ mathbb {R} ^ {n}

\ lambda _ {n} ^ {*} (X \ cap A) + \ lambda _ {n} ^ {*} (X \ setminus A) = \ lambda _ {n} ^ {*} (X)

Esta caracterização deve-se a Carathéodory, a caracterização original de Lebesgue é a seguinte:

Teorema - Deixe ser limitado e um bloco que o contém . O todo é Lebesgue mensurável se e somente se: $A \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ $E$ $NO$ $NO$

\ lambda _ {n} ^ {*} (A) + \ lambda _ {n} ^ {*} (E \ setminus A) = {\ mathrm {Vol}} \, (E)

É fácil perceber que o real definido por independe do bloco utilizado para enlatamento; esse real é chamado de "medida interior" de . Com essa convenção de vocabulário, o resultado anterior é expresso da seguinte maneira: conjuntos mensuráveis limitados são conjuntos limitados cujas medidas internas e externas coincidem. $\ displaystyle \ lambda _ {{n *}} (A)$ $\ lambda _ {{n *}} (A) = {\ mathrm {Vol}} \, (E) - \ lambda _ {n} ^ {*} (E \ setminus A)$ $NO$ $NO$

Para conjuntos ilimitados, podemos escrever uma declaração semelhante à anterior, envolvendo uma série de blocos que preenchem o espaço:

Generalização da afirmação anterior - Let , e seja uma sequência de blocos cuja união é . O todo é Lebesgue mensurável se e somente se: $A \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ $(E_ {i}) _ {{i \ geq 0}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $NO$

para tudo .

i \ geq 0, \ quad \ lambda _ {n} ^ {*} (E_ {i} \ cap A) + \ lambda _ {n} ^ {*} (E_ {i} \ setminus A) = {\ mathrm {Vol}} \, (E_ {i})

Cardinalidade da tribo Lebesgue

Proposição - O cardeal da tribo de Lebesgue sur é o do conjunto das partes de . $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R}$

Prova :

Pois é fácil: o conjunto é um Boreliano de medida zero. Todas as suas partes são, portanto, mensuráveis por Lebesgue, uma vez que são desprezíveis. $n \ geq 2$ $\ mathbb {R} ^ {{n-1}} \ times \ {0 \}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

Pois é necessário buscar um exemplo um pouco menos óbvio. O conjunto triádico de Cantor é a resposta: é um conjunto Borel tão compacto, medida zero, mas em bijeção com . Suas partes são, portanto, mensuráveis de Lebesgue e o cardeal de seu todo é , onde designa o cardeal de (o " poder do contínuo "). $n = 1$ $\ mathbb {R}$ $2 ^ {{\ mathfrak c}}$ ${\ mathfrak {c}}$ $\ mathbb {R}$

CQFD

Conjuntos mensuráveis não Borel

Colocando lado a lado o resultado de cardinalidade que precede e que, segundo o qual a tribo Borelian de é equipotente a (consulte a secção "Um resultado de cardinalidade" do artigo " tribo Gerado "), deduzimos a existência de conjuntos mensuráveis que não são Borelianos. Ou seja, a medida Borel-Lebesgue não está completa , sendo, portanto, distinta da medida Lebesgue. $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R}$

Exemplos de mensuráveis não Borelianos já eram conhecidos por Lebesgue em 1905. Em 1927, Nikolaï Luzin explicou um exemplo particularmente simples: se considerarmos o conjunto de números reais tendo uma expansão de fração contínua da forma $T$

x = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {a_ {3} + {\ cfrac {1} { \ ddots \,}}}}}}}}

em que a sequência tem uma subsequência crescente para a relação de divisibilidade , o conjunto é mensurável (e até analítico ), mas não é Boreliano. $(a_ {0}, a_ {1}, \ ldots)$ $T$

Conjuntos não mensuráveis

A cardinalidade não permite determinar se a tribo Lebesgue de é ou não igual ao conjunto de todas as partes de : cada um desses dois conjuntos de partes tem o mesmo cardeal . $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $2 ^ {{{\ mathfrak c}}}$

Exemplos de conjuntos não mensuráveis são conhecidos. Um dos mais simples é o conjunto de Vitali , inventado em 1905 por Giuseppe Vitali : um conjunto de representantes das classes de todos os entretanto escolhidos . Outro exemplo espetacular é o subconjunto de bola unitária que dá origem ao paradoxo Banach-Tarski . $\ mathbb {R} / \ mathbb {Q}$ $[0,1]$ $\ mathbb {R} ^ {3}$

Esses dois exemplos apelam ao axioma da escolha . Não é acidental. A existência do modelo Solovay (in) , publicado por Robert M. Solovay em 1970, mostra de fato que na teoria dos conjuntos ZF sem axioma de escolha, não se pode esperar provar a existência de conjuntos não mensuráveis (e isso, aliás , mesmo assumindo o axioma da escolha dependente ).

Generalização para variedades

O conceito se generaliza para, pelo menos, variedades de classe . Definimos uma parte mensurável de Lebesgue como uma parte que satisfaz a seguinte condição: $M$ ${\ mathcal {C}} ^ {1}$ $M$ $NO$

para qualquer mapa de , é mensurável.

(U, \ varphi)

M

\ varphi (U \ cap A)

Ao considerar uma parte de uma subvariedade de , deve-se tomar cuidado para não confundir as noções de mensurabilidade de como parte de ou como parte de . Tão logo seja de dimensão estritamente inferior a , tudo é mensurável como parte de (porque desprezível ), mas não necessariamente como parte de . $NO$ $NÃO$ $M$ $NO$ $NÃO$ $M$ $NÃO$ $M$ $A \ subset N$ $M$ $NÃO$

Referências

Para toda a seção, consulte Vladimir I. Bogachev, Teoria da Medida , Springer,2006, 1075 p. ( ISBN 978-3-540-34513-8 ).
(em) Akihiro Kanamori, The Higher Infinite: Large Cardinals na Teoria dos Conjuntos desde seus primórdios Springer2008, 538 p. ( ISBN 978-3-540-88866-6 , leia online ), p. 148
Nikolai Luzin , " On analytical sets ", Fundamenta Mathematica , vol. 10,1927, p. 1-95, p. 77
(em) Abraham Fraenkel , Yehoshua Bar-Hillel e Azriel Lévy , Fundamentos da teoria dos conjuntos , Amsterdã, Elsevier ,1973( ISBN 978-0-7204-2270-2 )que se referem a Robert M. Solovay, “ Um modelo de teoria dos conjuntos em que cada conjunto de reais é Lebesgue mensurável ”, em Annals of Mathematics . Segunda Série , vol. 92 (1970), páginas 1-56.