Conclusão de uma medida

Em matemática , uma medida $µ$ é considerada completa quando qualquer conjunto desprezível para esta medida pertence à tribo na qual $µ$ é definido.

Quando uma medição não está completa, existe um processo bastante simples para completá-la , isto é, construir uma medição completa intimamente relacionada à medição inicial. Assim, a medida Lebesgue (considerada uma medida sobre a tribo Lebesgue ) é a conclusão da medida às vezes chamada de "medida Borel-Lebesgue", ou seja, sua restrição à tribo Boreliana .

O método usado por Lebesgue para construir a medida à qual foi nomeado, ou seja, o uso judicioso de uma medida externa , pode ser aplicado a uma medida σ-finita abstrata e fornece outro método para produzir sua completação.

Medição completa

Definição - Dado um espaço medido , dizemos que $μ$ é uma medida completa quando qualquer conjunto desprezível de $μ$ pertence à tribo . $\ (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$ ${\ mathcal {A}}$

Dito mais formalmente, $μ$ está completo quando:

{\ displaystyle \ forall M, \, N \ in {\ mathcal {P}} (X) \ quad \ left (N \ subconjunto M, \, M \ in {\ mathcal {A}} {\ hbox {e} } \ mu (M) = 0 \ right) \ Rightarrow N \ in {\ mathcal {A}}.}

Conclusão de uma medida

Definição da medida concluída

Para um espaço medido, notamos $\ (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ mu} '= \ {A \ bigtriangleup N \, \ mid \, A \ in {\ mathcal {A}}, \ N \ {\ hbox {parte insignificante de }} \ X \}}

onde denota a diferença simétrica . ${\ displaystyle \ bigtriangleup}$

Como a notação lembra, essa extensão tribal depende . Uma parte é apenas desprezível em relação a uma determinada medição. ${\ mathcal {A}}$ $\ mu$

Teorema - Let ser um espaço medido , e a extensão do descrito acima. Então : $\ (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$ ${\ mathcal {A}} _ {\ mu} '$ ${\ mathcal {A}}$

${\ mathcal {A}} _ {\ mu} '$ é uma tribo em ; $X$
se posamos para e desprezível, isso constitui uma definição coerente e, assim, construímos uma medida no espaço mensurável ; ${\ displaystyle \ mu '(A \ bigtriangleup N) = \ mu (A)}$ $A \ in {\ mathcal {A}}$ $NÃO$ $(X, {\ mathcal {A}} _ {\ mu} ')$
esta medida é uma medida de extensão abrangente ; $\ mu '$ $\ mu$
$\ mu '$ é mínimo no seguinte sentido: qualquer medida completa que se estende também se prolonga . $\ mu$ $\ mu '$

A medida construída acima é chamada de medida completa de , a tribo sendo chamada de tribo completa de relativamente a . $\ mu '$ $\ mu$ ${\ mathcal {A}} _ {\ mu} '$ ${\ mathcal {A}}$ $\ mu$

Exemplos: medida de Lebesgue e conclusão

Em , a tribo Lebesgue é o complemento da tribo Boreliana para a medida Lebesgue (restrita aos Borelianos). Dependendo do ponto de vista adotado, pode ser a definição da tribo Lebesgue ou um teorema de prova moderadamente consistente ; nesta segunda hipótese, a definição da medida de Lebesgue baseou-se em uma construção de medida externa e as idéias da prova são aproximadamente as mesmas usadas para provar o teorema mais geral que aparece abaixo na seção "Medida concluída e medida externa". $\ mathbb {R} ^ {n}$
Observe a medida Lebesgue em , definida na tribo Lebesgue. Se trabalharmos em uma teoria dos conjuntos garantindo a existência de conjuntos não mensuráveis no sentido de Lebesgue (tipicamente com o axioma da escolha ), o produto não é uma medida completa. De fato, se $A$ é um conjunto não mensurável, $A$ $\times {0}$ não pertence à tribo do produto , embora seja insignificante para a medida do produto. A medida de Lebesgue sobre não é, portanto, igual a, mas apenas seu complemento. $\ lambda$ $\ mathbb {R}$ $\ lambda \ otimes \ lambda$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ $\ lambda \ otimes \ lambda$

Propriedades da medida concluída

Variantes nas definições

As seguintes variações são fáceis de provar, até mesmo óbvias para alguns:

Variantes na definição da tribo concluída. Com as notações da seção anterior,

os elementos da tribo concluída são caracterizados por: ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {\ mu} '= \ {A \ bigtriangleup N \, \ mid \, A \ in {\ mathcal {A}}, \ N {\ hbox {parte insignificante de} } X \}}$ .
nos tambem temos :

{\ displaystyle B \ in {\ mathcal {A}} _ {\ mu} '\ iff \ existe A_ {1}, A_ {2} \ in {\ mathcal {A}} \ quad (A_ {1} \ subconjunto B \ subset A_ {2} \ {\ hbox {et}} \ \ mu (A_ {2} \ setminus A_ {1}) = 0)}

. Variante na definição da medida concluída. Sempre com as mesmas notações, podemos escrever, para

B

na tribo concluída:

{\ displaystyle \ mu '(B) = \ sup _ {{A \ in {\ mathcal {A}}} \ atop {A \ subconjunto B}} \ mu (A).}

Permanência de classes de funções mensuráveis

O resultado abaixo mostra que, embora existam obviamente mais funções de valor real mensuráveis a partir de do que a partir de , as classes de equivalência para igualdade em quase todos os lugares (e, portanto, os espaços $L$ $p$ ) são iguais. $(X, {\ mathcal {A}} _ {\ mu} ')$ $(X, {\ mathcal {A}})$

Proposição - Seja um espaço medido do qual denotamos a completude. Para qualquer função $f$ com valores reais mensuráveis a partir de , existe uma função que é quase em todos os lugares igual a ela e que é mensurável a partir de . $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$ $(X, {\ mathcal {A}} _ {\ mu} ', \ mu')$ $(X, {\ mathcal {A}} _ {\ mu} ')$ ${\ tilde f}$ $(X, {\ mathcal {A}})$

Se $f$ for positivo ou zero, podemos construir verificando: ${\ tilde f}$

{\ displaystyle 0 \ leq {\ tilde {f}} \ leq f.}

Medição concluída e medição externa

Dado um espaço medido , podemos definir em uma medida externa $μ$ $*$ pela fórmula: $\ (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$ ${\ mathcal {P}} (X)$

{\ displaystyle \ mu ^ {*} (B) = \ inf \ left \ {\ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ mu (A_ {n}) \, \ mid \, A_ {n } \ in {\ mathcal {A}}, \, B \ subset \ bigcup _ {n = 0} ^ {+ \ infty} A_ {n} \ right \}.}

Em seguida, definimos os conjuntos mensuráveis para $μ *$ como as partes $B$ de $X$ que satisfazem a propriedade:

{\ displaystyle \ forall E \ subset X \ quad \ mu ^ {*} (E \ cap B) + \ mu ^ {*} (E \ setminus B) = \ mu ^ {*} (E).}

Em seguida, denotamos o conjunto de partes mensuráveis para $μ$ $*$ . Acontece que é uma tribo que se estende , e que a restrição de $μ$ $*$ a essa tribo é uma medida, que se estende $μ$ . ${\ mathcal {M}} (\ mu ^ {*})$ ${\ mathcal {M}} (\ mu ^ {*})$ ${\ mathcal {A}}$

Essas notações e lembretes dados, podemos afirmar o seguinte teorema:

Teorema - Com as notações acima, a restrição de $μ *$ a é uma medida completa. Se a medida $μ$ for σ-finita , essa medida completa coincidirá com a conclusão de $μ$ . ${\ mathcal {M}} (\ mu ^ {*})$

A prova é baseada no seguinte lema fácil:

Lema - Com as notações anteriores, para qualquer conjunto $B$ $μ *$ -mensurável , existe um contêiner $B$ e para o qual $A \ in {\ mathcal {A}}$

{\ displaystyle \ mu ^ {*} (B) = \ mu (A).}

Parte $Um$ é chamado de cobertura mensurável de $B$ .

Quando $μ$ não é σ-finito , a tribo pode ser maior do que a tribo completa. Assim, para um conjunto $X$ com pelo menos dois elementos, se considerarmos e $μ$ a medida nesta tribo valendo $+ \infty$ em $X$ , a medida $μ$ já está completa, enquanto a extensão por medida externa é uma extensão do todo. ${\ mathcal {M}} (\ mu ^ {*})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ {\ varnothing, X \}}$ ${\ mathcal {P}} (X)$

Referências

Marc Briane e Gilles Pagès, Teoria da Integração , Paris, Vuibert, col. "Os grandes cursos Vuibert",Outubro de 2000, 302 p. ( ISBN 2-7117-8946-2 ) , p. 255.
Briane e Pagès 2000 , p. 255. A minimalidade de outra forma óbvia é explicitamente mencionada por (en) Herbert Amann e Joachim Escher, Analysis III , Springer,2009, 468 p. ( ISBN 978-3-7643-7479-2 , leitura online ) , p. 21.
Ver, por exemplo, Briane e Pagès 2000 , p. 257.
Por exemplo, consulte (em) Donald L. Cohn, Teoria da Medida , Springer,2013( 1 st ed. 1980 Birkháuser), 373 p. ( ISBN 978-1-4899-0399-0 , leitura online ) , p. 37-38 - a prova cobre aproximadamente uma página.
Briane e Pagès 2000 , p. 263-264.
(in) Gearoid Barra, Teoria da Medida e Integração , New Age International,2008, 239 p. ( ISBN 978-0-85226-186-6 , leitura online ) , p. 101.
Cohn 2013 , p. 36
Briane e Pagès 2000 , p. 265.
(in) Richard Dudley (in) , Análise Real e Probabilidade , Cambridge University Press,2002, 555 p. ( ISBN 978-0-521-00754-2 , leitura online ) , p. 103.