Medição externa

A noção de medida externo (ou medida externo no sentido de Carathéodory ) é um conceito, devido ao matemático Constantin Carathéodory , que generaliza num axiomático quadro uma construção utilizada por Henri Lebesgue para definir a medida de Lebesgue dos Lebesgue-mensuráveis partes de a linha real .

Definição

Deixe ser um conjunto. Uma medida externa em é uma função definida no conjunto de todas as partes de : $X$ $X$ $X$

{\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {P}} (X) \ rightarrow [0, + \ infty]}

que satisfaz as seguintes três condições:

O conjunto vazio tem uma medida externa de zero:

{\ displaystyle \ varphi (\ varnothing) = 0}

Monotonia : para todas as partes , e para , $NO$ $B$ $X$

{\ displaystyle A \ subset B \ quad \ Rightarrow \ quad \ varphi (A) \ leq \ varphi (B).}

Subaditividade contável : qualquer sequência de partes , ${\ displaystyle (A_ {j}) _ {j \ geq 1}}$ $X$

{\ displaystyle \ varphi \ left (\ bigcup _ {j = 1} ^ {\ infty} A_ {j} \ right) \ leq \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \ varphi (A_ {j} ).}

Construção de uma medida a partir de uma medida externa

Quando temos uma medida externa em um conjunto , podemos deduzir uma medida definida em um subconjunto do conjunto de partes de ; este subconjunto é então uma tribo (ou σ-álgebra) em . $X$ ${\ mathcal A}$ $X$ ${\ mathcal A}$ $X$

Que seja de fato uma medida externa definida em . Vamos definir como o conjunto de partes de satisfazer a seguinte condição: $\ phi$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ subseteq {\ mathcal {P}} (X)}$ $E$ $X$

${\ displaystyle \ forall F \ subseteq X, \ phi (F) = \ phi (F \ cap E) + \ phi (F \ barra invertida E)}$

Em suma, uma porção está em se e somente se divide qualquer parte de aditivamente do ponto de vista da medição externa . $X$ ${\ mathcal A}$ $F$ $X$ $\ phi$

Mostramos que o conjunto assim definido é uma tribo on . ${\ mathcal A}$ $X$

Em seguida, definimos como a restrição de a . Mostramos que é uma medida no espaço mensurável , isto é, que a propriedade de subaditividade contável da medida externa torna-se uma aditividade contável, quando a família das partes em questão são duas a duas disjuntas. $\ mu$ $\ phi$ ${\ mathcal A}$ $\ mu$ $(X, {\ mathcal A})$

Referência

(pt) Vladimir Bogachev , Teoria da Medida , Berlim, Springer,2007, 575 p. ( ISBN 978-3-540-34513-8 e 3-540-34513-2 ), p. 41