Medição (matemática)

Em matemática , uma medida positiva (ou simplesmente medida quando não há risco de confusão) é uma função que associa uma quantidade numérica a certos subconjuntos de um determinado conjunto . Este é um conceito importante em análise e teoria da probabilidade .

Intuitivamente, medir um conjunto ou subconjunto é semelhante à noção de tamanho ou cardinalidade para conjuntos discretos . Nesse sentido, medição é uma generalização dos conceitos de comprimento , área ou volume em espaços de dimensão 1, 2 ou 3, respectivamente.

O estudo dos espaços providos de medidas é o objeto da teoria da medida .

Definição

Formalmente, uma medida µ é uma função que se associa a cada elemento S de uma σ -álgebra (ou tribo) de partes de X um valor µ ( S ), que é um real positivo ou infinito. ${\ mathcal {A}}$

Definição - Let Ser um espaço mensurável (ou seja, um casal , onde é um conjunto e é um tribo na ). ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}),}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}),}$ $X$ ${\ mathcal {A}}$ $X$

Um mapa μ definido com valores em é chamado de medida quando ambas as propriedades a seguir são satisfeitas: ${\ displaystyle {\ mathcal {A}},}$ ${\ displaystyle [0, + \ infty],}$

o conjunto vazio tem medida zero: $\ mu \ left (\ varnothing \ right) = 0$ ;
o mapa μ é σ-aditivo :

se E 1 , E 2 , ... é uma família contável de partes de X pertencentes a e se essas partes são dois por dois disjuntos , então a medida μ ( E ) de sua união E é igual à soma das medidas das partes :

{\ displaystyle {\ mathcal {A}},}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigsqcup _ {k = 1} ^ {\ infty} E_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {k}) }

Terminologias relacionadas

Quando temos uma medida μ em um espaço mensurável , dizemos que o trio é um espaço medido ; $(X, {\ mathcal {A}})$ $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$
Para S conjunto mensurável (ou seja, para ), o valor μ ( S ) é chamado de medida de S ; ${\ displaystyle S \ in {\ mathcal {A}}}$
Quando μ ( X ) é finito, falamos de medida finita ou medida limitada ;
Quando μ ( X ) = 1, falamos de uma medida de probabilidade . O trio é então chamado de espaço de probabilidade . Para esta estrutura, consulte os axiomas de probabilidades do artigo . $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$
Quando há cobertura contável de X por subconjuntos de medida finita, ou seja, mais formalmente, quando há uma sequência de elementos da tribo, todos de medida finita, com ${\ displaystyle (E_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

{\ displaystyle X = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} E_ {n}}

, falamos de medida σ -finita . Mesmo que isso signifique substituir cada um por um, pode-se supor que a sequência de subconjuntos que aparecem na definição está aumentando para inclusão.

E_k

{\ displaystyle E_ {0} \ cup \ ldots \ cup E_ {k},}

Um subconjunto S de X é considerado insignificante quando incluído em um T pertencente à tribo e de medida zero. ${\ mathcal {A}}$
A medida μ é considerada completa quando qualquer conjunto insignificante pertence à tribo . ${\ mathcal {A}}$
Função mensurável .

Propriedades

As seguintes propriedades podem ser facilmente obtidas a partir dos axiomas anteriores:

Aditividade: Se E 1 e E 2 são dois conjuntos mensuráveis separados , µ ( E 1 ∪ E 2 ) = µ ( E 1 ) + µ ( E 2 ).
Monotonia: Se E 1 e E 2 são dois conjuntos mensuráveis, de modo que E 1 é um subconjunto de E 2 , então μ ( E 1 ) ≤ μ ( E 2 ).
Continuidade à esquerda: Se E 1 , E 2 , E 3 , ... são conjuntos mensuráveis e se E n é um subconjunto de E n +1 para todo n , então a união E dos conjuntos E n é mensurável e μ ( E ) = lim μ ( E n ).
Continuidade à direita: Se E 1 , E 2 , E 3 , ... são conjuntos mensuráveis e se, para todo n , E n +1 é um subconjunto de E n , então a interseção E dos conjuntos E n é mensurável; além disso, se pelo menos um dos conjuntos E n tem uma medida finita, então μ ( E ) = lim μ ( E n ).

Exemplos

Aqui estão alguns exemplos de medição importantes:

a medida de contagem (ou medida de contagem ) é definida por μ ( S ) = número de elementos em S ;
a medida de Dirac μ está associado a um ponto um de X é definido como μ um ( S ) = χ S ( um ), onde χ S é a função de indicador de S . Em outras palavras, a medida de um conjunto é igual a 1 se ele contém o ponto a e a 0 caso contrário;
na medição de densidade, uma função mensurável positiva ƒ em relação a outra medição positiva μ é freqüentemente observada em ƒ.μ;
a medida de Lebesgue (restrita aos borelianos ) é a única medida invariante por translação definida na tribo boreliana de ℝ e tal que μ ([0,1]) = 1;
a medida de Haar em um grupo topológico localmente compacto é uma generalização da medida de Lebesgue, também caracterizada por uma propriedade de invariância.

Generalização

Em alguns contextos, notadamente para mostrar a construção de medidas a partir de seus valores em classes de conjuntos menores que tribos, é bom ter uma definição mais geral para apresentar brevemente vários resultados; de acordo com as fontes, a palavra “medida” é usada para funções que verificam a propriedade de aditividade contável em álgebras de conjuntos , anéis de conjuntos ou mesmo semi-anéis de conjuntos . De maneira mais geral, podemos perguntar:

Definição - Seja um conjunto e um conjunto de peças contendo o conjunto vazio: $X$ $\ mathcal {C}$ $X$

Um mapa μ definido com valores em é chamado de medida quando ambas as propriedades a seguir são satisfeitas: $\ mathcal {C}$ ${\ displaystyle [0, + \ infty]}$

O conjunto vazio tem medida zero:

{\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {C}} \ quad \ mathrm {e} \ quad \ mu \ left (\ varnothing \ right) = 0}

;

O mapa μ é σ-aditivo :

se E 1 , E 2 , ... é uma família contável de partes de X pertencentes a , se essas partes são dois por dois disjuntos e se sua união E também é um elemento de , então a medida μ ( E ) desta união é igual à soma das medidas das partes:

\ mathcal {C}

\ mathcal {C}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigsqcup _ {k = 1} ^ {\ infty} E_ {k} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ mu (E_ {k}) }

Em alguns casos, é útil ter uma "medida" cujos valores não se restrinjam a reais positivos e ao infinito. Por exemplo, uma função σ -aditiva definida em conjuntos e que assume valores reais é chamada de medida sinalizada , enquanto uma função que assume valores complexos é chamada de medida complexa (in) . Uma medida que assume valores em um espaço de Banach é chamada de medida vetorial, um caso especial das quais são medidas espectrais ; estes são usados principalmente em análises funcionais para o teorema espectral .

Outra generalização é a noção de medida simplesmente aditiva ou média . A definição é a mesma de uma medida, exceto que a aditividade σ é substituída pela aditividade finita.

Finalmente, às vezes encontramos, especialmente na teoria dos números , "medidas" que verificam propriedades que são incompatíveis com as das medidas reais; é o caso, por exemplo, da densidade assintótica , permitindo especificar o significado de fórmulas como “um inteiro em dois é par”.

Notas e referências

Marc Briane e Gilles Pagès, teoria da integração , Paris, Vuibert , coll. "Os grandes cursos Vuibert",Outubro de 2000, 2 nd ed. , 302 p. ( ISBN 978-2-7117-8946-7 ) , p. 61.
Briane e Pagès 2000 usam o termo p. 90 ou p. 97 , entre outros.
(in) Martin Väth, Teoria da Integração: Um Segundo Curso , Científico Mundial ,2002, 277 p. ( ISBN 978-981-238-115-6 ), p. 8 .
(en) Achim Klenke, Teoria da Probabilidade: Um Curso Abrangente , Springer,2008( ISBN 978-1-84800-047-6 ) , p. 12.
Por exemplo, Briane e Pagès 2000 , p. 195, colocam esta condição adicional à primeira vista na definição de σ -finitude.
Briane e Pagès 2000 , p. 90
Briane e Pagès 2000 , p. 255
Briane e Pagès 2000 , p. 63-64.
Briane e Pagès 2000 , p. 62
A seguinte definição é dada em (in) Inder K. Rana, Uma Introdução à Medida e Integração , Livraria AMS2002, 424 p. ( ISBN 978-0-8218-2974-5 , leia online ), definição 3.3.1, p. 59 . Outros autores falam em "pré-medida" nesses contextos mais gerais, por exemplo Klenke 2008 , p. 12 (quando a aula é um anel de conjuntos). $\ mathcal C$