Em matemática, a tribo Boreliana (também chamada de tribo Borel ou tribo Boreliana ) no espaço topológico X é a menor tribo em X contendo todos os conjuntos abertos . Os elementos da tribo Borelian são chamados Borelians . Um Boreliano é, portanto, uma parte de X , cujo complemento também é um Boreliano, assim como a união de uma quantidade contável de Borelianos.
O conceito deve o seu nome a Émile Borel , que em 1898 publicou uma primeira exposição da tribo boreliana da direita real .
O Borel pode equivalentemente ser definida como a menor tribo que contém todos os subconjuntos fechados de X .
Se a topologia de X admite um criador contáveis Um , em seguida, o Borel associada com X é gerado por um .
Dado um subconjunto Y de X , o Borel de Y para a topologia induzida é idêntica à marca em Y de Borel de X . Isto é provado por uma linha quando aplicações transporte lema para a injecção canónica de Y em X .
Em um produto de dois espaços topológicos X e Y , a tribo produz tribos Borelianas de X e Y sempre incluída na tribo Boreliana do produto. Quando X e Y têm uma base contável , existe até igualdade. Mais detalhes podem ser encontrados no artigo " tribo de produtos ".
Um exemplo particularmente importante é a tribo Boreliana do conjunto de números reais. A tribo Boreliana no conjunto de números reais é a menor tribo em ℝ contendo todos os intervalos .
A tribo Boreliana também é gerada por intervalos abertos da forma ] a , + ∞ [ , onde a atravessa ℝ; é mesmo suficiente considerar a em um subconjunto denso de ℝ como ℚ o conjunto de números racionais .
Da mesma forma, em qualquer dimensão, a tribo boreliana em ℝ n é gerada pelos paralelepípedos . Muitas variantes são possíveis, então a tribo Boreliana de ℝ n também é gerada por:
(em cada um dos exemplos, podemos nos limitar a usar números racionais: todas essas famílias geradoras são, portanto, contáveis).
A tribo boreliana permite definir a medida boreliana , que corresponde à noção intuitiva de comprimento, área, volume, etc. (o nome "medida Boreliana" pode variar de acordo com os autores, ver medida Borel (desambiguação) ).
A medida Boreliana não está completa, pois a tribo Boreliana não inclui alguns elementos desprezíveis . Quando completamos a medida Boreliana, obtemos a medida de Lebesgue .
A medida Lebesgue e a medida Boreliana coincidem na tribo Boreliana. E, se temos e onde , definimos e obtemos isso .
A tribo Lebesgue é a tribo na qual a medida Lebesgue é definida. É, portanto, a tribo Boreliana à qual adicionamos todos os subconjuntos de incluídos em um subconjunto de medida zero (para a medida Boreliana ).
eu={NO∪NÃO∣NO∈B, NÃO⊂B∈B,µ(B)=0}{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = \ {A \ cup N \, \ mid \, A \ in {\ mathcal {B}}, \ N \ subset B \ in {\ mathcal {B}}, \ mu (B) = 0 \}} Portanto .Um subconjunto de X é um Boreliano se pode ser obtido a partir de conjuntos abertos realizando uma seqüência contável de operações de uniões, interseções e passagem ao complemento, mas, ao contrário da primeira intuição, não obtemos assim, longe disso, todos os Borelianos (embora obtenhamos todos os Borelianos usuais); de fato, a classe obtida de acordo com este esquema de construção não é estável para as reuniões e cruzamentos contáveis, e é necessário, para obter todos os Borelianos, iterar transfinitamente este esquema; para mais detalhes, veja os artigos " tribo gerada " e " hierarquia do Borel ".
Essa construção permite comprovar que a tribo boreliana de ℝ n detém o poder do continuum .
Um espaço mensurável é considerado lusiniano ou padrão se for isomorfo a uma parte boreliana de um espaço polonês fornecido com a tribo induzida pela tribo boreliana. Um teorema de Kuratowski garante que
Todos os incontáveis espaços mensuráveis padrão são isomórficos.
Assim, do ponto de vista da estrutura boreliana, todos os incontáveis espaços usuais são indistinguíveis: ℝ é isomórfico a todo ℝ n , ao espaço de Baire ℕ ℕ , ao cubo de Hilbert [0, 1] ℕ , ao espaço de Cantor {0, 1} ℕ , em espaço de Banach separável C ([0,1]) ( funções de espaço vetorial contínuas de [0, 1] em ℝ, equipado com o padrão da convergência uniforme ), etc. - embora esses espaços sejam muito diferentes do ponto de vista topológico ou algébrico.